TVM_TestesDerivadas_Final

Prévia do material em texto

Teorema do Valor Médio 
1 
 Teorema 3: Teorema de Rolle 
 Supondo que y = f (x) é contínua em todos os pontos de um intervalo 
 fechado [a, b] e derivável em todos os pontos do intervalo (a, b). 
 Se f (a) = f (b) , então há pelo menos um número c em (a, b) no qual: 
 
0)(  cf
2 
Teorema do Valor Médio 
 Teorema 4: Teorema do Valor Médio 
 É uma forma inclinada do Teorema de Rolle. 
Supondo que y = f (x) é contínua em um intervalo fechado [a, b] e 
derivável no intervalo (a, b). Então, existe pelo menos um número c 
em (a, b) em que: 
 
ab
afbf
cf



)()(
)(
3 
Teorema do Valor Médio 
 Prova: Seja a figura abaixo: 
Determinação da reta AB: Calcula-se 
o coeficiente angular: 
 
 
e tomando o ponto A (a, f (a)): 
 
ab
afbf
m



)()(
)(
)()(
)( ax
ab
afbf
afy 



Chamando o y da reta de g(x), tem-se: 
 
 
)(
)()(
)()( ax
ab
afbf
afxg 



4 
Teorema do Valor Médio 
Fazendo: h (x) = f (x) - g(x), tem-se: 
 
 








 )(
)()(
)()()()()( ax
ab
afbf
afxfxgxfxh





0)(
0)(
Quando
bhbx
ahax
A função h (x) satisfaz a hipótese 
do Teorema de Rolle em [a, b]. 
Ela é contínua em [a, b] e derivável 
em (a, b), pois as funções f (x) e g(x) o são. 
Além disso, h (a) = h (b). 
 
5 
Teorema do Valor Médio 
Os gráficos de f (x) e g(x) passam pelos pontos A e B. Assim, para um dado 
 c em (a, b): 
 
 Como: 
 
0)(  ch









 )(
)()(
)()()()()( ax
ab
afbf
afxfxgxfxh
ab
afbf
xfxh



)()(
)()(
Para x = c: 
 
ab
afbf
cfch



)()(
)()(
Como: 
 
0)(  ch
ab
afbf
cf



)()(
)(
6 
Consequências matemáticas 
Teorema do Valor Médio 
Corolário 1: Funções com Derivadas Nulas são Constantes 
Se em todos os pontos de um intervalo aberto (a, b), 
 então f (x) = C para qualquer x em (a, b), onde C é uma constante. 
 
0)(  xf
Prova: Para provar que f = constante em (a, b), tomam-se dois pontos um 
quaisquer x1 e x2 em (a, b). 
 
Sendo x1 < x2, a função satisfaz a hipótese do Teorema do Valor Médio 
no intervalo [x1, x2], ou seja: é derivável em qualquer ponto em [x1, x2] e, 
obviamente, é contínua também. 
7 
Teorema do Valor Médio 
Assim: para um ponto c entre x1 e x2. 
12
12 )()()(
xx
xfxf
cf



0)(  xf
)()( 21 xfxf 
Como: ao longo de todo o intervalo (a, b), tem-se: 
c.q.d. 
 
Assim, de acordo com o Corolário 1, h(x) = C para qualquer x  (a, b), 
ou seja: 
Prova: Para qualquer x  (a, b), a derivada da função h(x) = f (x) - g(x) = 0 
é: 
8 
Teorema do Valor Médio 
Corolário 2: Funções com a mesma derivada diferem de uma constante 
Se em cada ponto x de um intervalo aberto (a, b), então existe 
 uma constante C tal que f (x) = g(x) + C para qualquer x em (a, b), ou seja: 
 
)()( xgxf 
),(qualquerpara)()( baxCxgxf 
0)()()(  xgxfxh
CxgxfCxgxfxh  )()()()()(
Teste da Primeira Derivada 
 Uma função que é crescente ou decrescente em um intervalo I é 
 chamada monotônica em I. O intervalo I pode ser finito ou infinito. 
9 
 Definições: Funções Crescentes e Decrescentes 
 Seja f uma função definida em um intervalo I e sejam x1 e x2 dois pontos 
 quaisquer em I. 
 
