Pendulo Fisico - Douglas Nascimento de Oliveira e Bruno Miranda Dalchau

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR 
Campus de Curitiba – DAFIS – Curso de Licenciatura em Física 
Oscilações, Ondas e Acústica Experimental – Prof. Jorge A. Lenz 
 
Nome: Douglas Nascimento de Oliveira R.A.: 1986520 Turma: FI75J Data: 
03/04/2021 
ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 
I) Título: PÊNDULO FÍSICO 
II) Objetivos: Constatação experimental da veracidade da equação desenvolvida teoricamente para o cálculo do 
período de um pêndulo físico. 
III) Teoria: No pêndulo físico, a análise do torque exercido em relação ao eixo 
de rotação nos conduz à equação: 
𝜏 = 𝑑 × 𝐹 = −d m g senθ (1) 
 Da cinemática das rotações sabemos que o torque é dado por 
 𝝉 = I α, (2) 
 onde: - I é o momento de inércia do sólido que compõe o pêndulo 
em relação ao eixo de rotação; 
 -  é a aceleração angular do sistema. 
 Assim, d m g senω𝑡 =
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
 (3) 
 Esta equação diferencial tem como solução possível: 
)(ωcosAy += t , cuja frequência angular é dada 
por 𝜔2 =
𝑑𝑚𝑔
𝐼
=
2𝜋
𝑇
 e, portanto 𝑇 = 2𝜋√
𝐼
𝑑𝑚𝑔
 (4) 
 O momento de inércia de uma haste delgada em relação a um eixo perpendicular a sua medida 
principal e passando pelo centro de massa é: 
𝐼 =
𝑚𝐿2
12
 
 Pelo teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia, ou inércia rotacional, em relação a qualquer 
eixo paralelo ao eixo central é dado por: 
𝐼 =
𝑚𝐿2
12
+ 𝑚𝑑2 = 𝑚 (
𝐿2
12
+ 𝑑2), (5) 
onde d é a distância do centro de massa da haste ao eixo de rotação. 
IV) Material utilizado: 1 haste (pode ser de qualquer material desde que seja homogênea), cronômetro, balança, 
régua, material de fixação e suportes. 
IV) Procedimento: 
1) Com o material de fixação, suspender uma das hastes, por um furo numa das bordas; 
2) Cronometrar cinco vezes, vinte oscilações completas, tendo o cuidado em usar pequenas amplitudes (no máximo 
20º). Com estas medidas, preencher a tabela 1. Com estes tempos, calcular o período médio de oscilação; 
3) Medir o comprimento L da haste oscilante e a distância d entre seu centro de massa e o ponto de sustentação (ou 
de rotação). 
4) Com estes dados preencher a tabela 2; 
5) Com a balança, obter a massa do pêndulo físicos; 
6) Calcular o momento de inércia I do pêndulo com a equação (5); 
7) Calcular o período de oscilação com a equação (4); 
8) Comparar o período de oscilação obtido em da questão (6) com o período médio nas 20 oscilações completas e 
verificar se foi alcançado o objetivo proposto. 
 
 
 
 
 
 
Para a execução do experimento foi confeccionado, sobre uma tábua de madeira, uma estaca em 
formato de paralelepípedo, como segue a figura abaixo. 
 
 
Por conta disso, o cálculo para o momento de inércia do objeto usado neste experimento segue os 
passos a seguir. 
 
L 
m 
Um paralelepípedo com 𝐿 = 18 𝑐𝑚 de comprimento, 
ℎ = 2,1 𝑐𝑚 de altura e 𝑏 = 4,1 𝑐𝑚 de profundidade, além de 
uma massa de 0,090 𝑘𝑔. O objeto possui dois furos 
homogêneos que possibilitaram considerar o centro 
geométrico como centro de massa. 
Como não é uma haste delgada, as dimensões de 
profundidade do paralelepípedo influenciam na determinação 
do momento de inércia do objeto. 
 
 
Como somente 𝐼𝑧 nos interessa, portanto o momento de inércia para um dos eixos de rotação, com 
distância entre o eixo e o centro de massa 𝑑 = 7,5 𝑐𝑚, será dado por 
 
𝐼 = 𝐼𝑍 + 𝑚𝑑
2 
 
𝐼 =
1
12
(0,090)[(0,041)2 + (0,18)2] + (0,090)(0,075)2 
 
𝐼 = 7,618575 × 10−4 𝑘𝑔 𝑚2 
 
Utilizando a fórmula (4), determina-se o período do paralelepípedo em função do seu momento de 
inércia sobre o eixo de rotação indicado. 
 
𝑇 = 2𝜋√
𝐼
𝑑𝑚𝑔
= 2𝜋√
7,6185 × 10−4
(0,075)(0,090)(9,81)
= 0,67395415 ≅ 0,6740 𝑠 
 
Considerando 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠2 
 
 
 
 
Realizando o experimento com 20 oscilações, repetindo 5 vezes, obtém-se os dados apresentados 
na Tabela 1. 
As oscilações foram realizadas com um ângulo de 20° com auxílio de fio de nylon sobre o 
transferidor. A haste metálica cilíndrica que sustenta o paralelepípedo pelo eixo foi fixada de forma que 
mantivesse um angulo reto em relação à parece vertical. Foi utilizado também óleo de cozinha para reduzir 
o atrito entre a haste e o furo da madeira. Alguns desses detalhes são possíveis constatar nas imagens abaixo. 
 
 
 
O período de 20 oscilações é dividido por 20 e assim tirado a média entre as 5 repetições. Desta 
forma encontramos o período médio de oscilação, que é bem próximo ao período de oscilação em função 
do momento de inércia do paralelepípedo, representado na Tabela 2. 
 
 
Tabela 1 
No de 
oscilações 
t (s) T (s) = t(s)/20 
20 13,05 0,6525 
20 13,26 0,6630 
20 13,07 0,6535 
20 13,15 0,6575 
20 13,11 0,6555 
 Média = 0,6564 
 
 
Tabela 2 
 m (kg) L (m) d (m) I (kg m2) T (s) 
Pêndulo 0,090 0,18 0,075 7,6185 × 10−4 0,6740