Oscilacoes electromagneticas

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Manuel Adriano Malaicha Mazive 
 
 
 
 
 
 
Oscilações electromagnéticas 
Licenciatura em Física 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Save 
Extensão da Massinga 
2021 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manuel Adriano Malaicha Mazive 
 
 
 
 
 
 
 
Oscilações electromagnéticas 
 
Licenciatura em Física 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Paed.: Alberto Marcos Hallar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Save 
Extensão da Massinga 
2021 
Trabalho de pesquisa científica a ser apresentado 
no departamento de ciências naturais e 
exactas para efeitos de avaliação na cadeira de 
oscilações ondas optica e laboratório. 
3 
 
 
 
Índice 
1. Introdução .............................................................................................................................. 4 
1.1.1. Objectivos .................................................................................................................... 4 
1.1.2. Gerais ....................................................................................................................... 4 
1.1.3. Específicos ................................................................................................................ 4 
1.2. Metodologias ................................................................................................................... 4 
2. Oscilações eletromagnéticas .................................................................................................. 5 
3. O oscilador Bloco-Mola ......................................................................................................... 7 
4. Oscilador LC ........................................................................................................................... 7 
5. Oscilações Amortecidas num Circuito RLC ........................................................................ 8 
6. Oscilações forçadas no circuito RLC ................................................................................... 9 
7. Circuito RLC série............................................................................................................... 11 
7.1. Potencia média fornecida a um circuito ..................................................................... 11 
8. Aplicação da ressonância nos circuitos eléctricos ............................................................. 13 
9. Conclusão ............................................................................................................................. 14 
10. Bibliografia ....................................................................................................................... 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1. Introdução 
Este trabalho surge no âmbito de avaliação na cadeira de oscilações ondas optica e laboratório 
lecionada na Universidade Save, extensão da Massinga, que visa falar de oscilações 
electromagnéticas. 
As oscilações de carga e corrente resultam em oscilações do campo elétrico do capacitor e do 
campo magnético do indutor, a que chamamos oscilações eletromagnéticas. 
Já vimos que em um sistema mecânico oscilante, constituído por um bloco de massa m, uma mola 
de constante elástica k com a massa imersa me um fluido viscoso (tal como óleo), o deslocamento 
x varia no tempo. Neste sistema a energia oscila entre a cinética da massa oscilante e a energia 
potencial da mola, sendo dissipada gradualmente (fluido viscoso) em energia térmica. Oscilador 
amortecido. 
Agora vamos ver como a carga eléctrica q varia com o tempo num circuito constituído por um 
indutor (L),um capacitor (C) e um resistor (R). E Como a energia é transferida do campo elétrico 
do capacitor para o campo magnético do indutor e, vice-versa, sendo dissipada gradualmente no 
resistor. Oscilador amortecido. 
 
1.1.1. Objectivos 
1.1.2. Gerais 
 Falar das oscilações electromagnéticas 
1.1.3. Específicos 
 Estudar um circuito RLC série ao qual é aplicada uma força electromotriz sinusoidal; 
 Determinar as amplitudes e diferenças de fase entre as tensões e correntes eléctricas nos 
vários elementos do circuito; 
 Determinar a potência dissipada no circuito. 
 
1.2. Metodologias 
Para a realização do presente trabalho, consultou se vários livros cujas biografias constam no fim 
do mesmo. 
 
 
 
 
 
 
5 
 
2. Oscilações eletromagnéticas 
Circuito oscilatório simples é um sistema constituído por uma bobina e por um condensador em 
que se podem produzir oscilações. 
Há três parâmetros que caracterizam o fluxo de cargas através de um circuito eléctrico: a 
capacitância, C, a resistência R e a auto indutância L. 
 
 
 
 
 
 
No circuito ocorre oscilação porque à medida que se descarrega o condensador, a força 
electromotriz na auto indutância tende a manter uma corrente em sentido oposto que recarrega o 
condensador. Quando o condensador se carrega de novo, o processo se repete em sentido oposto, 
dado que ele tende a descarregar - se novamente. 
Dentro do circuito eléctrico a intensidade da corrente estacionária é constante. 
 
