Conceitos Básicos de Estatística

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADEESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
APLICADAAPLICADA
CONCEITOS BÁSICOS DECONCEITOS BÁSICOS DE
ESTATÍSTICAESTATÍSTICA
Autor: Me. Raimundo Almeida
R e v i s o r : H u g o E s t e v a m D e S a l e s C â m a ra
I N I C I A R
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introduçãoIntrodução
Nesta unidade, vamos trabalhar com os conceitos básicos da estatística descritiva: a
distribuição de frequências e histogramas, análise de grá�cos e tabelas, além de
medidas de tendência central e dispersão. A partir desse conteúdo você conseguirá
analisar grá�cos de relatórios analíticos, compreender diagramas especí�cos da
engenharia e ciências a�ns e resumir bases de dados através de grá�cos e tabelas. No
�m dessa unidade, você já terá os conceitos básicos para o desenvolver-se na disciplina,
realizar os trabalhos acadêmicos ao longo do seu curso e para seu desenvolvimento
pro�ssional. Aproveite seu tempo para resolver bastante e aprofundar seus
conhecimentos através de pesquisas e outras leituras. Bom estudo!
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Antes de iniciarmos nossos estudos, vamos a alguns conceitos que serão importantes
para a nossa trajetória.
Dados são conjuntos de observações (gênero, respostas de pesquisas,
medidas, dentre outros);
Estatística é a ciência que descreve procedimentos para coletar, organizar,
resumir, analisar e apresentar dados;
População é o conjunto de todos os indivíduos sob investigação (pessoas,
medidas, escores, dentre outros);
Censo é o conjunto dos dados obtidos de todos os membros da população;
Amostra é o subconjunto de todas as medidas da população.
Na tabela a seguir, você encontrará duas importantes classi�cações dos dados. Ambas
serão muito utilizadas ao longo desta e das demais unidades.
Conceitos BásicosConceitos Básicos
da Estatísticada Estatística
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Quadro 1.1 - Classi�cação de dados 
Fonte: Elaborado pelo autor.
Quadro 1.2 - Classi�cação de dados 
Fonte: Elaborado pelo autor.
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A classi�cação das variáveis será utilizada nesta e nas unidades posteriores. É a partir
dela que de�niremos os métodos apropriados para tratamento das informações.
praticarVamos Praticar
Na tabela a seguir estão descritas informações sobre um grupo de quatro amigos. Para cada
uma das variáveis, re�ita se estas são qualitativas ou quantitativas e, para o caso das
quantitativas, se são discretas ou contínuas.
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Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
Tabela - Base de dados 
Fonte: Elaborada pelo autor
a) Idade é uma variável quantitativa contínua.
b) Peso é uma unidade quantitativa discreta.
c) Cidade é uma variável quantitativa.
d) Sexo é uma variável quantitativa discreta.
e) Idade é uma variável quantitativa discreta.
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Ao se trabalhar com uma grande massa de dados, é comum categorizá-los e organizá-
los em classes. Uma distribuição de frequências é uma tabela que indica a frequência
absoluta (número de registros) ou a frequência relativa (percentual de registros) de
cada classe. Para exempli�car, considere o conjunto de 30 registros de idades de
familiares do professor Paulo Andrade: 
Distribuição deDistribuição de
FrequênciasFrequências
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Tabela 1.1 - Registros de idades de familiares do prof. Paulo Andrade 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para o exemplo, consideramos agrupar os dados em 5 classes. Sendo assim, o primeiro
passo consiste em calcular a amplitude de classe:
Para o nosso exemplo:
Determinaremos os limites de classe, iniciando como valor mínimo e somando,
sucessivamente, a amplitude de classe. Esses limites servirão para delimitar cada uma
das classes da nossa distribuição.
Limite 1:  0          
Limite 2:          0 + 20 = 20  
Limite 3:          20 + 20 = 40
Amplitude de classe  =  
(valor m ximo) − (valor m nimo)á í
n mero de classesú
Amplitude de classe  =   =  20100 − 0
5
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Limite 4:          40 + 20 = 60
Limite 5:          60 + 20 = 80
Limite 6:          80 + 20 = 100
A partir dos limites, poderemos escrever cada uma das classes:
Classe 1: [ 0 , 20 ]
Classe 2: ( 20 , 40 ]
Classe 3: ( 40 , 60 ]
Classe 4: ( 60 , 80 ]
Classe 5: ( 80 , 100 ]
O intervalo (20 , 40 ] anterior corresponde ao conjunto de valores compreendidos
entre 20 e 40, incluindo o 40 e não incluindo o 20. Essa notação é comum na
representação de intervalos reais.
