TaxasRelacionadas_Diferenciais_Final

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Taxas Relacionadas 
1 
Sendo o volume do balão dado por com que velocidade o 
 Exemplo1: Um grande balão esférico de borracha está sendo cheio a 
 uma taxa de 8 m3/min. É fácil concluir que tanto o volume quanto o raio 
 do balão aumentam com o tempo. 
3
3
4
rV 
raio r do balão cresce quando: a. r = 2m b. r = 4m 
 Exemplo 2: Uma garota e seu namorado planejaram fugir, mas a mãe do 
 rapaz o trancou no quarto. Para resgatá-lo, a garota colocou uma escada de 
 13 metros apoiada na parede da casa dele. Quando começou a bater na 
 janela, sua sogra começou a empurrar a base da escada 
 no sentido contrário da parede a uma taxa de 6 m/min. 
 Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move 
 para baixo, encostado à parede, quando a base da escada 
 está a 5 metros da parede? 
 
Taxas Relacionadas 
2 
1. Se possível, desenhe uma figura e identifique as variáveis e as constantes. 
 Use a variável t para o tempo e suponha que todas as variáveis são 
 funções deriváveis de t. 
 
 Resumo para resolução de problemas de taxas relacionadas 
2. Escreva as informações numéricas e o que se deseja obter. 
3. Escreva uma equação que relacione as variáveis e derive em relação a t. 
4. Expresse a taxa desejada em função dos valores conhecidos, calculando-a. 
Taxas Relacionadas 
3 
 Exemplo 3: Um tanque em forma de cone com o vértice para baixo tem 
 12 metros de altura e um diâmetro também de 12 metros no topo. 
 A água é bombeada a uma taxa de 4m3/min. Determine a taxa com que 
 o nível de água sobe quando a profundidade for de: 
hrV 2
3
1

a. 2,0 metros b. 8,0 metros 
OBS: Lembrar que: onde r é o raio e h é a altura. 
 Exercício 
 Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um 
 viaja para o sul a 30 km/h e outro para oeste a 72 km/h. A que taxa 
 está crescendo a distância entre os carros duas horas depois? 
Resp: hkm
dt
ds
/78
Linearização e Diferenciais 
4 
 Funções complicadas podem ser aproximadas por funções mais simples 
 com boa precisão. 
 Linearizações são funções de aproximação baseadas em retas 
 tangentes. 
 As variáveis dx e dy (diferenciais) serão apresentadas e dy será usada 
 em estimativas de erros de medida e na sensibilidade de uma função à 
 variação. 
Linearização e Diferenciais 
 Ao fazer um zoom em torno de um ponto do gráfico de uma função 
 diferenciável, esse gráfico e a reta tangente ao ponto se confundem. 
 Desta forma, a função pode ser aproximada por uma função linear. 
5 
 Linearização 
Linearização e Diferenciais 
 A partir da figura abaixo, tem-se que a tangente à curva y = f (x) no 
 ponto x = a, onde a função f é derivável, passa pelo ponto (a, f (a)). 
6 
Assim, a equação da reta tangente à curva 
y = f (x) no ponto (a, f (a)) é dada por: 
)()()( axafafy 
 Esta reta é o gráfico da função linear: 
E, enquanto, esta reta permanecer próxima ao gráfico de f, L(x) 
fornecerá uma boa aproximação para f (x). 
 
)()()()( axafafxL 
Linearização e Diferenciais 
 Se f é derivável no ponto x = a, então a função: 
7 
 Definições 
é a linearização de f em a. A aproximação f (x)  L(x) de f por L é a 
aproximação linear padrão de f em a. O ponto x = a é o centro da 
aproximação. 
)()()()( axafafxL 
 Exemplo 4: Obtenha a linearização de quando x = 0. xxf  1)(
 )0()0()0()( xffxL
2/1)1(
2
1
)(  xxf
Sol: 








2
1
)0(
1)0(
0Em
f
f
x A linearização é dada por: 
xxL
2
1
1)( 
Linearização e Diferenciais 
 Estudo de precisão do Exemplo 4 
8 
 Exemplo 5: Obtenha a linearização de 
xxf cos)( 
Em módulo 
kxx k  1)1(
quando x = /2. 
OBS: Uma aproximação linear importante para raízes e potências é 
 dada pela seguinte expressão: 
quando x é um número próximo a zero e k é número qualquer. 
Linearização e Diferenciais 
9 
Esta aproximação, boa para valores de x suficientemente próximos 
de zero, tem uma vasta aplicação. 
 Exemplo 6: Considerando x como um valor pequeno, utilize a 
 aproximação linear dada para o cálculo de: 
x
xf


1
1
)(
 Exercícios 
 Use a aproximação linear para calcular uma 
 
kxx k  1)1(
aproximação da função para valores de x próximos a zero: 
3/1
6
)34()(.
)1()(.
xxfb
xxfa


Resp: 








