1 IntegraisImproprias

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Integrais Impróprias.
Professor Joseilson R. de Lima.
Aulas de Cálculo II
22 de fevereiro de 2021
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Sumário
1 Integrais Impróprias.
2 Limites infinitos de integração.
3 Integrandos com assíntotas verticais.
4 Testes para convergência e divergência.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Integrais Impróprias.
Até esse momento estávamos considerando integrais definidas de funções
contínuas em um intervalo fechado e limitado [a, b].
Agora iremos considerar casos em que o intervalo de integração não é
limitado (intervalos do tipo: [a,+∞), (−∞, b] e (−∞,+∞)) e casos em que
a função vai para ±∞ dentro do intervalo de integração.
Nesses casos, dizemos que a integral é imprópria.
Antes, faremos uma observação.
Observação. Considere a soma
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ...+
1
2n
+ ...
Observe que apesar de estarmos somando uma quantidade infinita de
termos, as somas finitas são sempre menores que 2 e, quanto mais termos
somamos, mais a soma se aproxima de 2.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Integrais Impróprias.
Até esse momento estávamos considerando integrais definidas de funções
contínuas em um intervalo fechado e limitado [a, b].
Agora iremos considerar casos em que o intervalo de integração não é
limitado (intervalos do tipo: [a,+∞), (−∞, b] e (−∞,+∞)) e casos em que
a função vai para ±∞ dentro do intervalo de integração.
Nesses casos, dizemos que a integral é imprópria.
Antes, faremos uma observação.
Observação. Considere a soma
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ...+
1
2n
+ ...
Observe que apesar de estarmos somando uma quantidade infinita de
termos, as somas finitas são sempre menores que 2 e, quanto mais termos
somamos, mais a soma se aproxima de 2.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Limites infinitos de integração.
Considere a região infinita que fica sob a curva y = e−x/2 com x ∈ [0,+∞).
Você pode pensar que essa região tem uma área infinita, mas veremos que
o valor atribuído a área é finito (como no caso da soma anterior).
Para isso, primeiro obtemos a área A(b) da região delimitada à direita por
x = b,
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Limites infinitos de integração.
Considere a região infinita que fica sob a curva y = e−x/2 com x ∈ [0,+∞).
Você pode pensar que essa região tem uma área infinita, mas veremos que
o valor atribuído a área é finito (como no caso da soma anterior).
Para isso, primeiro obtemos a área A(b) da região delimitada à direita por
x = b,
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
A(b) =
∫ b
0
e−x/2 dx = −2e−x/2
]b
0
= −2e−b/2 + 2.
Depois encontramos o limite de A(b) quando b →∞,
lim
b→∞
A(b) = lim
b→∞
(
−2e−b/2 + 2
)
= 2.
Dessa forma, o valor que atribuímos a área abaixo da curva y = e−x/2 de 0
a +∞ é ∫ ∞
0
e−x/2 dx = lim
b→∞
∫ b
0
e−x/2 dx = 2.
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Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
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Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Se f ≥ 0 no intervalo de integração, qualquer uma das integrais da definição
dada pode ser interpretada como uma área.
Se f ≥ 0 e a integral imprópria diverge, dizemos que a área sob a curva é
infinita.
Exemplo 1
A área sob a curva y =
ln x
x2
de x = 1 a x =∞ é finita? Se for, qual será o
valor da área?
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Se f ≥ 0 no intervalo de integração, qualquer uma das integrais da definição
dada pode ser interpretada como uma área.
Se f ≥ 0 e a integral imprópria diverge, dizemos que a área sob a curva é
infinita.
Exemplo 1
A área sob a curva y =
ln x
x2
de x = 1 a x =∞ é finita? Se for, qual será o
valor da área?
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Solução.
A área de 1 a b é ∫ b
1
ln x
x2
dx .
Fazendo u = ln x e dv =
1
x2
dx , du =
1
x
dx e v = −1
x
. Temos
∫ b
1
ln x
x2
dx =
[
(ln x)
(
−1
x
)]b
1
−
∫ b
1
(
−1
x
)(
1
x
)
dx
= − ln b
b
−
[
1
x
]b
1
= − ln b
b
− 1
b
+ 1.
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Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Dessa forma, a área sob a curva é dada por
∫ ∞
1
ln x
x2
dx = lim
b→∞
∫ b
1
ln x
x2
dx
= lim
b→∞
[
− ln b
b
− 1
b
+ 1
]
= −
[
lim
b→∞
ln b
b
]
− 0 + 1
= −
[
lim
b→∞
1/b
1
]
+ 1 = 0 + 1 = 1.
