MecanicaI_SistemasdeForcas_09Jun2021

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09/06/2021
1
Mecânica para Engenharia Civil I
Resultantes de Sistemas de Forças
Prof: Evandro Parente Junior
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
1
Sistemas de forças
2
§ Os capítulos anteriores trataram apenas de sistemas de forças
concorrentes (i.e. todas as forças passam por um ponto).
§ Contudo, existem muitos problemas onde as forças não são
concorrentes.
§ Nestes casos, as forças causam:
• Tendência à translação.
• Tendência à rotação (i.e. momento).
2
Momento de uma força
3
§ Uma força atuante em um corpo produz a tendência do corpo girar
em torno de um ponto fora da linha de atuação da força.
§ Essa tendência é conhecida como torque oumomento:
𝑀! = 𝐹 𝑑
𝑑 = 𝑟 sin 𝜃
𝑟
𝑀! = 𝐹 𝑑 = 𝐹 𝑟 sin 𝜃
3
Momento de uma força
4
§ Omomento de uma força é um vetor:
• Magnitude:M0 = Fd = Fr sinq.
• Direção: perpendicular ao plano.
• Sentido: Regra da Mão Direita (RMD).
4
Princípio da Transmissibilidade
5
§ Omomento de uma força não muda se essa força se move ao longo
de sua linha de atuação (reta suporte):
𝑀! = 𝐹 𝑑 = 𝐹 𝑟 sen(𝜃)
𝐹
𝑂
𝑑
𝑟1
q1
𝐹
𝑟2
q2
Força é um vetor deslizante.
5
Momento resultante
6
§ No caso de problemas planos, o sentido do momento pode ser
horário ou anti-horário (positivo).
§ O momento resultante de um sistema de forças coplanar em um
pontoO é a soma dos momentos de cada força em relação aO:
𝑀! = -𝐹" 𝑑"
𝑀! = 𝐹#𝑑# − 𝐹$𝑑$ + 𝐹%𝑑%
Na figura:
6
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Princípio dos Momentos
7
§ Princípio dos Momentos (ou Princípio de Varignon): o momento da
força resultante é a soma dos momentos das componentes.
𝑀! = 𝐹 𝑟 sen(𝜃)
𝑂
𝐹
a
𝑥
𝑦
𝑟
q
𝐹𝑥
𝐹𝑦
𝑟𝑥
𝑟𝑦
a
𝑀! = 𝐹& 𝑟' − 𝐹' 𝑟&
𝑀! = 𝐹sen 𝛽 𝑟cos 𝛼 − 𝐹cos 𝛽 𝑟sen 𝛼
𝛽 = 𝜃+𝛼
𝑀! = 𝐹 𝑟 sen 𝛽 − 𝛼 = 𝐹 𝑟 sen 𝜃
Momento das componentes:
Momento da resultante:
7
Exemplo 1.1
8
Solução (unidades N e m):
§ Determine o momento resultante no ponto O.
M! = −600 7 1 − 300 7 2.5 sin 45° +
500 7 (3 + 2.5 cos 45°)
M! = −600 − 530.3 + 2383.9
M! = 1253.6 Nm
Sentido anti-horário
8
Exemplo 1.2
9
Solução:
§ Determine o momento resultante no ponto A devido às forças mostradas na
figura abaixo. Considere positivo o sentido anti-horário.
𝑀( = −250 cos 30) 7 2 − 300 sen 60) 7 5 − 400 7 5 + 300 7 4 = −2532.1 Nm
0.6F3
A
0.8F3
2 m 3 m
4 m
F2 cos 60)
F2 sen 60)
F1 sen 30)
F1 cos 30)
Sentido anti-horário
9
Exemplo 1.3
10
§ Determine o momento no ponto O devido às forças mostradas abaixo. Em
seguida, calcule o valor da força vertical que deve ser aplicada ao ponto B para
que a resultante dos momentos em O seja nula.
B 
10
Exemplo 1.3
11
Solução:
§ Determine o momento no ponto O devido às forças mostradas abaixo. Em
seguida, calcule o valor da força vertical que deve ser aplicada ao ponto B para
que a resultante dos momentos em O seja nula.