De modo geral, podemos de�nir matematicamente o intervalo ( a , b ]  como:
( a ,b ] = {x ∈R | a<x≤b}.  
Por �m, contamos a frequência de cada uma das classes, que corresponde ao número
de valores que estão situados em cada uma das classes em questão.
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Tabela 1.2 - Distribuição de frequência absoluta da Idade de 30 familiares do prof. Paulo 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Uma outra tabela comum no universo da Estatística Descritiva é a Distribuição de
Frequência Relativa, que consiste em tabular a proporção de dados em cada classe. No
exemplo anterior, a frequência relativa associada à classe ( 20 , 40 ]  é dada por:
Realizando os cálculos das frequências relativas para as demais classes, podemos
organizar a distribuição desejada.
frequ ncia relativa  =  ê
frequ ncia de classeê
soma das frequ ncias de todas as classes ê
=   =  0, 467  =  46, 714
9 + 14 + 2 + 3 + 2 
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Tabela 1.3 - Distribuição de frequência relativa da idade de 30 familiares do prof. Paulo 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Uma última tabela bastante conhecida é a Distribuição de Frequência Acumulada.
Para cada classe, associamos o somatório da frequência daquela classe com   as
frequências das classes anteriores. No exemplo das idades, a classe possui frequência
acumulada igual a 83,3% (que é a soma das frequências 30,0%, 46,7% e 6,7%). Sendo
assim, observe a distribuição acumulada �nal:
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Tabela 1.4 - Distribuição de frequência acumulada das idades de 30 familiares do prof. Paulo 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A seguir, trabalharemos com histogramas, que consiste em um modelo de grá�co
utilizado para representar distribuições de frequência.
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Histograma
Um histograma é um grá�co que tem por objetivo visualizar o comportamento de uma
distribuição de frequências. Para ilustrar, considere o exemplo a seguir.
Uma rede de fábricas produz parafusos para distribuição nas cidades da região Norte
do Brasil. A seguir, você pode veri�car o número médio de caixas de produtos
produzidas diariamente por cada uma das 20 fábricas da rede.
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Tabela 1.5- Distribuição do número médio de caixas produzidas por dia emcada fábrica 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir da tabela anterior, categorizaremos os 20 dados em 8 classes com amplitude
igual a 5 caixas.
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Tabela 1.6 - Distribuição de frequência do número médio de caixas produzidas por dia em
cada fábrica 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir do diagrama de frequências, construímos o histograma:
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A seguir, você encontrará outros histogramas para auxiliar na compreensão. Para cada
exemplo, tente identi�car o número de classes, a amplitude de cada classe, os limites
inferiores e superiores de cada classe e a classe que possui maior frequência.
Exemplo 1
Figura 1.1 - Distribuição do número de caixas de parafusos produzidas por cada uma
das 20 fábricas. 
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Esse histograma representa a distribuição da temperatura média diária da câmara de
um frigorí�co, as quais foram divididas em 6 classes de amplitude igual a 2ºC.
Exemplo 2
Figura 1.2 - Distribuição da temperatura média diária da câmara de um frigorí�co da
cidade de Natal - RN - Abril de 2018 (ºC). 
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Histograma de 5 classes representando a frequência dos salários dos 132 funcionários
da empresa FTW em janeiro de 2020.
praticarVamos Praticar
Figura 1.3 - Distribuição dos salários dos 132 funcionários da empresa FTW em janeiro
de 2020 
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Agora é sua vez de praticar! Utilizando papel milimetrado ou Excel, construa um histograma
de frequências absolutas para o conjunto a seguir, utilizando o agrupamento dos dados em 3
classes.
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Grá�cos e tabelas estão presentes constantemente em nosso dia a dia. Seja nos jornais,
na TV ou revistas cientí�cas, o uso dessas ferramentas estatísticas facilita a nossa
compreensão quanto à informação que se deseja passar.
Representar gra�camente signi�ca construir um desenho que compile, de maneira
clara, o comportamento e a relação das variáveis em estudo. Para esboçá-los, podemos
elaborar tabelas que nos forneçam os valores que estarão presentes na representação.
A seguir, você verá uma sequência de tipos de grá�cos e uma recomendação quanto ao
seu uso.
Polígono de Frequência 
Grá�cos e TabelasGrá�cos e Tabelas
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É obtido ao ligarmos os pontos médios das classes de um histograma. O exemplo a
seguir corresponde ao polígono de frequência obtido a partir do exemplo dos 30
parentes de Andrade (2018), apresentado anteriormente.
