IDENTIDADE DE EULER

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 MAT 147MAT 147MAT 147MAT 147
 
Sabemos que para um número compl
 ( )
( )
−=
+
−
=∑
∞
=
+
!12
1
0
12
xx
k
xsen
k
k
k
 ( )
( )
+−=
−
=∑
∞
= !2
1
!2
1
cos
2
0
2 x
x
k
x
k
k
k
 ++++==∑
∞
= !3!2!
32
0
xx
x
k
x
e
k
k
x
1
Substituindo na série (III) x por ix
=∑
∞
=
(
0 k
ix
e
k
ix
Usando as potências de i : ( 2i −=
e
ix
Colocando i em evidência de forma conveniente:



−=
2
1
x
e
ix
Substituindo o primeiro parênteses
e
ix = cos
como queríamos demonstrar. De modo simila
e
ix =− cos
Podemos aproveitar os cálculos acima 
Somando as equações (IV) e (V): 
xsenixee
ixix ++=+ − coscos
Subtraindo (V) da equação (IV): 
 xsenixee ixix −+=− − coscos
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MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA 
MAT 147MAT 147MAT 147MAT 147 ---- 2012012012011111/II/II/II/II IIIIdentdentdentdentidade deidade deidade deidade de EEEEuleruleruleruler:::: eix =
para um número complexo x : 
⋯+−+
!7!5!3
753
xxx (I) 
⋯+−+
!6!4
64
xx (II) 
⋯ (III) 
ix temos: 
⋯++++++=
!5
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)(
1
!
) 5432 ixixixix
ix
k
ix
k
 
…,,1,,1 543 iiiii ==−=− ) 
⋯+++−−+=
!5!4!3!2
1
5432
x
i
xx
i
x
ix
ix 
a de forma conveniente: 






+−+−+


+−+ ⋯⋯
!7!5!3!6!4!2
753642
xxx
xi
xxx
s do lado direito da equação por (II) e o seg
xsenix +cos (IV) 
De modo similar, temos: 
xsenix −cos (V) 
Podemos aproveitar os cálculos acima e demonstrar outras identidades:
xsenix −cos ⇒ xee ixix cos2=+ − ⇒ cos
xsenix + ⇒ xseniee ixix 2=− − ⇒ xsen
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xsenix += cos 
 
 
segundo parênteses por (I): 
e demonstrar outras identidades: 
2
cos
ixix
ee
x
−+
= 
i
ee
x
ixix
2
−−
=