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INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
AULA 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Eimi Veridiane Suzuki
CONVERSA INICIAL
Seja bem-vindo a mais uma aula. Hoje veremos as deformações que ocorrem quando um corpo está
submetido a um carregamento axial.
TEMA 1 – PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT E PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
Antes de entrarmos na parte de carregamento axial, que será o assunto desta aula, vamos conhecer dois
princípios importantes quando se fala de carregamento axial, principalmente quando temos carregamentos
complicados.
1.1 PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Temos dois pontos importantes no princípio de Saint-Venant: o primeiro diz que as tensões não serão
constantes quando olhamos na região perto da aplicação da carga, como mostra a Figura 1, nos itens a e b, em
que podemos ver que as seções próximas ao ponto de aplicação da carga (e ao apoio) têm uma distribuição de
tensão irregular; mas, quando nos afastamos desses pontos, a tensão normal se torna constante em toda a
seção.
Figura 1 – Princípio de Saint-Venant
Fonte: Hibbeler, 2015.
O outro ponto importante do princípio de Saint-Venant pode ser visto na Figura 1(c). O princípio também
diz que não importa se você tem uma força P aplicada, duas forças P/2 ou n forças P/n; a distribuição das
tensões nas seções será a mesma para todos, desde que as cargas sejam estaticamente equivalentes e tenham
sido aplicadas na mesma região.
1.2 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
Pelo princípio da superposição, se nós tivermos um carregamento complicado, pode-se determinar a
tensão e o deslocamento resultante dividindo-se o carregamento em partes menos complicadas e depois
somando as resultantes.
Para podermos usar esse princípio, temos duas condições.
1. A carga e a tensão, ou o deslocamento, devem ter uma relação linear, como em: .
2. A carga não pode provocar mudanças grandes no formato do corpo. Temos um exemplo na Figura 2, que
carrega uma grande mudança no comprimento da viga, pois .
Figura 2 – Caso em que o princípio da superposição não pode ser aplicado
Fonte: Hibbeler, 2015.
TEMA 2 – CARREGAMENTO AXIAL
Anteriormente, aprendemos a equação da tensão:
Conhecemos também a equação para achar a deformação:
Se substituirmos a Lei de Hooke na equação da deformação, temos:
Mas sabemos que tensão significa força sobre área:
Usaremos a equação achada para quando a área de seção transversal (A) for constante e o material for
homogêneo; ou seja, com E constante e força interna P também constante na barra.
Caso a barra tenha segmentos com áreas diferentes, materiais diferentes nos segmentos ou ainda várias
forças internas, podemos usar esta equação:
2.1 EXEMPLOS
Exemplo 1: ambas as partes da barra ABC são feitas de um alumínio para o qual E = 70 GPa (Beer et al.,
2015). Sabendo que a intensidade de P é 4 kN, determine:
a. o valor de Q, de modo que o deslocamento em A seja zero; e
b. o deslocamento correspondente em B.
Solução – vamos organizar os dados:
Percebe-se que a área não é constante na barra toda, nem a força, então usaremos esta fórmula:
Vamos dividir a barra em trechos. No trecho AB E, A e P são constantes; no trecho BC também. Então temos
dois trechos: AB e BC.
Antes de voltarmos para a fórmula do deslocamento, vamos achar as forças internas resultantes em cada
trecho. Primeiro fazemos uma seção em cada trecho.
Seção entre A e B:
Utilizando a equação de equilíbrio de forças, temos:
Seção entre B e C:
Utilizando a equação de equilíbrio de forças, temos:
Calculamos as áreas:
(a) Agora voltamos à formula do deslocamento, calculando separadamente a parte de seção AB e BC:
(b) Para achar o deslocamento do ponto B, vamos achar o referencial, que é o apoio C, com base no
referencial do deslocamento de A, não influenciando o deslocamento de B.
Portanto, o ponto B vai se deslocar 0,0728  mm no sentido negativo. Neste exemplo, foi usado negativo
para baixo.
Exemplo 2: a carga é sustentada pelos quatro cabos de aço inoxidável conectados aos elementos rígidos
AB e DC. Determine o ângulo de inclinação de cada elemento após a aplicação da carga de 2,5 kN. A posição
original dos elementos é horizontal, e cada cabo tem área de seção transversal de 16  mm² (E = 193 GPa)
(Hibbeler, 2015).