Logo, a integral imprópria converge e a área tem valor finito igual a 1.
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 2
Calcule ∫ ∞
−∞
1
1 + x2
dx .
Solução.
Pela definição (parte 3), podemos escrever,∫ ∞
−∞
1
1 + x2
dx =
∫ 0
−∞
1
1 + x2
dx +
∫ ∞
0
1
1 + x2
dx .
Depois resolvemos cada integral imprópria.
∫ 0
−∞
1
1 + x2
dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
1
1 + x2
dx
= lim
a→−∞
[arctan x ]0a
= lim
a→−∞
(arctan 0− arctan a) = 0−
(
−π
2
)
=
π
2
.
e
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 2
Calcule ∫ ∞
−∞
1
1 + x2
dx .
Solução.
Pela definição (parte 3), podemos escrever,∫ ∞
−∞
1
1 + x2
dx =
∫ 0
−∞
1
1 + x2
dx +
∫ ∞
0
1
1 + x2
dx .
Depois resolvemos cada integral imprópria.
∫ 0
−∞
1
1 + x2
dx = lim
a→−∞
∫ 0
a
1
1 + x2
dx
= lim
a→−∞
[arctan x ]0a
= lim
a→−∞
(arctan 0− arctan a) = 0−
(
−π
2
)
=
π
2
.
e
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
∫ ∞
0
1
1 + x2
dx = lim
b→∞
∫ b
0
1
1 + x2
dx
= lim
b→∞
[arctan x ]b0
= lim
b→∞
(arctan b − arctan 0) =
(π
2
)
− 0 = π
2
.
Logo, ∫ ∞
−∞
1
1 + x2
dx =
π
2
+
π
2
= π.
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Como
1
1 + x2
> 0, a integral imprópria pode ser interpretada como a área
sob a curva e acima do eixo x .
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
A integral∫ ∞
1
1
xp
dx .
Exemplo 3
Para quais valores de p a integral∫ ∞
1
1
xp
dx
converge? Quando a integral converge, qual é o seu valor?
Solução.
Se p 6= 1, temos
∫ b
1
1
xp
dx =
[
x−p+1
−p + 1
]b
1
=
1
1− p
(
b−p+1 − 1
)
=
1
1− p
(
1
b p−1
− 1
)
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotasverticais.
Testes para convergência e divergência.
A integral∫ ∞
1
1
xp
dx .
Exemplo 3
Para quais valores de p a integral∫ ∞
1
1
xp
dx
converge? Quando a integral converge, qual é o seu valor?
Solução.
Se p 6= 1, temos
∫ b
1
1
xp
dx =
[
x−p+1
−p + 1
]b
1
=
1
1− p
(
b−p+1 − 1
)
=
1
1− p
(
1
b p−1
− 1
)
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Dessa forma, ∫ ∞
1
1
xp
dx = lim
b→∞
∫ b
1
1
xp
dx
= lim
b→∞
[
1
1− p
(
1
b p−1
− 1
)]
=

1
p − 1 , p > 1
∞, p < 1
pois
lim
b→∞
1
b p−1
=
{
0, p > 1
∞, p < 1.
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Se p = 1, temos
∫ ∞
1
1
xp
dx =
∫ ∞
1
1
x
dx = lim
b→∞
∫ b
1
1
x
dx
= lim
b→∞
[ln x ]b1 = limb→∞
(ln b − ln 1) =∞.
Resumindo,
∫ ∞
1
1
xp
dx =

1
p − 1 , p > 1
∞, p ≤ 1
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Integrandos com assíntotas verticais.
Considere a região que está sob a curva y =
1√
x
de x = 0 a x = 1.
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Primeiro, encontramos a área da parte de a até 1.
∫ 1
a
1√
x
dx =
[
2
√
x
]1
a = 2− 2
√
a.
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Depois encontramos o limite dessa área quando a→ 0+:
lim
a→0+
∫ 1
a
1√
x
dx = lim
a→0+
(
2− 2
√
a
)
= 2.
Dessa forma, a área sob a curva y =
1√
x
de 0 até 1 é finita e igual a∫ 1
0
1√
x
dx = lim
a→0+
∫ 1
a
1√
x
dx = 2.
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 4
Verifique a convergência de ∫ 1
0
1
1− x dx .
Solução.
O integrando é descontínuo em x = 1 e se torna infinito quando x → 1−
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 4
Verifique a convergência de ∫ 1
0
1
1− x dx .
Solução.