Polígono de Frequência Relativa
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É uma variação do polígono de frequência no qual utilizamos a frequência relativa no
eixo vertical. Muito útil quando queremos comparar mais de um dado. Nesse caso, é
sugerido esboçar os polígonos no mesmo plano.
Ogiva
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Dessa vez, no eixo horizontal, consideramos o limite superior das classes do
histograma e, no eixo vertical, consideramos as frequências acumuladas. Na �gura a
seguir, por exemplo, concluímos que 25 dos parentes de Andrade (2018) têm idade
inferior a 60 anos.
Grá�icos de Barras
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Usado para representação da frequência de dados qualitativos. Esses dados
qualitativos são listados no eixo vertical e a frequência no eixo horizontal. Nesses
casos, a frequência pode ser absoluta (número inteiro) ou relativa (em dados
percentuais).
Grá�icos de Colunas
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Análogo ao grá�co de barras, porém, com dados qualitativos no eixo horizontal. A
frequência deve ser indicada no eixo vertical. Nesses casos, a frequência pode ser
absoluta (número inteiro) ou relativa (em dados percentuais), conforme ilustra o
grá�co.
Grá�ico de Setores (ou de Pizza)
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Representa frequências de dados qualitativos a partir de setores de um círculo. Cada
setor possui área proporcional à frequência relativa de cada um dos dados. Na �gura
acima, por exemplo, podemos concluir que aproximadamente metade dos médicos do
Brasil estava na região Sudeste em 2012.
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Diagrama de Dispersão
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Grá�co utilizado para representação de dados quantitativos, no qual, em cada um dos
eixos, representamos uma das variáveis. Os pares de dados são representados por
pontos no grá�co.
Esse tipo de grá�co é muito útil quando queremos veri�car a existência de relação
entre duas variáveis. No exemplo acima, podemos perceber a existência de uma
relação quadrática entre as variáveis tempo e altura.
ti
Figura 1.10 - Dados experimentais de tempo e altura de um corpo em um lançamento
vertical para cima 
Fonte: Elaborada pelo autor.
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praticarVamos Praticar
O condomínio Viver Bem realizou uma pesquisa de intenção de votos para os candidatos (X e
Y) para síndico. Na �gura a seguir, você veri�cará o número de condôminos que possuem
intenção de voto para cada um dos candidatos.
 
Avalie as asserções a seguir e a relação existente entre elas.
I. O grá�co apresentado está incorreto.
PORQUE
II. É inadequado para representação dos dados de intenção de votos, uma vez que leva o
eleitor a entender que o candidato X está com grande quantidade de votos acima do
candidato Y.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
Figura - Número de Moradores que Declararam
Intenção de Voto por Candidato a Síndico do
Condomínio VIVERBEM Fonte: Elaborada pelo autor.
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Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
Radio 
a) As asserções I e II são corretas, e II é uma justi�cativa da I.
b) As asserções I e II são corretas, e II não é uma justi�cativa da I.
c) A asserção I é falsa e a asserção II é verdadeira.
d) A asserção I é verdadeira e a asserção II é falsa.
e) As asserções I e II são falsas.
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As medidas estudadas nesta seção servem para descrever, de forma geral, nosso
conjunto e dados. As medidas de tendência central resumem, em um só número, nosso
conjunto. As medidas de dispersão servem para “quanti�car” a variação dos meus
dados.
Medidas de Tendência Central
As medidas de tendência central são aquelas que buscam representar o ponto de
equilíbrio dos dados. São números que resumem, de alguma forma, o nosso conjunto.
As mais importantes medidas de tendência central são a média, a mediana e a moda.
Média
MedidasdeMedidas de
Tendência Central eTendência Central e
DispersãoDispersão
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A média aritmética é a mais utilizada das medidas para a representação de um conjunto
de dados, podendo ser facilmente calculada conforme fórmula a seguir:
Exemplo:
Catarina realizou quatro provas de Espanhol no decorrer do ano em um curso de
Idiomas, com as notas a seguir:
1ª prova = 8,0;
2ª prova = 7,7;
3ª prova = 9,0;
4ª prova = 6,3.
Para encontrar a média aritmética simples, somamos todas as notas e dividimos pela
quantidade de provas realizadas.
Dessa forma, a média das notas de Catarina foi 7,75.
