Derivada Direcional e Vetor Gradiente

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Derivada Direcional
e
Vetor Gradiente
Prof. Patricio Pérez
Licenciatura em Matemática / DMAT
April 24, 2022
Prof. Patricio patricioeada@yahoo.com.br Licenciatura em Matemática / DMAT
Derivada Direcional e Vetor Gradiente 1
Introdução
Nesta oportunidade vamos verificar uma generalização da
definição das Derivadas Parciais, chamada Derivada Direcional.
Observemos que, temos estudado as derivadas parciais em
relação a x e em relação a y.
Poderiamos dizer, estudamos as derivadas parciais na direção de
x e na direção de y.
A indagação natural é perguntar-se se é possı́vel fazé-lo em
qualquer direção.
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Veremos através desta derivada direcional que é possı́vel
calcular a derivada em qualquer direção.
Além disso, estaremos estudando um conceito muito importante
e que tem muitas aplicações em diversas áreas chamado Vetor
Gradiente.
Este vetor é uma especie de Vetor Derivada da superfı́cie
z = f (x, y).
Como antes a maior parte do tempo definiremos os conceitos
para funções de duas variáveis, que podem-se generalizar para
um número finito de variáveis.
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Derivada Direcional
Vamos generalizar a definição de Derivada Parcial, a fim de obter
uma Taxa de Variação de uma função em relação a qualquer
direção e sentido.
Lembremos inicialmente a definição de derivada parcial de f ,
em relação a x e em relação a y, dadas respectivamente por:
fx = lim
h→0
f (x + h, y)− f (x, y)
h
fy = lim
h→0
f (x, y + h)− f (x, y)
h
Na definição a seguir extenderemos a noção de Derivada Parcial
de f .
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Derivada Direcional
Seja f uma função de duas variáveis, P = (x0, y0) um ponto
qualquer que está no domı́nio e −→u = (a, b) um Vetor Unitário
que faz um ângulo θ com a parte positiva do eixo x.
Isto é, −→u = (a, b) = (Cosθ,Senθ)
Então a Derivada Direcional de f na direção de −→u , denotada por
D−→u f é definida por:
D−→u f = lim
h→0
f (x + h Cosθ, y + h Senθ)− f (x, y)
h
(?)
se o limite existir.
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Observação
As derivadas fx e fy são exatamente as derivadas direcionais
na direção do eixo x e do eixo y, respectivamente.
De fato, na direção do eixo x temos que:
−→u = (Cos 00,Sen 00) = (1,0)
Substituindo esses valores na definição (?), obtemos que:
D−→u f = lim
h→0
f (x + h, y)− f (x, y)
h
= fx
Analogamente, na direção do eixo y temos que:
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−→u = (Cos 900,Sen 900) = (0,1)
Substituindo esses valores na definição obtemos que
D−→u f = lim
h→0
f (x, y + h)− f (x, y)
h
= fy
Interpretação Geométrica
Como fizemos para as derivadas parciais, vamos supor que um
plano na direção de −→u intercepta a superfı́cie S, dada por
z = f (x, y).
Obtemos a curva C. Sendo P ∈ S em C, então a inclinação da
reta tangente T à curva C no ponto P é dada por D−→u f .
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Interpretação Geométrica da Derivada Direcional
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Exemplo
1.- Encontre a derivada direcional de f (x, y) = 3x2 − y2 + 4x, na
direção θ = π/6. Assim,
Calculemos primeiro o vetor −→u = (Cosθ,Senθ) para θ = π/6.
Isto é: −→u = (Cos π/6,Sen π/6) = (
√
3
2 ,
1
2)
Então, pela definição, temos que:
D−→u f = lim
h→0
f (x + h Cos π/6, y + h Sen π/6)− f (x, y)
h
= lim
h→0
f (x +
√
3h
2 , y +
h
2 )− f (x, y)
h
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= lim
h→0
3(x +
√
3h
2 )
2 − (y + h2 )
2 + 4(x +
√
3h
2 )− (3x
2 − y2 + 4x)
h
= lim
h→0
3(x +
√
3h
2 )
2 − (y + h2 )
2 + 4x + 2
√
3h − 3x2 + y2 − 4x
h
= lim
h→0
3(x +
√
3h
2 )
2 − y2 − hy− h24 + 2
√
3h − 3x2 + y2
h
= lim
h→0
3x2 + 3
√
3hx + 9h
2
4 − hy−
h2
4 + 2
√
3h − 3x2
h
= lim
h→0
3
√
3hx + 9h
2
4 − hy−
h2
4 + 2
√
3h
h
= lim
h→0
h
(
3
√
3x + 9h4 − y−
h
4 + 2
√
3
)
h
= lim
h→0
(
3
√
3x +
9h
4
− y− h
4
+ 2
√
3
)
= 3
√
3x − y + 2
√
3
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Fórmula da Derivada Direcional
Sem muitas dificuldades é possivel verificar a seguinte fórmula:
D−→u f (x, y) = fx(x, y) · Cosθ + fy(x, y) · Senθ (??)