O integrando é descontínuo em x = 1 e se torna infinito quando x → 1−
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Dessa forma,
∫ 1
0
1
1− x dx = limb→1−
∫ b
0
1
1− x dx
= lim
b→1−
[−ln|1− x |]b0
= lim
b→1−
[−ln|1− b|+ 0] =∞.
O limite é infinito, portanto a integral diverge.
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Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 5
Calcule ∫ 3
0
1
(x − 1)2/3
dx .
Solução.
O integrando tem uma assíntota vertical em x = 1.
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 5
Calcule ∫ 3
0
1
(x − 1)2/3
dx .
Solução.
O integrando tem uma assíntota vertical em x = 1.
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Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Dessa forma,∫ 3
0
1
(x − 1)2/3
dx =
∫ 1
0
1
(x − 1)2/3
dx +
∫ 3
1
1
(x − 1)2/3
dx .
Agora calculamos cada limite do lado direito da equação.
∫ 1
0
1
(x − 1)2/3
dx = lim
b→1−
∫ b
0
1
(x − 1)2/3
dx
= lim
b→1−
[
3(x − 1)1/3
]b
0
= lim
b→1−
[
3(b − 1)1/3 + 3
]
= 3.
e
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Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
∫ 3
1
1
(x − 1)2/3
dx = lim
c→1+
∫ 3
c
1
(x − 1)2/3
dx
= lim
c→1+
[
3(x − 1)1/3
]3
c
= lim
c→1+
[
3(3− 1)1/3 − 3(c − 1)1/3
]
= 3 3
√
2.
Logo, ∫ 3
0
1
(x − 1)2/3
dx = 3 + 3 3
√
2.
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Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 6
Calcule ∫ ∞
2
x + 3
(x − 1)(x2 + 1) dx .
Solução.
Primeiro resolvemos a integral indefinida∫
x + 3
(x − 1)(x2 + 1) dx
usando frações parciais.
Temos,
x + 3
(x − 1)(x2 + 1) =
A
x − 1 +
Bx + C
x2 + 1
.
Multiplicando por (x − 1)(x2 + 1), temos
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 6
Calcule ∫ ∞
2
x + 3
(x − 1)(x2 + 1) dx .
Solução.
Primeiro resolvemos a integral indefinida∫
x + 3
(x − 1)(x2 + 1) dx
usando frações parciais.
Temos,
x + 3
(x − 1)(x2 + 1) =
A
x − 1 +
Bx + C
x2 + 1
.
Multiplicando por (x − 1)(x2 + 1), temos
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Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
x + 3 = A(x2 + 1) + (Bx + C)(x − 1) = A(x2 + 1) + B(x2 − x) + C(x − 1)
Assim, temos o sistema 
A + B = 0 (I)
−B + C = 1 (II)
A− C = 3 (III)
De (I), B = −A. Substituindo em (II), temos
A + C = 1 (IV).
(III)+(IV), nos dá 2A = 4⇒ A = 2. Donde, B = −2 e C = −1.
Dessa forma,
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Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
∫
x + 3
(x − 1)(x2 + 1) dx =
∫
2
x − 1 dx +
∫
−2x − 1
x2 + 1
dx
=
∫
2
x − 1 dx −
∫
2x
x2 + 1
dx −
∫
1
x2 + 1
dx
= 2 ln |x − 1| − ln |x2 + 1| − arctan x + K
= ln
(
(x − 1)2
x2 + 1
)
− arctan x + K .
Voltando à integral imprópria, temos
∫ ∞
2
x + 3
(x − 1)(x2 + 1) dx = limb→∞
∫ b
2
x + 3
(x − 1)(x2 + 1) dx
= lim
b→∞
[
ln
(
(x − 1)2
x2 + 1
)
− arctan x
]b
2
= lim
b→∞
[
ln
(
(b − 1)2
b2 + 1
)
− arctan b
]
− ln
(
1
5
)
+ arctan 2.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
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Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Calculando o limite
lim
b→∞
ln
(
(b − 1)2
b2 + 1
)
= ln
(
lim
b→∞
(b − 1)2
b2 + 1
)
pela regra de L’Hôpital, temos
lim
b→∞
(b − 1)2
b2 + 1
= lim
b→∞
(b − 1)2
b2 + 1
= lim
b→∞
b2 − 2b + 1
b2 + 1
= lim
b→∞
2b − 2
2b
= lim
b→∞
2
2
= 1,
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Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
donde,
lim
b→∞
ln
(
(b − 1)2
b2 + 1
)
= ln
(
lim
b→∞
(b − 1)2
b2 + 1
)
= ln 1 = 0.