B 
300 N
B 400 N
F2 cos 60)
F2 sen 60)𝐹
A
O
𝑀! = 300−600 sen 60) 7 0.425− 400+600 cos 30) 7 0.25 = −268.34Nm
𝑀! = −268.34 + 𝐹 7 0.125 = 0 ⟹ 𝐹 = 2146.7 N
11
Produto vetorial
12
§ O produto vetorial dos vetoresA e B gera um novo vetorC com:
• Magnitude: |C| = |A| |B| sinq.
• Direção: perpendicular ao plano que contémA e B.
• Sentido: positivo pela Regra da Mão Direita (RMD).
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Produto vetorial
13
§ Propriedades:
• 𝐀×𝐁 =−𝐁×𝐀.
• 𝑎(𝐀×𝐁) = (𝑎𝐀)×𝐁 = 𝐀×(𝑎𝐁).
• 𝐀× 𝐁+𝐃 =𝐀×𝐁+𝐀×𝐃.
13
Produto vetorial
14
§ Vetores base (i, j, k):
𝐢 × 𝐢 = 𝐣 × 𝐣 = 𝐤×𝐤 = 𝟎
𝐢 × 𝐣 = 𝐤
𝐣 ×𝐤 = 𝐢
𝐤× 𝐢 = 𝐣
𝐢 ×𝐤 = −𝐣
𝐤× 𝐣 = −𝐢
𝐣 × 𝐢 = −𝐤
14
Produto vetorial
15
§ Forma cartesiana:
𝐀 × 𝐁 = (𝐴' 𝐢 + 𝐴& 𝐣 + 𝐴*𝐤)×(𝐵' 𝐢 + 𝐵& 𝐣 + 𝐵*𝐤)
𝐀 × 𝐁 = 𝐴'𝐵' 𝐢×𝐢 + 𝐴'𝐵& 𝐢×𝐣 + 𝐴'𝐵* 𝐢×𝐤 +
𝐴&𝐵' 𝐣×𝐢 + 𝐴&𝐵& 𝐣×𝐣 + 𝐴&𝐵* 𝐣×𝐤 +
𝐴*𝐵' 𝐤×𝐢 + 𝐴*𝐵& 𝐤×𝐣 + 𝐴*𝐵* 𝐤×𝐤
𝐀 × 𝐁 = 𝐴&𝐵* − 𝐴*𝐵& 𝐢 + 𝐴*𝐵' − 𝐴'𝐵* 𝐣 + 𝐴'𝐵& − 𝐴&𝐵' 𝐤
𝐀 × 𝐁 = 𝐴'𝐵&(𝐤) + 𝐴'𝐵* −𝐣 + 𝐴&𝐵' −𝐤 +
𝐴&𝐵* 𝐢 + 𝐴*𝐵' 𝐣 + 𝐴*𝐵& −𝐢
𝐀 × 𝐁 =
𝐢 𝐣 𝐤
𝐴' 𝐴& 𝐴*
𝐵' 𝐵& 𝐵*
15
Momento de uma força (vetorial)
16
§ Omomento representa a tendência à rotação devido a uma força:
𝑀! = 𝐹 𝑑 = 𝐹 𝑟 sen(𝜃)
𝐌! = 𝐫 × 𝐅 =
𝐢 𝐣 𝐤
𝑟' 𝑟& 𝑟*
𝐹' 𝐹& 𝐹*Direção: perpendicular a r e F.
Sentido: RMD de r para F.
16
Momento resultante
17
§ O momento resultante de um sistema de forças em relação a um
ponto é a soma vetorial do momento de cada força em relação a
este ponto:
𝐌𝑹% = 𝐫# × 𝐅#+ 𝐫$ × 𝐅$+ 𝐫% × 𝐅%
𝐌𝑹% = - 𝐫𝑖 × 𝐅𝑖
Generalizando:
17
Princípio dos Momentos
18
𝐌! = 𝐫 × 𝐅
𝐌! = 𝐫 × 𝐅# + 𝐫 × 𝐅$
Vetorialmente:
𝐌! = 𝐫 × ( 𝐅# + 𝐅$)	
O momento da força resultante é a soma dos momentos das componentes.
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Exemplo 2.1
19
§ Determine o momento resultante em O.