 Se sempre que , a função é crescente em I. 
 
 Se sempre que , a função é decrescente em I. 
)()( 21 xfxf  21 xx 
21 xx )()( 21 xfxf 
Teste da Primeira Derivada 
10 
2)( xxf  Exemplo 1: Determine os intervalos em que a função é 
 monotônica. 
 Com relação às derivadas deve-se observar que: 
 No intervalo (-, 0), as tangentes apresentam coeficientes angulares 
 negativos, ou seja, a primeira derivada é sempre negativa. 
 No intervalo (0, ), as tangentes apresentam coeficientes angulares 
 positivos, ou seja, a primeira derivada é sempre positiva. 
Teste da Primeira Derivada 
11 
Corolário 3: Teste da primeira derivada para funções monotônicas 
Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b). 
 
 Se em qualquer ponto x  (a, b): f é crescente em [a, b]. 
 
 
 Se em qualquer ponto x  (a, b): f é decrescente em [a, b]. 
0)(  xf
0)(  xf
512)( 3  xxxf Exemplo 2: Determine os pontos críticos de e 
 identifique os trechos onde a função é crescente e decrescente. 
Teste da Primeira Derivada 
12 
512)( 3  xxxf
Teste da Primeira Derivada 
13 
 Teste da Primeira Derivada para Extremos Locais 
 Suponha que c seja um ponto crítico de uma função contínua f e que 
 f seja derivável em qualquer ponto de um intervalo que contenha c, 
 exceto possivelmente o próprio “c”. 
 
 
Teste da Primeira Derivada 
14 
 Movendo-se ao longo de c, da esquerda para a direita: 
 Se o sinal de f  muda de negativo para positivo em c: a função f possui 
 um mínimo local em c. 
 Se o sinal de f  muda de positivo para negativo em c: a função f possui 
 um máximo local em c. 
Teste da Primeira Derivada 
15 
xexxf )3()( 2 
 Exemplo 3: Determine os pontos críticos da função abaixo e 
 identifique os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. 
 Determine ainda os extremos locais da função. 
Teste da Primeira Derivada 
16 
 Exercício: Para as funções dadas: 
 Encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente. 
 Identifique os extremos locais (se houver) e onde ocorrem. 
 Se houver extremos locais, algum deles é absoluto? Quais? 
 
a. 168)( 24  xxxf
xxxf  5)( 2
2
3
)(
2



x
x
xf
b. 
c. 
Gráficos - Exercícios 
17 
 Exercício 1a: 168)( 24  xxxf
Gráficos - Exercícios 
18 
 Exercício 1b: 
 
xxxf  5)( 2
Gráficos - Exercícios 
19 
 Exercício 1c: 
2
3
)(
2



x
x
xf
Concavidade e Esboço de Curvas 
20 
 Concavidade: Definição – 2ª. derivada 
 O gráfico de uma função derivável y = f (x) é côncavo para cima em 
 um intervalo aberto I , se f  é crescente em I. 
 
 O gráfico de uma função derivável y = f (x) é côncavo para baixo em 
 um intervalo aberto I , se f  é decrescente em I. 
 Pelo Corolário 3 do TVM, pode-se concluir que é crescente se > 0 
 em I e decrescente se a segunda derivada for negativa em I. 
f  f 
Concavidade e Esboço de Curvas 
21 
Teste da segunda derivada para concavidade 
Seja y = f (x) uma função duplamente derivável em um intervalo I. 
 
 Se em I, o gráfico de f ao longo de I é côncavo para cima. 
 