Logo,∫ ∞
2
x + 3
(x − 1)(x2 + 1) dx = limb→∞
[
ln
(
(b − 1)2
b2 + 1
)
− arctan b
]
− ln
(
1
5
)
+ arctan 2
= 0− π
2
+ ln 5 + arctan 2.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Testes para convergência e divergência.
Quando não podemos resolver uma integral imprópria diretamente, tentamos
determinar se ela converge ou diverge. Os principaistestes de convergência
são o teste de comparação e o teste de comparação no limite.
Exemplo 7
A integral ∫ ∞
1
e−x
2
dx
converge?
Solução.
Por definição, ∫ ∞
1
e−x
2
dx = lim
b→∞
∫ b
1
e−x
2
dx .
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Testes para convergência e divergência.
Quando não podemos resolver uma integral imprópria diretamente, tentamos
determinar se ela converge ou diverge. Os principais testes de convergência
são o teste de comparação e o teste de comparação no limite.
Exemplo 7
A integral ∫ ∞
1
e−x
2
dx
converge?
Solução.
Por definição, ∫ ∞
1
e−x
2
dx = lim
b→∞
∫ b
1
e−x
2
dx .
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Não podemos calcular a última integral diretamente. Mas sabemos que
F (b) =
∫ b
1
e−x
2
dx
é uma função crescente de b. Portanto, quando b →∞, das duas uma: ou
ela se torna infinita, ou tem um limite finito. Porém, para qualquer valor de
x ≥ 1, temos e−x
2
≤ e−x .
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Dessa forma, ∫ b
1
e−x
2
dx ≤
∫ b
1
e−x dx = −e−b + e−1 < e−1.
Logo, ∫ ∞
1
e−x
2
dx = lim
b→∞
∫ b
1
e−x
2
dx
converge para algum valor finito.
A comparação entre e−x
2
e e−x no Exemplo 7 é um caso particular do teste
a seguir.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Dessa forma, ∫ b
1
e−x
2
dx ≤
∫ b
1
e−x dx = −e−b + e−1 < e−1.
Logo, ∫ ∞
1
e−x
2
dx = lim
b→∞
∫ b
1
e−x
2
dx
converge para algum valor finito.
A comparação entre e−x
2
e e−x no Exemplo 7 é um caso particular do teste
a seguir.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Teorema (Teste de comparação direta.)
Sejam f e g funções contínuas em [a,∞), com 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para
qualquer x ≥ a. Assim valem:
1 Se
∫∞
a g(x) dx converge, então
∫∞
a f (x) dx converge.
2 Se
∫∞
a f (x) dx diverge, então
∫∞
a g(x) dx diverge.
Demonstração. Temos que
0 ≤
∫ b
a
f (x) dx ≤
∫ b
a
g(x) dx .
Dessa forma,
0 ≤ lim
b→∞
∫ b
a
f (x) dx ≤ lim
b→∞
∫ b
a
g(x) dx .
Donde segue o resultado. �
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Teorema (Teste de comparação direta.)
Sejam f e g funções contínuas em [a,∞), com 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para
qualquer x ≥ a. Assim valem:
1 Se
∫∞
a g(x) dx converge, então
∫∞
a f (x) dx converge.
2 Se
∫∞
a f (x) dx diverge, então
∫∞
a g(x) dx diverge.
Demonstração. Temos que
0 ≤
∫ b
a
f (x) dx ≤
∫ b
a
g(x) dx .
Dessa forma,
0 ≤ lim
b→∞
∫ b
a
f (x) dx ≤ lim
b→∞
∫ b
a
g(x) dx .
Donde segue o resultado. �
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 8
Determine se as integrais impróprias convergem ou divergem.
(a)
∫ ∞
1
sen2x
x2
dx (b)
∫ ∞
1
1√
x2 − 0, 1
dx .
Solução.
(a) Observe que
0 ≤ sen2x ≤ 1.
Donde, para x ∈ [1,∞), temos
0 ≤ sen
2x
x2
≤ 1
x2
.
Como ∫ ∞
1
1
x2
dx =
1
2− 1 = 1
converge. Pelo Teste da comparação direta, temos que
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 8
Determine se as integrais impróprias convergem ou divergem.
(a)
∫ ∞
1
sen2x
x2
dx (b)
∫ ∞
1
1√
x2 − 0, 1
dx .
Solução.
(a) Observe que
0 ≤ sen2x ≤ 1.