Solução (forças em N):
𝐴 = 0, 0, 6 𝐶 = (2,	3,	0)
𝐅- = 840
𝐀𝐁
𝐀𝐁
= 360 𝐢 − 240 𝐣 − 720 𝐤
𝐵 = 3, −2, 0
AB = 3 𝐢 − 2 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐁 = 7 m
𝐅. = 420
𝐀𝐁
𝐀𝐁
= 120 𝐢 + 180 𝐣 − 360 𝐤
AC = 2 𝐢 + 3 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐂 = 7 m
O
19
Exemplo 2.1
20
𝐅- = 360 𝐢 − 240 𝐣 − 720 𝐤
𝐅. = 120 𝐢 + 180 𝐣 − 360 𝐤
Força resultante:
𝐅/ = 𝐅- + 𝐅. = 480 𝐢 − 60 𝐣 − 1080 𝐤
𝐌! = 𝐫 × 𝐅 =
𝐢 𝐣 𝐤
0 0 6
480 −60 −1080
= 2880 𝐣 + 360 𝐢
Momento resultante (r = OA):
𝐌! = 360 𝐢 + 2880 𝐣
20
Momento em torno de um eixo
21
§ Em muitas situações práticas é importante determinar o momento
de uma força em relação a um eixo qualquer:
𝑀& = 𝐹𝑑& ⟹ 𝑀& = 𝑀!& = 𝐣 7 𝐌!
21
Momento em torno de um eixo
22
𝐌! = 𝐫 × 𝐅
𝑀0 = 𝐮0 7 (𝐫 × 𝐅) =
𝑢' 𝑢& 𝑢𝒛
𝑟' 𝑟& 𝑟*
𝐹' 𝐹& 𝐹*
𝐌0 = 𝑀0 𝐮0 = (𝐮0 7 𝐌!) 𝐮0
𝑀0 = 𝐮0 7 𝐌! = 𝐮0 7 (𝐫 × 𝐅)
Produto misto:
22
Exemplo 3.1
23
Solução (unidades N e m):
§ Determine a magnitude do momento da força F em relação ao eixo x.
M' = F* 7 0.3 − F& 7 0.25 = 17.42 Nm
𝐅 = 200 cos 120) 𝐢 + cos 60) 𝐣 + cos 45) 𝐤
𝐅 = −100 𝐢 + 100 𝐣 + 141.4 𝐤
Formulação escalar:
Formulação vetorial:
𝐫 = 𝐎𝐀 = 0.3 𝐣 +	0.25 k
r
23
Exemplo 3.1
24
𝐌! = 𝐫 × 𝐅 =
𝐢 𝐣 𝐤
0 0.3 0.25
−100 100 141.4
= 42.42 𝐢 − 25 𝐣 + 30 𝐤 − 25 𝐢
Formulação vetorial:
𝐌! = 17.42 𝐢 − 25 𝐣 + 30 𝐤
Produto misto:
𝑀' = 𝐢 7 𝐫 × 𝐅 =
1 0 0
0 0.3 0.25
−100 100 141.4
= 42.42 − 25 = 17.42 Nm
⟹ 𝑀' = 17.42 Nm
24
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Exemplo 3.2
25
Solução (unidades N e m):
§ Determine o momento resultante das 3 forças em torno do eixo AB.
𝐅 = 85 𝐢 + 45 𝐣 − 60 𝐤
Formulação vetorial:
𝐫 = 𝐁𝐎 = −2 𝐢
𝐮 =
𝐀𝐁
|𝐀𝐁|
=
1
2.5
2 𝐢 − 1.5 𝐣
𝑀(- = 𝐮 7 𝐫 × 𝐅 =
0.8 −0.6 0
−2 0 0
85 45 −60
= 2 7 −0.6 7 −60 = 72 Nm
25
Exemplo 3.2
26
Formulação escalar:
d
q
𝑑 = 1.5 sen 𝜃 =1.5
2
2.5
= 1.2 m
𝑀(- = 60 7 𝑑 = 60 7 1.2 = 72 Nm
26
Exemplo 3.3
27
§ Determine o momento da força F em relação ao eixo AB.
𝑥
𝑧
r
27
Exemplo 3.3
28
§ Determine o momento da força F em relação ao eixo AB.
𝑥
𝑦
𝑧
𝐅 = −300 𝐤
𝐫 = 𝐀𝐂 = 0.6 𝐢 + 0.3 𝐤
𝐀𝐁 = 0.4 𝐢 + 0.2 𝐣
𝑀(- = 𝐮 7 𝐫 × 𝐅 =
1
0.2
0.4 0.2 0
0.6 0 0.3
0 0 −300
=
36
0.2
= 80.50 Nm
Solução (unidades N e m):
𝐮 =
𝐀𝐁
|𝐀𝐁|
=
1
0.2
0.4 𝐢 + 0.2 𝐣
⟹ |𝐀𝐁| = 0.2 m
r
28
Binário
29
§ Binário (ou conjugado) é um sistema composto por 2 forças de
mesma magnitude e direção, mas sentidos opostos:
𝑀 = 𝐹 𝑑
Como a força resultante é nula, o binário
causa apenas tendência à rotação.