4
14)(.
61)(.
3/1 xxLb
xxLa
Linearização e Diferenciais 
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 Seja y = f (x) uma função derivável. A diferencial dx é uma variável 
 independente. A diferencial dy é dependente de x e de dx: 
 Diferencial - Definição 
dxxfdy )(
 Seja x = a e façamos dx = x. A variação correspondente em y = f (x) é 
 Diferencial – Significado Geométrico 
Quando dx é uma variação pequena 
de x, a variação correspondente na 
linearização (L) é exatamente dy. 
)()( afdxafy 
Linearização e Diferenciais 
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 A variação correspondente em L é: 
Tomando a expressão: 
)()( aLdxaLL 
)()()()( axafafxL 
tem-se que: dxafafadxaafafdxaL )()()()()()( 
e )()()()()( afaaafafaL 
Finalmente, tem-se que: dxafL )(
Equivale à diferencial dy quando x = a e dx = x. 
 Se dx  0, o quociente da diferencial dy pela diferencial dx é igual à 
 derivada: 
dx
dy
xf
dx
dxxf
dxdy 

 )(
)(
Linearização e Diferenciais 
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Ex: Se dxxdfxxf 23 682)( 
 Pode-se escrever ao invés de , 
onde df é a diferencial de f. 
dxxfdf )( dxxfdy )(
Toda forma de diferenciação do tipo: 
dx
dv
dx
du
vu
dx
d
 )( ou 
dx
du
uu
dx
d
cos)sen( 
tem uma forma diferencial do tipo: 
dvduvud  )( ou duuud cos)sen( 
 Exemplo 7: Determine as diferenciais das funções a seguir: 






 1x
x
d)2( xtgd e 
Linearização e Diferenciais 
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 Suponha que uma função derivável f (x) tenha seu valor conhecido 
 em um ponto x = a. Deseja-se prever que variação este valor 
 sofrerá se formos para um ponto próximo (a + dx). 
 Estimando com diferenciais 
 Se dx for pequeno, viu-se pela figura abaixo, mostrada anteriormente, 
 que y é aproximadamente igual à diferencial dy. 
yafdxaf  )()(Uma vez que: a aproximação diferencial é 
dyafdxaf  )()( onde dx = x 
Assim, a aproximação y  dy pode 
ser utilizada para calcular f (a + dx) 
quando f (a) é conhecido e dx é 
pequeno. 
Linearização e Diferenciais 
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 Exemplo 8: O raio r de uma circunferência aumenta de a = 10 m para 
 10,1 m (Figura). Utilize dA para estimar o aumento na área A da 
 circunferência. Estime a área do círculo aumentado e compare a 
 estimativa com a área real. 
• Variação real: 
 
• Estimativa diferencial: 
 Sendo f (x) uma função derivável em x = a e dx = x um 
 incremento de x , há duas formas de descrever a variação de f à 
 medida que x varia de a para (a + x): 
 Erro na aproximação 
)()( afdxaff 
dxafdf )(
Linearização e Diferenciais 
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 O erro na aproximação é dado por: 
 À medida que x 0, tem-se que a razão incremental se aproxima de: 
])([)]()([Erro xafafdxafdff 
)(af 
xxaf
x
afdxaf









 )(
)]()([
Erro
 Dividindo e multiplicando por x, tem-se que: 
Assim, a quantidade entre parênteses se torna um número muito 
pequeno. 
 Na verdade,  0 à medida que x 0. Quando x é pequeno, 
 o erro de aproximação (x) é menor ainda. 
xxaff  )(
Variação real Variação estimada 
Erro 
Linearização e Diferenciais 
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 Prova da Regra da Cadeia 
 No exemplo da circunferência, foi visto que: 
222 )01,02()10001,102()0,10()1,10( mA  
 O erro de aproximação é: 
201,0 mdAA  Mostrar que se f (u) é uma função derivável de u e u = g(x) é uma 
 função derivável de x, então a função composta y = f (g(x)) é uma 
 função derivável de x. 
 
 
)(.))((:))((Se 00
0
xgxgf
dx
dy
xgfy
xx


 Em outras palavras, se a função g é derivável em x0 e a função é 
 derivável em g(x0), a função composta f (g(x)) é derivável em x0 e: 
Linearização e Diferenciais 
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• A partir da expressão , pode-se determinar o quanto 
o valor da função f é sensível à variação de x. 
dxxfdf )(
 Sensibilidade à Variação 
• Quanto maior for o valor de , maior será o efeito que a 
 variação dx causa na função. 
)(xf 
 À medida que nos deslocamos de um ponto a para um ponto próximo 
 a + dx, podemos escrever a variação da função de três formas: 
 
Real Estimada 
Variação Absoluta 
Variação Relativa 
Variação Percentual 
)()( afdxaff 
)(/ aff )(/ afdf
dxafdf )(
100)](/[  aff 100)](/[ afdf
Linearização e Diferenciais 
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 Exercício 
 Seja O valor da função varia quando x varia .342)(
2  xxxf
de x0 para x0 + dx. Sendo x0 = -1 e dx = 0,1, determine: 
a) a variação f. 
b) A estimativa df. 
c) O erro na aproximação | f - df |.