Exemplo
2.- Use a fórmula (??) e calcule D−→u f para a função do exemplo
(1), dada por f (x, y) = 3x2 − y2 + 4x, para θ = π/6. Assim,
Como fx = 6x + 4 e fy = −2y então:
D−→u f (x, y) = fx(x, y) · Cosθ + fy(x, y) · Senθ
= (6x + 4) · Cosπ6 + (−2y) · Sen
π
6
= (6x + 4) ·
√
3
2 + (−2y) ·
1
2 = 3
√
3x − y + 2
√
3
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Vetor Gradiente
Dada uma funçao f de duas variáveis, definimos o Vetor
Gradiente de f por:
−→
∇f (x, y) = fx(x, y)̂i + fy(x, y)̂j = (fx , fy) (?3)
Isto é, o vetor gradiente é um vetor onde cada uma das suas
componentes é a derivada parcial de f na variável
correspondente.
Exemplo
3.- Calcule o vetor gradiente da função: g(x, y) = ln(
√
x2 + y2).
Assim,
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−→
∇g(x, y) = gx(x, y)̂i + gy(x, y)̂j = (gx , gy)
=
1√
x2 + y2
1
2
√
x2 + y2
2x î +
1√
x2 + y2
1
2
√
x2 + y2
2y ĵ
=
x
x2 + y2
î +
y
x2 + y2
ĵ
=
(
x
x2 + y2
,
y
x2 + y2
)
Observações
(1) Como o vetor unitário é dado por −→u = Cosθ î + Senθ̂j e
pela fórmula (??) da Derivada Direcional, temos que:
D−→u f (x, y) = fx(x, y) · Cosθ + fy(x, y) · Senθ
D−→u f (x, y) = (fx(x, y), fy(x, y)) · (Cosθ,Senθ)
D−→u f (x, y) =
−→
∇f (x, y) · −→u (?4)
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Ou seja, o vetor gradiente pode ser usado para calcular a
derivada direcional.
(2) Se lembramos da Álgebra Linear, sabemos que uma forma
de definir produto interno entre dois veotores é:
< v,w >= v ·w = ‖v‖ · ‖w‖ · Cosθ
onde θ é o ângulo entre os vetores v e w. Portanto,
• A função aumenta mais rapidamente quando Cosθ = 1, ou
seja, θ = 0 e −→u é a direção de
−→
∇f . Isto é, a função f cresce
mais rapidamente na direção do gradiente
−→
∇f . Logo, a
derivada nessa direção é:
D−→u f (x, y) = ‖
−→
∇f (x, y)‖ · ‖−→u ‖ · Cos(0)
D−→u f (x, y) = ‖
−→
∇f (x, y)‖
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• Analogamente, f decresce mais rapidamente quando
Cosθ = −1, ou seja, θ = π e −→u é a direção de −
−→
∇f . Isto é, a
função f decresce mais rapidamente na direção oposta do
gradiente, quer dizer −
−→
∇f . Logo, a derivada nessa direção
é:
D−→u f (x, y) = ‖
−→
∇f (x, y)‖ · ‖−→u ‖ · Cos(π)
D−→u f (x, y) = −‖
−→
∇f (x, y)‖
• Qualquer direção −→u ortogonal ao gradiente
−→
∇f 6= 0 é uma
direção de variação zero em f , já que θ = π2 . Portanto, a
derivada nessa direção é:
D−→u f (x, y) = ‖
−→
∇f (x, y)‖ · ‖−→u ‖ · Cos(π2 )
D−→u f (x, y) = ‖
−→
∇f (x, y)‖ · 0 = 0
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(3) Para uma superfı́cie S definida pela equação
F(x, y, z) = 0, a equação do Plano Tangente no ponto
P0 = (x0, y0, z0) é dada por:
Fx(x0, y0, z0)(x−x0)+Fy(x0, y0, z0)(y−y0)+Fz(x0,y0, z0)(z−z0) = 0
Ou equivalentemente,
(Fx(x0, y0, z0),Fy(x0, y0, z0),Fz(x0, y0, z0))(x−x0, y−y0, z−z0) = 0
Isto é,
−→
∇F(x0, y0, z0) · (x − x0, y− y0, z − z0) = 0 onde
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(x − x0, y− y0, z − z0) = −→r −−→r0 =
−−→
P0P
sendo −→r o vetor posição de P e −→r0 o vetor posição de P0.