Média Ponderada
A média ponderada é baseada na multiplicação de um peso a cada observação do
conjunto de dados dividido pela soma dos pesos, ou seja, pode ser encontrada através
da seguinte fórmula:
Exemplo:
X =
+ +...+x1 x2 xN
N
X = = 7, 75
8,0 + 7,7 + 9,0 + 6,3
4
 X =
( )+ ( )+...+ ( )x1 P1 x2 P2 xN PN
 +   + ... + P1 P2 PN
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Roberto participou de um concurso onde foram realizadas provas de Português,
Matemática, História e Inglês. Essas provas tinham peso 4, 3, 2 e 1, respectivamente.
Sabendo que Roberto tirou 9,0 em Português, 8,5 em Matemática, 6,0 em História e
7,5 em Inglês, qual foi a média?
Dessa forma, a média das notas de Roberto foi 8,1.
Mediana
A mediana é o valor que está no centro de um conjunto de valores ordenados. Dessa
forma, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros
50% são maiores ou iguais à mediana.
Se o número de elementos da amostra é ímpar, a mediana é dada pelo valor central do
conjunto de dados ordenados. Por exemplo, o conjunto {6, 2, 3, 11, 1, 8, 13}. Devemos
ordenar os elementos e, em seguida, determinar o ponto central.
{ 1, 2, 3, 6, 8, 11, 13}
Logo, a mediana para este conjunto de elementos é igual a 6.
Se o número de elementos da amostra é par, a mediana é dada pela média dos valores
centrais. Considerado o conjunto de dados anterior, se acrescentarmos o valor 16,
teremos os seguintes valores centrais:
{1, 2, 3, 6, 8, 11, 13, 16}
Logo, a mediana é dada por:
Dessa forma, a mediana para este conjunto de elementos é igual a 7.
X = = = 8, 1
9,0(4)+8,5(3)+6,0(2)+7,5(1)
4 + 3 + 2 + 1
36+25,5+12+7,5
10
M   =   =  7d 6 + 8
2
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Moda
A última medida de tendência central a ser abordada neste capítulo é a moda. Moda é
de�nida como o valor mais frequente de um conjunto de dados, ou seja, o valor de
maior ocorrência dentre os valores observados. Caso não exista um valor mais
frequente, o conjunto de dados é denominado amodal. A representação da moda é
dada por Mo.
Exemplos:
Considere o conjunto de dados a seguir:
A = {3, 25, 7, 3, 1}
A moda para esse conjunto é: Mo = 3. É o número que aparece o maior número de
vezes.
B = {19, 25, 3, 25, 10, 19}
Neste exemplo, a moda é: Mo = 19 ou 25. Dessa forma, podemos dizer que o conjunto
B é bimodal, pois possui duas modas.
Medidas de Dispersão
Medidas de dispersão são parâmetros estatísticos usados para determinar o quanto
nossos dados variam. Esse indicador nos permite analisar a amostra de uma forma mais
assertiva, uma vez que as medidas de tendência central, em alguns casos, escondem o
nível de variação dos dados. Por exemplo, para de�nir uma brincadeira adequada para
uma festa de aniversário, não podemos considerar apenas a média de idade dos
convidados, uma vez que a variação das idades pode ser grande, o que deve pesar no
momento da escolha da diversão.
As medidas de dispersão mais usadas são: amplitude, variância, desvio padrão,
coe�ciente de variação, percentis e quartis.
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Amplitude
Essa medida de dispersão é de�nida como a diferença entre a maior e a menor
observação de um conjunto de dados, isto é:
A = Xmaior - Xmenor
A amplitude é a medida de dispersão menos utilizada, uma vez que não leva em
consideração os dados intermediários do conjunto.
Exemplo:
As notas do aluno Matheus no ano de 2019 foram 4,0; 5,0; 9,0 e 10,0. Sendo assim, a
amplitude das notas deles é:
A = Xmaior - Xmenor = 10,0 – 4,0 = 6,0
Variância e Desvio Padrão
A variância consiste na média dos quadrados, das diferenças entre cada uma das
observações e a média aritmética da amostra.
Considere uma amostra representada por {x1, x2, …, xn} de n observações numéricas.
Existem duas fórmulas para calcular a variância.
A variância populacional é de�nida por:
onde ▁X é a média aritmética da distribuição.
Já a variância amostral é de�nida por:
onde ▁X é a média aritmética da distribuição.