De acordo com a lei de Ohm, temos a queda de tensão em C em L e a total é a soma das duas. 
𝐼𝑅 = 𝑈1 − 𝑈1 + 𝜀𝑜. Devido ao fornecimento de auto indutância temos 𝑈1 − 𝑈2 e 𝜀0. 
𝑈1 − 𝑈2 = −
𝑞
𝑐
 Sendo a carga q a carga electromotriz dada por 𝜀𝑜 = −𝐿
𝑑𝐿
𝑑𝑡
 Que se regista quando 
o circuito é fechado. 
Igualando as quedas de tensão através da resistência e do condensador, a fem induzida, teremos 
𝑉𝐿 = 𝑅𝐼 +
𝑞
𝑐
 Ou 𝑅𝐼 = −𝐿
𝑑𝐿
𝑑𝑡
−
𝑞
𝑐
. Derivando a equação em ordem a t em cada membro temos. 
𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= −𝐿
𝑑2𝐼
𝑑𝑡2
−
1
𝑐
𝑑𝑞
𝑑𝑡
⟺ 𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝐿
𝑑2𝐼
𝑑𝑡2
+
1
𝑐
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= 0 ⟺ 𝐿
𝑑2𝐼
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+
1
𝑐
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= 0. O sentido positivo 
de I foi escolhido de modo 𝐼 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
, nisto, podemos substituir e ter 𝐿
𝑑2𝐼
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+
1
𝑐
𝐼 = 0. 
𝐿
𝑑2𝐼
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑2𝐼
𝑑𝑡2
+
1
𝑐
𝐼 = 0 ⟺
𝑑2𝐼
𝑑𝑡2
+
𝑅
𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+
1
𝐶𝐿
𝐼 = 0. 𝛾 =
𝑅
2𝐿
⟺
𝑅
𝐿
= 2𝛾 ∧
1
𝐶𝐿
= 𝜔0
2 
⟹
𝑑2𝐼
𝑑𝑡2
+ 2𝛾
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝜔𝑜
2𝐼 = 0 ⟺ 𝐼̈ + 2𝛾𝐼̇ + 𝜔0
2𝐼 = 0 
 
6 
 
Nos circuitos (RC e RL), a carga, a corrente e a diferença de potencial crescem ou decrescem 
exponencialmente com o tempo. 
Agora a terceira combinação destes elementos, ou seja, o circuito LC, as grandezas (carga, corrente 
e diferença de potencial) não variam exponencialmente com o tempo, mas sim senoidalmente (com 
um determinado período T e uma frequência angular 𝜔0). As oscilações de carga e corrente 
resultam em oscilações do campo elétrico do capacitor e do campo magnético do indutor, a que 
chamamos de oscilações eletromagnéticas. 
 
Na figura abaixo estão representados oito estágios em um único ciclo de oscilação de um circuito 
LC sem resistência. Supomos que inicialmente a carga q do capacitor tem o seu valor máximo Q 
e a corrente i que atravessa o indutor é nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do ponto de vista formal, um circuito LC é análogo a um oscilador harmônico simples, que pode 
ser representado por um sistema massa-mola: 
 
 
7 
 
3. O oscilador Bloco-Mola 
Equação diferencial que governa a transferência de energia do oscilador bloco-mola. (aqui vamos 
fazer uma mudança de letras das variáveis para simplificar a comparação). 
𝑈 = 𝑈𝑏 + 𝑈𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2 +
1
2
𝐾𝑥2 
Para sistemas sem atrito (sistemas conservativos) U permanece constante, logo: 
𝑑𝑈
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(
1
2
𝑚𝑣2 +
1
2
𝑘𝑥2) = 𝑚𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 0 onde 𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 e 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 
 
Equação diferencial fundamental que governa as oscilações bloco-mola 
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑘𝑥 = 0 
Com deslocamento x(t) dada por 
𝑥(𝑡) = 𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + ∅) 
 
4. Oscilador LC 
Vamos analisar o circuitoLC sem resistência, da mesma forma que acima. 
𝑈 = 𝑈𝐵 + 𝑈𝐸 =
1
2
𝐿𝑖2 +
𝑞2
2𝐶
 
Como não temos resistência no circuito (sistema conservativo) U permanece constante, logo: 
𝑑𝑈
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(
1
2
𝐿𝑖2 +
𝑞2
2𝐶
) = 𝐿𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
𝑞
𝐶
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= 0 onde 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 e 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
 
