Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Teorema do Valor Médio 1 Teorema 3: Teorema de Rolle Supondo que y = f (x) é contínua em todos os pontos de um intervalo fechado [a, b] e derivável em todos os pontos do intervalo (a, b). Se f (a) = f (b) , então há pelo menos um número c em (a, b) no qual: 0)( cf 2 Teorema do Valor Médio Teorema 4: Teorema do Valor Médio É uma forma inclinada do Teorema de Rolle. Supondo que y = f (x) é contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no intervalo (a, b). Então, existe pelo menos um número c em (a, b) em que: ab afbf cf )()( )( 3 Teorema do Valor Médio Prova: Seja a figura abaixo: Determinação da reta AB: Calcula-se o coeficiente angular: e tomando o ponto A (a, f (a)): ab afbf m )()( )( )()( )( ax ab afbf afy Chamando o y da reta de g(x), tem-se: )( )()( )()( ax ab afbf afxg 4 Teorema do Valor Médio Fazendo: h (x) = f (x) - g(x), tem-se: )( )()( )()()()()( ax ab afbf afxfxgxfxh 0)( 0)( Quando bhbx ahax A função h (x) satisfaz a hipótese do Teorema de Rolle em [a, b]. Ela é contínua em [a, b] e derivável em (a, b), pois as funções f (x) e g(x) o são. Além disso, h (a) = h (b). 5 Teorema do Valor Médio Os gráficos de f (x) e g(x) passam pelos pontos A e B. Assim, para um dado c em (a, b): Como: 0)( ch )( )()( )()()()()( ax ab afbf afxfxgxfxh ab afbf xfxh )()( )()( Para x = c: ab afbf cfch )()( )()( Como: 0)( ch ab afbf cf )()( )( 6 Consequências matemáticas Teorema do Valor Médio Corolário 1: Funções com Derivadas Nulas são Constantes Se em todos os pontos de um intervalo aberto (a, b), então f (x) = C para qualquer x em (a, b), onde C é uma constante. 0)( xf Prova: Para provar que f = constante em (a, b), tomam-se dois pontos um quaisquer x1 e x2 em (a, b). Sendo x1 < x2, a função satisfaz a hipótese do Teorema do Valor Médio no intervalo [x1, x2], ou seja: é derivável em qualquer ponto em [x1, x2] e, obviamente, é contínua também. 7 Teorema do Valor Médio Assim: para um ponto c entre x1 e x2. 12 12 )()()( xx xfxf cf 0)( xf )()( 21 xfxf Como: ao longo de todo o intervalo (a, b), tem-se: c.q.d. Assim, de acordo com o Corolário 1, h(x) = C para qualquer x (a, b), ou seja: Prova: Para qualquer x (a, b), a derivada da função h(x) = f (x) - g(x) = 0 é: 8 Teorema do Valor Médio Corolário 2: Funções com a mesma derivada diferem de uma constante Se em cada ponto x de um intervalo aberto (a, b), então existe uma constante C tal que f (x) = g(x) + C para qualquer x em (a, b), ou seja: )()( xgxf ),(qualquerpara)()( baxCxgxf 0)()()( xgxfxh CxgxfCxgxfxh )()()()()( Teste da Primeira Derivada Uma função que é crescente ou decrescente em um intervalo I é chamada monotônica em I. O intervalo I pode ser finito ou infinito. 9 Definições: Funções Crescentes e Decrescentes Seja f uma função definida em um intervalo I e sejam x1 e x2 dois pontos quaisquer em I. Se sempre que , a função é crescente em I. Se sempre que , a função é decrescente em I. )()( 21 xfxf 21 xx 21 xx )()( 21 xfxf Teste da Primeira Derivada 10 2)( xxf Exemplo 1: Determine os intervalos em que a função é monotônica. Com relação às derivadas deve-se observar que: No intervalo (-, 0), as tangentes apresentam coeficientes angulares negativos, ou seja, a primeira derivada é sempre negativa. No intervalo (0, ), as tangentes apresentam coeficientes angulares positivos, ou seja, a primeira derivada é sempre positiva. Teste da Primeira Derivada 11 Corolário 3: Teste da primeira derivada para funções monotônicas Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Se em qualquer ponto x (a, b): f é crescente em [a, b]. Se em qualquer ponto x (a, b): f é decrescente em [a, b]. 0)( xf 0)( xf 512)( 3 xxxf Exemplo 2: Determine os pontos críticos de e identifique os trechos onde a função é crescente e decrescente. Teste da Primeira Derivada 12 512)( 3 xxxf Teste da Primeira Derivada 13 Teste da Primeira Derivada para Extremos Locais Suponha que c seja um ponto crítico de uma função contínua f e que f seja derivável em qualquer ponto de um intervalo que contenha c, exceto possivelmente o próprio “c”. Teste da Primeira Derivada 14 Movendo-se ao longo de c, da esquerda para a direita: Se o sinal de f muda de negativo para positivo em c: a função f possui um mínimo local em c. Se o sinal de f muda de positivo para negativo em c: a função f possui um máximo local em c. Teste da Primeira Derivada 15 xexxf )3()( 2 Exemplo 3: Determine os pontos críticos da função abaixo e identifique os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. Determine ainda os extremos locais da função. Teste da Primeira Derivada 16 Exercício: Para as funções dadas: Encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente. Identifique os extremos locais (se houver) e onde ocorrem. Se houver extremos locais, algum deles é absoluto? Quais? a. 168)( 24 xxxf xxxf 5)( 2 2 3 )( 2 x x xf b. c. Gráficos - Exercícios 17 Exercício 1a: 168)( 24 xxxf Gráficos - Exercícios 18 Exercício 1b: xxxf 5)( 2 Gráficos - Exercícios 19 Exercício 1c: 2 3 )( 2 x x xf Concavidade e Esboço de Curvas 20 Concavidade: Definição – 2ª. derivada O gráfico de uma função derivável y = f (x) é côncavo para cima em um intervalo aberto I , se f é crescente em I. O gráfico de uma função derivável y = f (x) é côncavo para baixo em um intervalo aberto I , se f é decrescente em I. Pelo Corolário 3 do TVM, pode-se concluir que é crescente se > 0 em I e decrescente se a segunda derivada for negativa em I. f f Concavidade e Esboço de Curvas 21 Teste da segunda derivada para concavidade Seja y = f (x) uma função duplamente derivável em um intervalo I. Se em I, o gráfico de f ao longo de I é côncavo para cima. Se em I, o gráfico de f ao longo de I é côncavo para baixo. 0)( xf 0)( xf 2xy Exemplo 4: Determine a concavidade das funções abaixo: ]2,0[emsen xy e Concavidade e Esboço de Curvas 22 Ponto de Inflexão: definição Se em um ponto de uma curva de um lado e do outro lado, este ponto é um ponto de inflexão. 0)( xf 0)( xf OBS1: Pode não existir um ponto de inflexão onde . Por exemplo: y = x4 em x = 0. 0)( xf OBS2: Pode existir um ponto de inflexão onde não existe. Por exemplo: y = x1/3 em x = 0. )( xf É um ponto onde há mudança de concavidade. Neste ponto, a segunda derivada é nula ou indefinida. Concavidade e Esboço de Curvas 23 0,522142)( 23 ttttts Exemplo 5: Uma partícula se desloca ao longo de uma reta horizontal de acordo com a função posição: Determine a velocidade e a aceleração e descreva o movimento da partícula. Posição: s(t) Velocidade: v(t)
Compartilhar