V ar (x)   =  
+... + ( − )x1 X −−
2 +( − )x2 X −−
2 ( − )xn X −−
2
n
V ar (x)   =  
+... + ( − )x1 X −−
2 +( − )x2 X −−
2 ( − )xn X −−
2
n − 1
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O desvio padrão é outra forma de analisar a regularidade de um conjunto de valores. O
desvio padrão de uma população é dado pela raiz quadrada da variância.
Coe�iciente de Variação
O coe�ciente de variação é utilizado para veri�car a variabilidade do nosso conjunto de
dados, calculado através da fórmula:
Onde:
s = desvio padrão;
 = média dos dados.
Medidas de Posição Relativa
Percentis são medidas que dividem os dados em 100 grupos, cada um deles contendo
cerca de 1% do conjunto. Por explicar, o décimo segundo percentil, , tem 12% dos
dados abaixo dele.
De modo geral, para calcular o percentil que corresponde ao valor x, você deve utilizar
a seguinte fórmula:
Ao aplicar a fórmula, arredonde o resultado para o inteiro mais próximo. Para
converter um percentil em um valor de dado, utilizando a fórmula a seguir.
=σ2  
+... + ( − )x1 X −−
2 +( − )x2 X −−
2 ( − )xn X −−
2
n
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
CV   =   .  100s
X
−
X
−
P12
percentil do valor x = ⋅ 100
n mero de valores menores que xú
n mero total de valoresú
L = ⋅ nk
100
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Em que:
L= localizador que nos fornece a posição de um valor (ou seja, a posição do dado
procurado, uma vez que ordenemos nossa base);
= k-ésimo percentil;
n= número total de valores do conjunto.
Quartis
Quartis são medidas que dividem os dados em 4 grupos, cada um contendo cerca de
25% do conjunto. Os três números são denotados por , e .
Pk
Q1 Q2 Q3
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O primeiro quartil ( ) separa os 25% menores valores dos 75% maiores valores. O
terceiro quartil ( ) separa os 75% menores valores dos 25% maiores valores. O
segundo quartil ( ) sempre coincide com a mediana, pois separa o conjunto em dois
grupos de tamanhos iguais. Para calcular algum quartil, aplique a fórmula de cálculo de
um percentil, assumindo as seguintes igualdades: , e .
praticarVamos Praticar
Analise o conjunto de dados:
O conjunto de dados “a” contém 25 números listados já em ordem crescente.
Utilizando os conceitos já estudados nessa unidade, calcule o valor do segundo quartil
do conjunto de dados e assinale a alternativa correspondente:
Q1
Q3
Q2
=Q1 P25 =Q2 P50 =Q3 P75
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a) 7.
b) 15.
c) 18.
d) 24.
e) 26.
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indicações
Material
Complementar
L I V R O
Introdução à Estatística - Atualização da
Tecnologia - Capítulos 1, 2 e 3.
Mario F. Triola.
Editora: LTC.ISBN: 9788521634256.
Comentário: Neste livro, você encontrará outros exemplos e
aplicações de todo o conteúdo trabalhado na unidade, além de
inúmeros exercícios para fortalecer e �xar seu aprendizado.
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W E B
Estatística - Ensinem Estatística antes de
Cálculo.
Ano: 2009.
 Comentário: Neste TedTalk, o professor Arthur Benjamin
alerta para uma forma de tornar o aprendizado de
Matemática essencial na vida das pessoas. Em sua crítica, ele
ressalta o fato dos currículos dos cursos superiores em
Ciências Exatas dedicarem seu conteúdo de matemática para
os pilares que conduzem o Cálculo Diferencial e Integral. Em
outras palavras, ele a�rma que o aprendizado de Estatística e
Probabilidade é o caminho para um conhecimento mais
moderno e alinhado com o que se espera dos pro�ssionais do
futuro.
A C E S S A R
https://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_teach_statistics_before_calculus?language=pt-br
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conclusão
Conclusão
A partir de agora, você já apto a trabalhar com distribuições de frequência, realizar a
análise de grá�cos e tabelas, além de calcular média, mediana, moda e algumas
medidas de dispersão.
Para �xar de�nitivamente o conteúdo lido, é importante que você se dedique a realizar
exercícios sobre os temas aqui trabalhados. Como toda disciplina da área de exatas,
dedicação e aplicação são fundamentais para a otimização do seu aprendizado.
Bons estudos!
referências
Referências
Bibliográ�cas
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo:
Pioneira Thomson Learning, 2006.
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MONTGOMERY, D. C., RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para
engenheiros. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Cientí�cos, 2003.
TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística: atualização da tecnologia. 11. ed. Rio de
Janeiro, LTC, 2013.