Teorema de Rolle Teorema do Valor Médio Conseqüências matemáticas do Teorema do Valor Médio Funções monotônicas e o teste da primeira derivada

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Teorema do Valor Médio 
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 Teorema 3: Teorema de Rolle 
 Supondo que y = f (x) é contínua em todos os pontos de um intervalo 
 fechado [a, b] e derivável em todos os pontos do intervalo (a, b). 
 Se f (a) = f (b) , então há pelo menos um número c em (a, b) no qual: 
 
0)(  cf
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Teorema do Valor Médio 
 Teorema 4: Teorema do Valor Médio 
 É uma forma inclinada do Teorema de Rolle. 
Supondo que y = f (x) é contínua em um intervalo fechado [a, b] e 
derivável no intervalo (a, b). Então, existe pelo menos um número c 
em (a, b) em que: 
 
ab
afbf
cf



)()(
)(
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Teorema do Valor Médio 
 Prova: Seja a figura abaixo: 
Determinação da reta AB: Calcula-se 
o coeficiente angular: 
 
 
e tomando o ponto A (a, f (a)): 
 
ab
afbf
m



)()(
)(
)()(
)( ax
ab
afbf
afy 



Chamando o y da reta de g(x), tem-se: 
 
 
)(
)()(
)()( ax
ab
afbf
afxg 



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Teorema do Valor Médio 
Fazendo: h (x) = f (x) - g(x), tem-se: 
 
 








 )(
)()(
)()()()()( ax
ab
afbf
afxfxgxfxh





0)(
0)(
Quando
bhbx
ahax
A função h (x) satisfaz a hipótese 
do Teorema de Rolle em [a, b]. 
Ela é contínua em [a, b] e derivável 
em (a, b), pois as funções f (x) e g(x) o são. 
Além disso, h (a) = h (b). 
 
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Teorema do Valor Médio 
Os gráficos de f (x) e g(x) passam pelos pontos A e B. Assim, para um dado 
 c em (a, b): 
 
 Como: 
 
0)(  ch









 )(
)()(
)()()()()( ax
ab
afbf
afxfxgxfxh
ab
afbf
xfxh



)()(
)()(
Para x = c: 
 
ab
afbf
cfch



)()(
)()(
Como: 
 
0)(  ch
ab
afbf
cf



)()(
)(
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Consequências matemáticas 
Teorema do Valor Médio 
Corolário 1: Funções com Derivadas Nulas são Constantes 
Se em todos os pontos de um intervalo aberto (a, b), 
 então f (x) = C para qualquer x em (a, b), onde C é uma constante. 
 
0)(  xf
Prova: Para provar que f = constante em (a, b), tomam-se dois pontos um 
quaisquer x1 e x2 em (a, b). 
 
Sendo x1 < x2, a função satisfaz a hipótese do Teorema do Valor Médio 
no intervalo [x1, x2], ou seja: é derivável em qualquer ponto em [x1, x2] e, 
obviamente, é contínua também. 
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Teorema do Valor Médio 
Assim: para um ponto c entre x1 e x2. 
12
12 )()()(
xx
xfxf
cf



0)(  xf
)()( 21 xfxf 
Como: ao longo de todo o intervalo (a, b), tem-se: 
c.q.d. 
 
Assim, de acordo com o Corolário 1, h(x) = C para qualquer x  (a, b), 
ou seja: 
Prova: Para qualquer x  (a, b), a derivada da função h(x) = f (x) - g(x) = 0 
é: 
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Teorema do Valor Médio 
Corolário 2: Funções com a mesma derivada diferem de uma constante 
Se em cada ponto x de um intervalo aberto (a, b), então existe 
 uma constante C tal que f (x) = g(x) + C para qualquer x em (a, b), ou seja: 
 
)()( xgxf 
),(qualquerpara)()( baxCxgxf 
0)()()(  xgxfxh
CxgxfCxgxfxh  )()()()()(
Teste da Primeira Derivada 
 Uma função que é crescente ou decrescente em um intervalo I é 
 chamada monotônica em I. O intervalo I pode ser finito ou infinito. 
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 Definições: Funções Crescentes e Decrescentes 
 Seja f uma função definida em um intervalo I e sejam x1 e x2 dois pontos 
 quaisquer em I. 
 
 Se sempre que , a função é crescente em I. 
 
 Se sempre que , a função é decrescente em I. 
)()( 21 xfxf  21 xx 
21 xx )()( 21 xfxf 
Teste da Primeira Derivada 
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2)( xxf  Exemplo 1: Determine os intervalos em que a função é 
 monotônica. 
 Com relação às derivadas deve-se observar que: 
 No intervalo (-, 0), as tangentes apresentam coeficientes angulares 
 negativos, ou seja, a primeira derivada é sempre negativa. 
 No intervalo (0, ), as tangentes apresentam coeficientes angulares 
 positivos, ou seja, a primeira derivada é sempre positiva. 
Teste da Primeira Derivada 
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Corolário 3: Teste da primeira derivada para funções monotônicas 
Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b). 
 
 Se em qualquer ponto x  (a, b): f é crescente em [a, b]. 
 
 
 Se em qualquer ponto x  (a, b): f é decrescente em [a, b]. 
0)(  xf
0)(  xf
512)( 3  xxxf Exemplo 2: Determine os pontos críticos de e 
 identifique os trechos onde a função é crescente e decrescente. 
Teste da Primeira Derivada 
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512)( 3  xxxf
Teste da Primeira Derivada 
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 Teste da Primeira Derivada para Extremos Locais 
 Suponha que c seja um ponto crítico de uma função contínua f e que 
 f seja derivável em qualquer ponto de um intervalo que contenha c, 
 exceto possivelmente o próprio “c”. 
 
 
Teste da Primeira Derivada 
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 Movendo-se ao longo de c, da esquerda para a direita: 
 Se o sinal de f  muda de negativo para positivo em c: a função f possui 
 um mínimo local em c. 
 Se o sinal de f  muda de positivo para negativo em c: a função f possui 
 um máximo local em c. 
Teste da Primeira Derivada 
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xexxf )3()( 2 
 Exemplo 3: Determine os pontos críticos da função abaixo e 
 identifique os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. 
 Determine ainda os extremos locais da função. 
 Exercício: Para as funções dadas: 
 Encontre os intervalos onde a função é crescente e decrescente. 
 Identifique os extremos locais (se houver) e onde ocorrem. 
 Se houver extremos locais, algum deles é absoluto? Quais? 
 
a. 168)( 24  xxxf xxxf  5)( 2
2
3
)(
2



x
x
xf
b. 
c.