Solução: para achar o ângulo das barras, temos que descobrir o alongamento (δ) de cada cabo; para isso,
podemos usar a equação do deslocamento. A área (A) e o módulo de elasticidade (E) são dados no enunciado; o
comprimento dos cabos (L) está nas figuras, mas temos que achar a força interna nos cabos.
Vamos começar achando a força interna dos cabos AH e BG:
Utilizando as equações de equilíbrio:
Agora, podemos achar a força interna dos cabos DE e CF:
Utilizando as equações de equilíbrio, temos:
Agora, vamos aplicar a equação do deslocamento para cada cabo:
Desenhando a barra DC, sem e com o deslocamento:
Tanto o ângulo, que chamaremos de β, quanto x, que será usado para descobrir o ângulo da barra AB,
podem ser achados com trigonometria:
Agora, vamos desenhar a barra AB sem e com o deslocamento:
Vamos achar o ângulo α com trigonometria.
TEMA 3 – ELEMENTO COM CARGA AXIAL ESTATICAMENTE
INDETERMINADO
Em alguns casos, apenas as equações de equilíbrio não são suficientes para achar as reações de apoio. A
Figura 3 (a) mostra o exemplo de um desses casos, chamados de estaticamente indeterminados:
Figura 3 – Exemplo de elemento estaticamente indeterminado
Fonte: Gere; Goodno, 2017.
O diagrama do nosso exemplo pode ser visto na Figura 3(b). Com isso, e utilizando as equações de
equilíbrio, temos que:
Não é possível obter nenhuma outra equação com base nas equações de equilíbrio, mas, para acharmos as
reações, precisamos de duas equações. A segunda equação será obtida se analisarmos a geometria do
elemento e seus deslocamentos (δ).
No exemplo da Figura 3, a barra está entre dois apoios fixos, por isso não pode haver deslocamentos; com
isso, achamos a segunda equação:
3.1 EXEMPLOS
Exemplo 1: a coluna de concreto é reforçada com quatro hastes de aço, cada uma com diâmetro de
18 mm. Determine a tensão no concreto e no aço se a coluna for submetida a uma carga axial de 800 kN. Eaço =
200 GPa; Ec = 25 GPa.
Solução – vamos organizar os dados:
A força P é negativa, pois está comprimindo.
Vamos achar as áreas:
Para achar as tensões, precisamos achar a força interna que o concreto e as quatro hastes de aço fazem. A
essas forças vamos atribuir um sentido, o oposto à força de 800 kN. Com as equações de equilíbrio, achamos
uma das equações:
A segunda equação nós achamos com geometria do elemento e seus deslocamentos. Analisando o
elemento, pode-se observar que o deslocamento do sistema será diferente de zero, mas o deslocamento do
concreto tem que ser igual ao deslocamento do aço, visto que estão unidos:
Como Lc = Laço:
Agora temos duas equações e duas incógnitas, portanto, podemos resolver o sistema:
Agora que já achamos as forças internas, podemos achar as tensões:
Exemplo 2: duas barras cilíndricas, uma de aço e outra de latão, são unidas em C e contidas por apoios
rígidos em A e E (Beer et al., 2015). Para o carregamento indicado na figura, e sabendo que Eaço = 200 GPa e
Elatão = 105 GPa, determine:
a. as reações em A e E; e
b. o deslocamento do ponto C.
Solução – vamos organizar os dados:
(a) Vamos achar as áreas:
Desenhando FA e FE:
Usando a equação de equilíbrio:
Agora vamos achar a força interna resultante para cada trecho: AB, BC, CD e DE.
O próximo passo é achar uma equação com geometria do elemento e seus deslocamentos. Analisando o
elemento, pode-se observar que o deslocamento do sistema será zero.
O deslocamento de A em relação a E será zero; portanto, o deslocamento de todos os trechos somados
deverá ser zero também.