 
Equação diferencial fundamental que descreve um circuito LC 
𝐿
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+
1
𝐶
𝑞 = 0 
Como as equações são matematicamente idênticas, sua solução também deve ser 
𝑞(𝑡) = 𝑄𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + ∅) 
A frequência angular natural de oscilação de um sistema bloco-mola corresponde a 
𝜔 =
1
√𝐿𝐶
 
 Como podemos ver. 
8 
 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= 𝑖 = −𝜔𝑄𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + ∅) e 
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
= −𝜔2𝑄𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + ∅) Então −𝐿𝜔2𝑄𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + ∅) +
1
𝐶
𝑄𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + ∅) = 0 e 𝜔 =
1
√𝐿𝐶
 
 
A energia eléctrica armazenada no circuito LC é dada por: 
𝑈𝐸 =
𝑞2
2𝐶
=
𝑄2
2𝐶
cos2(𝜔𝑡 + ∅) 
A energia magnética armazenada no circuito é dada por: 
𝑈𝐵 =
1
2
𝐿𝑖2 =
1
2
𝐿𝜔2𝑄2𝑠𝑒𝑛2(𝜔𝑡 + ∅) Como 𝜔 =
1
√𝐿𝐶
 
𝑈𝐵 =
𝑄2
2𝐶
𝑠𝑒𝑛2(𝜔𝑡 + ∅) 
 
5. Oscilações Amortecidas num Circuito RLC 
Quando uma resistência R está presente em, um circuito LC, a energia eletromagnética total não é 
mais constante ela é transformada em energia térmica no resistor. 
 
A energia total é dada por: 𝑈 = 𝑈𝐵 + 𝑈𝐸 =
1
2
𝐿𝑖2 +
𝑞2
2𝐶
 
Como U não é mais constante, isto é, ela diminui com o tempo, numa taxa 
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= −𝑖2𝑅 
Derivando a energia total 
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= 𝐿𝑖
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
𝑞
𝐶
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= −𝑖2𝑅 
Como 
𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 e 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
 
Então 
𝐿
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 0 
Equação diferencial que descreve as oscilações amortecidas, no domínio do tempo. 
Fazendo 𝑅 = 0Ω, temos a equação diferencial do circuito LC não amortecido. 
 
A solução geral da equação diferencial, do circuito RLC amortecido 
9 
 
𝑞 = 𝑄 𝑒−
𝑅𝑡
2𝐿cos (𝜔′𝑡 + ∅) 
Na qual 𝜔′ = √𝜔2 − (
𝑅
2𝐿
) e 𝜔 =
1
√𝐿𝐶
 
A equação q=q(t), acima, é idêntica à equação para o deslocamento em função do tempo num 
movimento harmônico simples (MHS) amortecido. 
𝑋(𝑡) = 𝑋𝑚𝑒
−
𝑏𝑡
2𝑚cos (𝜔𝑎𝑡 + ∅) 
Na qual 𝜔𝑎 = √
𝑘
𝑚
−
𝑏2
4𝑚2
 e 𝜔 = √
𝑘
𝑚
 para 𝑏 = 0 
 
 
 
 
 
6. Oscilações forçadas no circuito RLC 
As oscilações de um circuito RLC não serão totalmente amortecidas se um dispositivo de fem 
externo fornecer energia suficiente para compensar a energia térmica dissipada no resistor. 
Normalmente este dispositivo é um gerador de corrente alternada com fem do tipo: 
 𝜀 = 𝜀𝑚𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡), Onde ω é a chamada frequência angular propulsora. Quando uma fem como esta 
é ligada a um circuito RLC, dizemos que as oscilações da carga, da tensão e da corrente são 
oscilações forçadas. 
Veremos que, qualquer que seja a frequência angular natural ω0 de um circuito, estas oscilações 
ocorrem sempre na frequência angular propulsora. 
10 
 
 
 
 
 
 
 