𝐅/ = 𝐅 − 𝐅 = 𝟎
d = distância entre as linhas de
atuação das forças (braço do binário)
29
Binário
30
Como o momento do binário não depende do ponto O, ele é o mesmo em
qualquer ponto do espaço.
𝐌! = 𝐫- × 𝐅 + 𝐫( ×(−𝐅)
𝐌! = 𝐫- × 𝐅 − 𝐫𝑨 × 𝐅 = 𝐫- − 𝐫𝑨 × 𝐅
𝐫- = 𝐫( + 𝐫 ⟹ 𝐫 = 𝐫- − 𝐫𝑨
𝐌! = 𝐫 × 𝐅 = 𝐀𝐁 × 𝐅
Momento é um vetor livre.
§ Formulação vetorial:
30
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Exemplo 4.1
31
Solução (unidades kN e m):
§ Determine o momento do binário atuante na viga abaixo.
𝑀 = 6 7 2 − 8 7 4 =	− 20	kNm
6 kN
6 kN
8 kN
8 kN
Sentido horário
31
Exemplo 4.2
32
Solução (unidades N e m):§ O momento de 4 Nm é utilizado para girar a chave de fenda abaixo. Determine
as forças F exercidas no cabo e P no parafuso.
𝑀 = 𝐹 7 0.030 =	4 Nm
Os dois binários são equivalentes, pois geram os mesmos momentos.
𝐹 =	133.3 N
𝑀 = 𝑃 7 0.005 =	4 Nm ⟹ 𝑃 = 800 N
32
Exemplo 4.3
33
§ Determine o momento resultante dos dois binários abaixo. Considere d = 400
mm.
33
Exemplo 4.3
34
§ Determine o momento resultante dos dois binários abaixo. Considere d = 400
mm.
𝑀' = −35 7 0.4 cos 30o = −12.12 Nm
𝐌 = −12.12 𝐢 − 10 𝐣 − 17.32 k
Solução (unidades N e m):
𝑀& = −50 7 0.4 sen 30o = −10 Nm
𝑀* = −50 7 0.4 cos 30o = −17.32 Nm
Solução escalar:
Solução escalar:
34
Exemplo 4.3
35
Solução vetorial:
r
𝐅 = −50 𝐢 + 35 𝐤
𝐫 = −0.4 cos 30o 𝐣 + 0.4 sen 30o 𝐤
𝐌 = 𝐫 × 𝐅 =
𝐢 𝐣 𝐤
0 −0.3464 0.2
−50 0 35
= −12.12 𝐢 − 10 𝐣 − 17.32 𝐤
35
Redução de um sistema de forças
36
§ A simplificação de um sistema de forças corresponde à redução
deste a um sistema equivalente composto por uma força resultante
atuando em um ponto e amomento resultante:
Dois sistemas são equivalentes se eles causam a mesma tendência à
translação e rotação de um corpo rígido.
36
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Redução de um sistema de forças
37
§ Para reduzir o sistema de forças ao ponto O, deve-se calcular a
força resultante e a resultante dos momentos neste ponto:
𝐅/ = -𝐅" 𝐌/% = - 𝐫𝑖 × 𝐅" +-𝐌"
37
Exemplo 5.1
38
Solução (unidades N e m):
§ Substitua as forças abaixo pela força e momento resultante em O.
F& = 400 − 750 = −350 N
F' = 200 − 200 + 300 = 300 N300 N
400 N
M! = 400 7 2.5 − 300 7 1 − 750 7 1.25 + 200 7 1 = −37.5 Nm
300 N
350 N
37.5 Nm
300 N
350 N
q
FR
F/ = 300$ + (−350)$ = 460.98 N
tan 𝜃 =
350
300
⟹ 𝜃 = 49.40o
38
Exemplo 5.2
39
§ Substitua o sistema de forças pela força e momento resultante em O.
39
Exemplo 5.3
40
§ Substitua as duas forças atuantes na furadeira elétrica pela força e momento
resultante em O. Qual o ângulo entre estes vetores resultantes?
40