A equação do plano tangente á superf́ıcie F(x, y, z) = 0 em P0 é:
−→
∇F(x0, y0, z0) · (x − x0, y− y0, z − z0) = 0 (?5)
(4) Podemos calcular a equação da Reta Normal −→n à superfı́cie
S : F(x, y, z) = 0, em P0, dada pelas equações simétricas:
x − x0
Fx(x0, y0, z0)
=
y− y0
Fy(x0, y0, z0)
=
z − z0
Fz(x0, y0, z0)
(?6)
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Plano Tangente T a S : F(x, y, z) = 0 em P0
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Exemplo
4.- A temperatura T em graus Celsius, em um ponto (x, y) de
uma placa de metal aquecida é dada por: T = 300x2+y2+3 , onde x e
y são medidas em centı́metros. Responda:
(a) Que direção tomar a partir do ponto (−4,3), para que T
aumente mais rapidamente?
(b) Qual a velocidade de aumento de T quando alguém se move
a partir do ponto (−4,3) na direção encontrada em (a)?
Solução:
(a) Primeiramente calculemos o gradiente de T , dado por (?3):
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−→
∇T = Tx î + Tŷj =
−600x
(x2 + y2 + 3)2
î +
−600y
(x2 + y2 + 3)2
ĵ
Calculemos agora este gradiente no ponto dado (−4,3). Assim,
−→
∇T(−4,3) = −600(−4)
((−4)2 + 32 + 3)2
î +
−600(3)
((−4)2 + 32 + 3)2
ĵ
=
(
2400
784
,−1800
784
)
Calculemos agora ‖
−→
∇T(−4,3)‖, dado por:
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‖
−→
∇T(−4,3)‖ =
√(
2400
784
)2
+
(
−1800
784
)2
=
3000
784
=
375
98
Vimos na observação (2) que o aumento máximo se obtém na
direção −→u =
−→
∇T
‖
−→
∇T‖
. Portanto,
−→u =
−→
∇T(−4,3)
‖
−→
∇T(−4,3)‖
=
(
2400
784 ,−
1800
784
)
375
98
=
(
2400
784
· 98
375
,−1800
784
· 98
375
)
=
(
4
5
,−3
5
)
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Isto é, −→u =
(
4
5 ,−
3
5
)
(b) A partir de (−4,3) na direção de −→u , obtemos uma taxa
instantânea de variação dada por:
D−→u T(−4,3) = ‖
−→
∇T(−4,3)‖ = 37598 ≈ 3,83.
Ou seja, a partir do ponto (−4,3), a direção onde a
temperatura T cresce mais rapidamente é −→u =
(
4
5 ,−
3
5
)
Além disso, quando nos movemos a partir de (−4,3), na
direção de −→u =
(
4
5 ,−
3
5
)
, a temperatura cresce a uma velocidade
de D−→u T(−4,3) ≈ 3,830C/min
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Exemplo
5.- Calcule no ponto P0 = (−2,1,−3) a equação do plano
tangente e a equação da reta normal para a elipsoide:
x2
4
+
y2
1
+
z2
9
= 3
Primeiramente consideramos a equação que representa a
superfı́cie, dada por:
F(x, y, z) =
x2
4
+
y2
1
+
z2
9
− 3 = 0
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Então, o seu gradiente definido pela fórmula (?3), como F é uma
função de três variáveis, fica dado por:
−→
∇F = (Fx ,Fy,Fz) = Fx î + Fy ĵ + Fz k̂
=
(
x
2
,2y,
2z
9
)
=
x
2
î + 2y ĵ +
2z
9
k̂
Calculando o gradiente no ponto P0 = (−2,1,−3), temos que:
−→
∇F(−2,1,−3) = −2
2
î + 2 ĵ +
2(−3)
9
k̂ = (−1) î + 2 ĵ − 2
3
k̂
Portanto, a equação do plano tangente, dada por (?5), neste
caso tem a equação:
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(−1)(x − (−2)) + 2(y− 1) +
(
−2
3
)
(z − (−3)) = 0
Ou seja, 3x − 6y + 2z + 18 = 0
Da mesma forma, a equação da reta normal dada por (?6), neste
caso é dada por:
x − (−2)
(−1)
=
y− 1
2
=
z − (−3)(
−23
)
Ou seja,
x + 2
−1
=
y− 1
2
=
3z + 9
−2
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Observação
Ainda tem muitas outras aplicações e propriedades que
podemos estudar, como por exemplo o Máximo e Mı́nimo de uma
função de várias variáveis.
Este será o assunto da nossa próxima aula. !!!
QUE JESUS ILUMINE SUA VIDA. !!!
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