Equacao-do-Segundo-GrauResolucao-Exercicios-Propostos

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PET Matemática - UFMG
Resolução da Lista de Exerćıcios Propostos:
Equações de 2o grau
1. A equação do 2º grau ax2 − 4x− 16 = 0 tem uma ráız cujo valor é 4.
A outra ráız é:
Resolução:
Podemos substituir o valor de x por 4, uma vez que 4 é uma raiz
dessa equação. Assim, econtraremos o valor de a:
a (4)2 − 4 (4)− 16 = 0
16a− 16− 16 = 0
16a = 32
a = 2.
Encontrado o valor de a, teremos então a equação 2x2 − 4x − 16 = 0.
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os seus termos por
2, resultando em x2 − 2x− 8 = 0. Lembrando que podemos reescrever
as equações de segundo grau evidenciando suas ráızes, e sabendo que
que 4 é uma raiz, temos: (x− 4) (x− r) = 0, em que r é a outra raiz
no qual procuramos. Portanto:
x2 − 2x− 8 = (x− 4) (x− r) .
Basta dividir a equação x2 − 2x− 8 = 0 por (x− 4). O resultado será
x + 2. Assim, conclúımos que a outra raiz é -2.
2. As ráızes da equação x2 − 2px + 8 são positivas e uma é o dobro da
outra. Qual é o valor de p?
Resolução:
Pelo método de soma e produto, numa equação geral ax2+bx+c =
0 que possui as ráızes x1 e x2, temos que x1 + x2 = −
b
a
e x1 · x2 = c.
Sabemos que uma raiz é o dobro da outra. Denotaremos a primeira
raiz por t e a segunda por 2t. Portanto, temos:
1
t + 2t = −(−2p)
1
⇔ 3t = 2p,
e
t · 2t = 8⇔ 2t2 = 8⇔ t = ±2.
Substituindo os valores de t em 3t = 2p, temos p = −3 e p = 3. Já
podemos desconsiderar p = −3, uma vez que o enunciado afirma que as
duas ráızes são positivas, e a soma de dois números positivos (t + 2t)
resultará em um número também positivo (2p). Assim, p também deve
ser um número positivo. Então, para p = 3:
x2 − 6x + 8
4 = 36− 4 (1) (6) = 4
x1 =
6−2
2
= 2 e x2 =
6+2
2
= 4.
Conclúımos que p = 3 e suas ráızes são 2 e 4.
3. Denotemos por a e b (com a < b) as ráızes da equação
(2x + 0, 3)2 − 5 (2x + 0, 3) + 4 = 0. O valor de b− a é:
Resolução:
Usaremos o método de substituição de variável para resolvermos
essa questão. Perceba que podemos substituir o termo entre parênteses
por uma variável qualquer, digamos t. Então, t = 2x + 0, 3 e reescre-
vendo a equação, temos:
t2 − 5t + 4 = 0.
Calculando o discriminante
4 = 25− 4 (1) (4) = 9,
encontraremos o valor de t:
t =
5± 3
2
t1 =
5− 3
2
= 1, t2 =
5 + 3
2
= 4.
Agora que sabemos os valores de t, basta substitúırmos esses valores
na equação t = 2x + 0, 3 para encontrarmos os valores das ráızes:
2
Para t = 1:
1 = 2x + 0, 3⇔ x = 0, 35;
Para t = 4:
4 = 2x + 0, 3⇔ x = 1, 85;
Portanto, o valor da expressão b− a é 1, 85− 0, 35 = 1, 5.
4. Uma das ráızes da equação x2 − x− a = 0 é a ráız da equação
x2 + x− (a− 20) = 0. Encontre o valor de a, nesta situação.
Resolução:
O valor de a é o mesmo em ambas as equações e deve satisfazê-las
ao mesmo tempo. Para encontrá-lo, procuramos um valor para x que
satisfaça as duas equações. Para isto, basta igualá-las:
x2− x− a = x2 + x− a+ 20⇔ −x = x+ 20⇔ −2x = 20⇔ x = −10.
Encontrado o valor de x, basta substitúı-lo em uma das equações para
encontrarmos o valor de a,
x2 − x− a = 0
100 + 10− a = 0
a = 110.
O valor de a é 110.
5. Determine m para que a equação (m + 1)x2 − 2mx + m + 5 = 0, com
m 6= −1, possua ráızes reais e distintas.
Resolução:
Para que a equação possua ráızes reais distintas, é necessário que
o discriminante seja positivo, 4 > 0, ou seja:
(−2m)2 − 4 (m + 1) (m + 5) > 0
4m2 − (4m + 4) (m + 5) > 0
−20m− 4m− 20 > 0
−24m > 20
m < −20
24
= −5
6
.
Portanto, para que a equação possua ráızes reais distintas, m < −5
6
.
3
GABARITO
1. e
2. e
3. d
4. c
5. a
4