Para um resistor ligado ao gerador de fem alternada temos: 𝜀 = 𝑣𝑅 = 𝜀𝑚𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝑉𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Corrente 𝑖𝑅 no resistor 𝑖𝑅 =
𝑣𝑅
𝑅
=
𝑉𝑅
𝑅
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑) 
Então temos 𝐼𝑅 =
𝑉𝑅
𝑅
 e 𝜑 = 0 
Portanto, a corrente e a tensão (ddp) estão em fase no resistor. A relação entre as amplitudes da 
corrente e da tensão no resistor é: 
𝑉𝑅 = 𝐼𝑅𝑅 
Para um capacitor ligado ao gerador de fem alternada, temos: 
𝑣𝑐 = 𝜀𝑚𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝑉𝑐𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Mas 𝑞𝑐 = 𝐶𝑣𝑐 = 𝐶𝑣𝑐𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) e como 𝑖𝑐 =
𝑑𝑞𝑐
𝑑𝑡
→ 𝑖𝑐 = 𝜔𝐶𝑉𝑐 cos(𝜔𝑡) = 𝜔𝐶𝑉𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 +
𝜋
2
) 
Introduzindo a reactância capacitiva 𝑋𝑐 =
1
𝜔𝐶
 Fica 𝑖𝑐 =
𝑉𝑐
𝑋𝑐
𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 +
𝜋
2
) = 𝐼𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 +
𝜋
2
) 
Então 𝜑 = −
𝜋
2
 e as amplitudes da tensão e da corrente estão relacionadas por: 𝑉𝑐 = 𝐼𝑐𝑋𝑐 
 
Para um indutor ligado ao gerador de fem alternada, temos: 𝑣𝐿 = 𝜀𝑚𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 𝑉𝐿𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) =
𝐿
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡
 ou 𝑑𝑖𝐿 =
𝑉𝐿
𝐿
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝑡 
𝑖𝐿 =
𝑉𝐿
𝐿
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝑡 = −
𝑉𝐿
𝜔𝐿
cos (𝜔𝑡) 
 
Introduzindo a reactância indutiva 𝑋𝐿 = 𝜔𝐿: 𝑖𝐿 =
𝑉𝐿
𝑋𝐿
𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 −
𝜋
2
) Então 𝜑 =
𝜋
2
 e as amplitudes 
da tensão e da corrente estão relacionadas por: 𝑉𝐿 = 𝐼𝐿𝑋𝐿 
 
11 
 
7. Circuito RLC série 
A fem aplicada é: 𝜀 = 𝜀𝑚𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡). A corrente transiente é nula, a corrente 
permanente é dada por: 𝑖(𝑡) = 𝐼𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑). 
A corrente 𝑖 tem o mesmo valor em todos os elementos e é representada 
por um único fasor (vector girante) no diagrama. Para qualquer t: 
𝜀 = 𝑣𝑅 + 𝑣𝐿 + 𝑣𝐶 
Segue que 𝜀𝑚 = �⃗⃗�𝑅 + �⃗⃗�𝐿 + �⃗⃗�𝐶 do diagrama, supondo que 𝑉𝐿 > 𝑉𝐶 
𝜀𝑚
2 = 𝑉𝑅
2 + (𝑉𝐿 − 𝑉𝐶)
2 Ou 𝜀𝑚
2 = (𝐼𝑅)2 + (𝐼𝑋𝐿 − 𝐼𝑋𝐶)
2 
 
Daí achamos o valor de 𝐼: 
𝐼 =
𝜀𝑚
√𝑅2 + (𝜔𝐿 −
1
𝜔𝐶)
2
=
𝜀𝑚
𝑍
 
Onde Z=√𝑅2 + (𝜔𝐿 −
1
𝜔𝐶
)
2
 É a impedância do circuito para a frequência 
de excitação. 
Também a constante de fase 𝜑 pode ser encontrada ser encontrada do 
diagrama dos fasores: 
𝑡𝑔𝜑 =
𝑉𝐿 − 𝑉𝐶
𝑉𝑅
=
𝑋𝐿 − 𝑋𝐶
𝑅
=
𝜔𝐿 −
1
𝜔𝐶
𝑅
 
 
 
7.1. Potencia média fornecida a um circuito 
Potência média necessária para manter a corrente num circuito é dada por 
 𝑃𝑚𝑒𝑑 =
1
2
𝑉0𝐼0𝑐𝑜𝑠𝛼 =
1
2
𝑅𝐼0
2. Quando a potência média é máxima, regista-se a ressonância. Este 
facto verifica-se quando 𝛼 = 0, e Ω𝐿 =
1
Ω𝐶
, numa altura em que a frequência é igual a frequência 
natural 𝜔0. Em ressonância, a corrente atinge o valor máximo de amplitude e está em fase com a 
fem aplicada, produzindo deste modo a potência média máxima. 
Como o indutor e capacitor não dissipam energia, a potencia média fornecida a um circuito RLC 
em série é igual a potencia média fornecida ao resistor. 
A potência instantânea é dada pela expressão: 
12 
 