Donde, para x ∈ [1,∞), temos
0 ≤ sen
2x
x2
≤ 1
x2
.
Como ∫ ∞
1
1
x2
dx =
1
2− 1 = 1
converge. Pelo Teste da comparação direta, temos que
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
∫ ∞
1
sen2x
x2
dx
também converge.
(b) Observe que, para x ∈ [1,∞), temos√
x2 − 0, 1 ≤
√
x2 = x .
Donde,
0 ≤ 1
x
≤ 1√
x2 − 0, 1
.
Como ∫ ∞
1
1
x
dx
diverge. Pelo Teste da comparação direta, temos que∫ ∞
1
1√
x2 − 0, 1
dx
também diverge.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
∫ ∞
1
sen2x
x2
dx
também converge.
(b) Observe que, para x ∈ [1,∞), temos√
x2 − 0, 1 ≤
√
x2 = x .
Donde,
0 ≤ 1
x
≤ 1√
x2 − 0, 1
.
Como ∫ ∞
1
1
x
dx
diverge. Pelo Teste da comparação direta, temos que∫ ∞
1
1√
x2 − 0, 1
dx
também diverge.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Teorema (Teste de comparação no limite.)
Sejam f e g funções positivas e contínuas em [a,∞). Se
lim
x→∞
f (x)
g(x)
= L,
onde 0 < L <∞, então∫ ∞
a
f (x) dx e
∫ ∞
a
g(x) dx
são ambas convergente ou ambas divergente.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 9
Mostre que ∫ ∞
1
1
1 + x2
dx
converge em comparação com ∫ ∞
1
1
x2
dx .
Calcule e compare os valores das duas integrais.
Solução.
As funções f (x) = 1/x2 e g(x) = 1/(1 + x2) são positivas e contínuas em
[1,∞). Além disso,
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 9
Mostre que ∫ ∞
1
1
1 + x2
dx
converge em comparação com ∫ ∞
1
1
x2
dx .
Calcule e compare os valores das duas integrais.
Solução.
As funções f (x) = 1/x2 e g(x) = 1/(1 + x2) são positivas e contínuas em
[1,∞). Além disso,
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
lim
x→∞
f (x)
g(x)
= lim
x→∞
1/x2
1/(1 + x2)
= lim
x→∞
1 + x2
x2
= lim
x→∞
(
1
x2
+ 1
)
= 0 + 1 = 1
Um limite positivo finito.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Como ∫ ∞
1
1
x2
dx =
1
2− 1 = 1
converge. Pelo Teste de comparação no limite,∫ ∞
1
1
1 + x2
dx
também converge. Porém,∫ ∞
1
1
1 + x2
dx = lim
b→∞
∫ b
1
1
1 + x2
dx = lim
b→∞
[arctan x ]b1
= lim
b→∞
(arctan b − arctan 1) = π
2
− π
4
=
π
4
.
Ou seja, os valores das integrais são diferentes.
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Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 10
Mostre que ∫ ∞
1
3
ex + 5
dx
converge.
Solução.
As funções f (x) = 1/ex e g(x) = 3/(ex + 5) são positivas e contínuas em
[1,∞). Além disso,
lim
x→∞
f (x)
g(x)
= lim
x→∞
1/ex
3/(ex + 5)
= lim
x→∞
ex + 5
3ex
= lim
x→∞
(
1
3
+
5
3ex
)
=
1
3
.
Um limite positivo finito.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Exemplo 10
Mostreque ∫ ∞
1
3
ex + 5
dx
converge.
Solução.
As funções f (x) = 1/ex e g(x) = 3/(ex + 5) são positivas e contínuas em
[1,∞). Além disso,
lim
x→∞
f (x)
g(x)
= lim
x→∞
1/ex
3/(ex + 5)
= lim
x→∞
ex + 5
3ex
= lim
x→∞
(
1
3
+
5
3ex
)
=
1
3
.
Um limite positivo finito.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias.
Limites infinitos de integração.
Integrandos com assíntotas verticais.
Testes para convergência e divergência.
Como ∫ ∞
1
1
ex
dx = lim
b→∞
∫ b
1
e−x dx
= lim
b→∞
[
−e−x
]b
1
= lim
b→∞
[
−e−b + e−1
]
= e−1
converge. Pelo Teste de comparação no limite,∫ ∞
1
3
ex + 5
dx
também converge.
Professor Joseilson R. de Lima. Integrais Impróprias.
	
	
	Integrais Impróprias.
	Limites infinitos de integração.
	Integrandos com assíntotas verticais.
	Testes para convergência e divergência.