Substituindo o valor na primeira equação encontrada:
(b) Para determinar o deslocamento do ponto C, vamos pegar um dos lados; nesse caso, o lado AC:
TEMA 4 – TENSÃO TÉRMICA
Até agora vimos deformações nos corpos causadas pela aplicaçãode forças, mas existe outro motivo para
um corpo se deformar: a mudança de temperatura. Quando um corpo é aquecido, ele tende a se expandir e,
se sua temperatura for reduzida, ele tende a se contrair.
A Figura 4 mostra um corpo submetido a um aumento de temperatura; pode-se ver que ele aumentou suas
dimensões em todas as direções, e na figura temos como referência o ponto A.
Figura 4 – Corpo antes e após ser submetido a um aumento de temperatura
Fonte: Gere; Goodno, 2017.
Quando há uma mudança de temperatura, o corpo se expande ou se contrai segundo uma relação linear,
dada pela equação:
Sendo α o coeficiente linear de expansão térmica, que é uma propriedade do material e tem como unidade
1/°C ou 1/K.
Quando temos um elemento estaticamente indeterminado que passa por uma mudança de temperatura,
usa-se o princípio da superposição para resolver o problema.
Consideremos uma barra estaticamente indeterminada, como a da Figura 5.
Figura 5 – Barra estaticamente indeterminada
Fonte: Beer et al., 2015.
Ela tem comprimento inicial L, como na Figura 6(a). Com o aumento da temperatura, o corpo vai querer se
expandir, mas, com os apoios fixos, ele não pode se expandir; portanto, o deslocamento total deve ser zero.
Com o princípio da superposição, consideramos só a mudança de temperatura que vai querer se expandir
em δT, como na Figura 6(b), e separadamente consideramos que essa expansão será contida pelo apoio que
deve “empurrar” toda essa expansão de volta (δP), como na Figura 6(c).
Figura 6 – Princípio da superposição para resolver um problema de mudança de temperatura em uma barra
estaticamente indeterminada
Fonte: Beer et al., 2015.
Depois, somamos as duas resultantes das duas partes que consideramos inicialmente separadas.
4.1 EXEMPLOS
Exemplo 1: um tubo de latão (α = 20,9.10−6 /°C) é totalmente preso ao núcleo de aço (α = 11,7.10−6/°C).
Determine o maior aumento permitido na temperatura e se a tensão no núcleo de aço não deve exceder 55MPa
.[1]
Solução – vamos organizar os dados:
Se quisermos uma tensão no aço de 55 MPa, vamos ver qual seria a força interna do aço.
O aumento da temperatura expande o aço e o latão ((δaço)T e (δlatão)T). Como estão grudadas, elas
precisam alongar a mesma medida, mas, como elas têm coeficientes de expansão térmica diferentes, tendem a
ter um alongamento diferente.
O aço tem um coeficiente de expansão térmica menor, portanto, tende a se alongar menos, mas vai ser
puxado a se alongar mais ainda pelo latão que tende a se alongar mais. Já o latão não vai conseguir se alongar
o quanto quiser, porque o aço, que se alonga menos, vai puxar na direção contrária.
Exemplo 2: os dois segmentos de haste circular – um de alumínio e um de cobre – estão presos às paredes
rígidas de tal modo que há uma folga de 0,2 mm entre eles quando T1 = 15 °C (Hibbeler, 2015). Qual é a maior
temperatura T2 exigida para apenas fechar a folga? Cada haste tem diâmetro de 30 mm, αal = 24(10
−6)/°C, Eal =
70 GPa, αcobre = 17(10
−6)/°C, Ecobre = 126 GPa. Determine a tensão normal média em cada haste se T2 = 95 °C.
Solução – vamos organizar os dados:
Se:
Vamos achar a área da seção transversal das hastes:
Para fechar a folga, o alongamento do cobre mais o alongamento do alumínio tem que ser igual à folga; ou
seja, 0,2 mm. Como não temos tensões, o alongamento será causado pela mudança da temperatura.
Achando o quanto cada haste alongou, temos:
Agora vamos determinar a tensão normal média em cada haste se T2 = 95 °C. Se a temperatura for maior
que 45,7692 °C, isso significa que o vão foi fechado e as hastes continuam a tentar se expandir, mas, como não
há espaço, isso criará tensão.