 Se em I, o gráfico de f ao longo de I é côncavo para baixo. 
0)(  xf
0)(  xf
2xy 
 Exemplo 4: Determine a concavidade das funções abaixo: 
]2,0[emsen xy e 
Concavidade e Esboço de Curvas 
22 
 Ponto de Inflexão: definição 
 Se em um ponto de uma curva de um lado e do 
 outro lado, este ponto é um ponto de inflexão. 
0)(  xf 0)(  xf
OBS1: Pode não existir um ponto de inflexão onde . 
 Por exemplo: y = x4 em x = 0. 
0)(  xf
OBS2: Pode existir um ponto de inflexão onde não existe. 
 Por exemplo: y = x1/3 em x = 0. 
)( xf 
 É um ponto onde há mudança de concavidade. Neste ponto, a segunda 
 derivada é nula ou indefinida. 
Concavidade e Esboço de Curvas 
23 
0,522142)( 23  ttttts
 Exemplo 5: Uma partícula se desloca ao longo de uma reta horizontal 
 de acordo com a função posição: 
Determine a velocidade e a aceleração e descreva o movimento 
da partícula. 
Posição: s(t) 
Velocidade: v(t) 
Concavidade e Esboçode Curvas 
24 
Posição: s(t) 
Aceleração: a(t) 
Velocidade: v(t) 
Aceleração: a(t) 
 
Concavidade e Esboço de Curvas 
25 
 Teorema: Teste da segunda derivada para extremos locais. 
Suponha que seja contínua em um intervalo aberto que contenha c. 
 Se e : f possui um máximo local quando x = c. 
 
 Se e : f possui um mínimo local quando x = c. 
 
 Se e : o teste falha. 
0)(  cf 0)(  cf
 Exemplo 6: Para a função determine: 
 
a) Se há extremos e onde ocorrem. 
b) Os intervalos onde a função é crescente e decrescente. 
c) Os trechos onde o gráfico da função é côncavo para cima e onde o 
 gráfico é côncavo para baixo. 
f 
0)(  cf
0)(  cf0)(  cf
0)(  cf
104)( 34  xxxf
Concavidade e Esboço de Curvas 
26 
Função 
Primeira derivada 
Função 
Segunda derivada 
Concavidade e Esboço de Curvas 
27 
 Estratégia para construção do gráfico de uma função. 
1. Identifique o domínio da função f e quaisquer simetrias que a curva possa 
apresentar. 
2. Determine os valores de e f f 
3. Determine os pontos críticos da função f, identificando o comportamento da 
função em cada um deles. 
4. Determine a subida e a descida da curva. 
 5. Determine os pontos de inflexão, se houver, e a concavidade da curva. 
6. Identifique as assíntotas. 
 7. Trace os pontos mais importantes, tais como os pontos de interseção com os 
eixos e os obtidos nos passos 3 e 5. 
8. Esboce a curva. 
 
Problemas de Otimização 
28 
 Otimizar algo significa maximizar ou minimizar alguns de seus 
 aspectos e o cálculo diferencial é uma ferramenta poderosa para 
 resolver este tipo de problema: 
 Exemplo 7: Deseja-se construir uma caixa retangular aberta com uma folha de 
 papelão de 8  15 pol recortando quadrados congruentes dos vértices da folha 
 e dobrando suas bordas para cima. Quais são as dimensões da caixa de maior 
 volume que pode ser feita? 
 
Desenhos Ilustrativos (dimensões diferentes) 
 
Problemas de Otimização 
29 
 Exemplo 9: O muro de 8 pés da figura a seguir está a 27 pés do 
 edifício. Determine o comprimento da viga mais curta para alcançar 
 o prédio, apoiada no solo do lado esquerdo do muro? 
 Exemplo 8: A altura de um objeto que se desloca verticalmente é dada 
por: 
1129616)( 2  ttts
com s em pés e t em segundos. Determine: 
a. A velocidade do objeto quando t = 0. 
b. Sua altura máxima e quando esta ocorre. 
c. Sua velocidade quando s = 0. 
 
Exercícios 
30 
1. Determine o valor do maior cone de revolução que pode ser inscrito 
em uma esfera de raio 3: 
 
Resp: 
3
32
)1(e1

 Vy
Exercícios 
31 
a. Que dimensões terá uma caixa com base quadrada para ter o maior 
 volume possível? 
 
b. E se a caixa tiver lados quadrados (h) e profundidade (w), que 
 dimensões terá a caixa para que o volume seja máximo? 
 
2. O serviço postal americano só aceita caixas para entrega doméstica se a 
 soma do seu comprimento com o perímetro da base não exceder 108 pol. 
Resp: a. Dimensões: 18 × 18 × 36; b. Dimensões: 36 × 24 × 24