𝑃 = 𝑅𝐼𝑚𝑎𝑥
2 . cos2(𝜔𝑡 − 𝛿) 
O gráfico da potência média em função da frequência para um circuito RLC é: 
 
 
 
𝑄 = 𝜔𝜏; 𝜏 =
𝑚
𝑏
 
Então o factor de qualidade será 𝑄 = 𝜔0
𝐿
𝑅
 
Quando a curva de ressonância é muito estreita (Q>2) então: 𝑄 =
𝜔0
Δ𝜔
=
𝑓0
Δ𝑓
 
Potência instantânea: 𝑃 = 𝜀𝑖 = 𝜀𝑚𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝐼𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑) = 𝜀𝑚𝐼𝑠𝑒𝑛
2(𝜔𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜑 −
𝜀𝑚𝐼𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) cos(𝜔𝑡) 𝑠𝑒𝑛𝜑. 
Potência media num ciclo de período T. 
𝑃𝑚𝑒𝑑 = 𝜀𝑚𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑
1
𝑇
∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝜔𝑡)𝑑𝑡 =
1
2
𝜀𝑚𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑇
0
 
 
Potência dissipada somente no resistor 
Potência instantânea: 𝑃 = 𝑖2𝑅 = 𝐼2𝑅𝑠𝑒𝑛2(𝜔𝑡 − 𝜑) 
 
Potência média num ciclo de período T: 
𝑃𝑚𝑒𝑑 = 𝜀𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝜀𝑟𝑚𝑠𝐼𝑟𝑚𝑠
𝑅
𝑍
= 𝑅𝐼𝑟𝑚𝑠
2 Pois cos 𝜑 =
𝑅
𝑍
 
 
Factor de potência (𝑐𝑜𝑠𝜑): 
𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1: circuito resistivo (transferência máxima de potencia →ressonância) 
cos 𝜑 = 0: circuito indutivo ou capacitivo (não há transferência de potência) 
 
 
13 
 
8. Aplicação da ressonância nos circuitos eléctricos 
i. Ao sintonizar variamos a capacitância, na tentativa de igualar a frequência; 
ii. Os circuitos RLC são usados em receptores da rádio, nos quais se faz variar a frequência 
da ressonância, ajustando o valor da capacitaria; 
iii. A ressonância ocorre quando a frequência natural do circuito é igual a frequência usada 
por uma das estacões da radio que o aparelho foi projectado para captar; 
iv. Na ressonância existe uma corrente relativamente elevada no circuito da antena. Se o factor 
Q do circuito é suficientemente alto, as correntes produzidas pelas frequências das outras 
estações fora da ressonância são menores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
9. Conclusão 
Contudo pude ver que, apesar de o indutor e o condensador, ao longo do período de oscilação, não 
extraírem ou fornecerem potência ao circuito, já instantaneamente a situação é diferente. Com 
efeito, o desfasamento de 
𝜋
2
 existente entre a tensão e a corrente conduz a que durante metade do 
ciclo de oscilação a potência instantânea (produtoda tensão pela corrente) seja positiva enquanto 
na outra metade ela é negativa. Quer isto dizer que durante metade do ciclo de oscilação cada um 
destes elementos absorve potência do circuito e durante a outra metade fornece essa mesma 
potência ao circuito, resultando no final um balanço nulo. Para além disto é interessante notar que 
o facto de as tensões no condensador e no indutor ideais se encontrarem permanentemente em 
oposição de fase significa que enquanto um dos elementos se encontra a absorver potência do 
circuito o outro se encontra a fornecer (embora em geral uma quantidade diferente). Conclui-se, 
portanto, que durante cada ciclo de oscilação existe uma certa transferência de potência (e energia) 
nos dois sentidos entre o indutor e o condensador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
10. Bibliografia 
 C. Kittel [et al]- Curso de Física de Berkeley : Mecânica, Vol 1, Edgard Bluecher. 
 H. J. Pain, The physics of Vibrations and Waves, Ed. Wiley. 
 R. Resnick e D. Halliday - Física, 4ª ed, Livros Técnicos e Científicos Editora 
 P.A. Tipler e G. Mosca - Física, Vol I, 5ª ed, Livros técnicos e Científicos Editora, S.A, 
Rio de Janeiro, 2006