Toda a deformação causada pela temperatura vai ser empurrada de volta pelos apoios: as forças FA e FB.
Mas, como temos apenas FA e FB:
Substituindo os valores que já temos e considerando que a tensão se inicia com base em T = 45,7692 °𝐶:
Descobrindo a tensão:
TEMA 5 – CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO
Algum tipo de descontinuidade pode estar presente no formato do elemento em alguns elementos
estruturais, e essa descontinuidade pode perturbar a distribuição de tensão da seção transversal do corpo.
Essa descontinuidade pode ser um furo, um canto vivo, um chanfro, ranhuras ou qualquer outro tipo de
mudança na geometria do corpo, gerando uma concentração de tensão, ou seja, um aumento da tensão nas
áreas com a seção transversal reduzida.
Na Figura 7(a), pode-se ver um exemplo de descontinuidade, um furo circular em uma placa retangular. A
Figura 7(b) mostra a distribuição de tensão quando passamos uma seção transversal por essa descontinuidade.
Figura 7 – Distribuição de tensão em seção transversal que passa por uma descontinuidade
Fonte: Gere; Goodno, 2017.
Pode-se calcular esse valor da tensão máxima com a fórmula:
Sendo K o fator de concentração de tensão e um valor tabelado que depende da geometria do objeto, o
fator de concentração de tensão pode ser achado na Figura 8 e na Figura 9. A tensão média deve ser achada
pela fórmula  , mas a área deve ser a da menor seção transversal do corpo. Na Figura 7 essa área seria
“c” multiplicado pela espessura.
Figura 8 – Fator de concentração de tensão para barra achatada com canto arredondado
Fonte: Hibbeler, 2015.
Figura 9 – Fator de concentração de tensão para placa com furo circular
Fonte: Hibbeler, 2015.
É importante estudar a concentração de tensão para evitar rachaduras em elementos de materiais frágeis,
principalmente se forem submetidos a comportamentos cíclicos. Uma pequena mudança na geometria do
corpo pode diminuir o valor de K e diminuir o risco do aparecimento de trincas.
Na Figura 10(a), temos uma descontinuidade que gera um alto valor de K, ou seja, uma grande tensão
máxima; se for feita uma modificação na peça conforme a Figura 10(b), o valor de K cai pela metade, e cai ainda
mais na Figura 10(c) e 10(d).
Figura 10 – Concentração de tensão para diferentes descontinuidades
Fonte: Hibbeler, 2015.
5.1 EXEMPLO
Exemplo 1: determine a força axial máxima P que pode ser aplicada à barra (Hibbeler, 2015). A barra é feita
de aço e tem tensão admissível σadm = 147 MPa.
Solução: vamos achar o valor da tensão máxima para as duas descontinuidades e compará-las.
Começando com a barra achatada com canto arredondado, vamos achar o valor de K; para isso, vamos à
curva mostrada na Figura 8, pois lá podemos observar que precisamos de r/h e w/h:
Com isso, voltamos para a curva e achamos, na parte de baixo, que r/h é 0,2. Assim, seguimos a linha
vertical do r/h = 0,2 até achar a curva de w/h = 1,5. No cruzamento da linha vertical com a curva, vamos para a
horizontal até achar o valor de K.
Portanto, K será aproximadamente 1,72.
Agora fazemos o mesmo para o furo circular:
Na curva da Figura 9, achamos em p valor de K.
Portanto, a força máxima P que pode ser aplicada à barra é 5,4 kN, pois ambas as descontinuidades devem
suportar essa carga P.
FINALIZANDO
Nesta aula, aprendemos sobre deformações em um corpo carregado axialmente. Iniciamos vendo dois
princípios: o princípio de Saint-Venant e o princípio da superposição. Depois apresentamos a equação que
relaciona deformação, força e módulo de elasticidade.
Nesta aula, também estudamos elementos estaticamente indeterminados, tensão térmica e concentração
de tensão, tudo para carregamentos axiais. Foram usados exemplos dos assuntos apresentados, mas, para
melhor fixar o conteúdo, faça mais exercícios dos assuntos desta aula.
REFERÊNCIAS
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2015.
 Elaborado com base em Beer et al., 2015.[1]