Introdução à Probabilidade

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PROBABILIDADE
Procura quantificar numericamente a chance de que um
acontecimento ocorra. Foi criada a partir dos jogos de azar e
hoje é uma poderosa ferramenta utilizada para se entender a
variabilidade de um fenômeno.
Para iniciarmos o estudo da probabilidade, precisamos
definir alguns conceitos importantes sobre este tópico.
Experimento aleatório: podem ocorrer nas mesmas condições
ou em condições semelhantes, e podem apresentar resultados
diferentes a cada ocorrência.
Exemplos:
Se lançarmos uma moeda ao chão para observarmos a
face que ficou para cima, o resultado é imprevisível, pois tanto
pode dar cara, quanto pode dar coroa.
Se ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um
dado, o resultado será mais imprevisível ainda, pois aumentamos
o número de possibilidades de resultado.
Espaço amostral (S): consiste em todos os resultados possíveis
para o experimento, ou seja, todas as possibilidades diferentes
que o experimento aleatório pode mostrar.
Exemplo:
O lançamento ou as faces de um dado
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Tipos de Espaço Amostral
1) Finito: tem um número finito de elementos
Exemplo: Lançamento de um dado 
S={1,2,3,4,5,6}
2) Infinito enumerável ou contável: tem um número infinito de
elementos e numeráveis
Exemplo: Uma moeda é lançada sucessivas vezes até que
ocorra uma coroa(c)
S={c,kc,kkc,kkkc,kkkkc,...}
3) Infinito não enumerável ou não contável: tem um número
infinito de elementos não enumeráveis
Exemplo: Observar o tempo de vida de uma lâmpada
Evento: é o subconjunto do espaço amostral ou seja, é o que se
quer que ocorra dentro do experimento.
Sempre deve ser considerado o evento impossível
(aquele que nunca ocorre) e o evento certo (que é próprio
espaço amostral S)
Exemplo: No lançamento de um dado, considere o
evento quando ocorre um número par:
S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E= {2, 4, 6} 
c) Diferença: O evento A - B ocorre quando ocorre o evento A 
mas não ocorre o evento B.
d) Complementar: O evento AC ocorre quando o evento A não 
ocorre.
com 0 ≤ P(A) ≤ 1 
bola marrom?
Axiomas da probabilidade
Considere os eventos A e B associados ao espaço
amostral S.
� O valor de uma probabilidade será maior ou igual a zero ou
menor ou igual a 1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
� A probabilidade do espaço amostral é sempre igual a 1.
P (S) = 1
� Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então:
P(AUB)=P(A) + P(B)
Teoremas da probabilidade
1º) Se ɸ é um conjunto vazio, então:
P(ɸ) = 0 
Exemplo:
A probabilidade de ocorrer face 2 e 3 no lançamento
de um dado não viciado é P(ɸ) = 0, enquanto que a
probabilidade de ocorrer face 2 ou 3 é 1/6 + 1/6 = 1/3.
2º) Se Ac é o evento complementar do evento A, então:
P(Ac)=1 – P (A)
Exemplo:
Uma urna contém 4 bolas verdes, 3 bolas brancas e 8
bolas amarelas. Uma bola é retirada aleatoriamente.
Determinar a probabilidade de que a bola retirada não ser
amarela.
V = “a bola retirada é verde” P (V) = 4/15 = 26,67%
B = “a bola retirada é branca” P (B) = 3/15 = 20,00%
A = “a bola retirada é amarela” P (A) = 8/15 = 53,33%
Ac= “a bola retirada não é amarela”
P (Ac) = 1 – P (A) = 1 – 8/15 = 7/15 = 46,67%
3º) Teorema da Soma
Se A e B são dois eventos quaisquer, ou seja, podem ser
mutuamente excludentes ou não, então:
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Exemplo:
Ao se retirar uma carta do baralho (com 52 cartas) qual e
a probabilidade de se obter uma carta vermelha ou um as?
evento A: carta é as.
evento B: carta é vermelha.
P(AUB) = P(B) + P(A) - P(A∩B)
= 26/52 + 4/52- 2/52
= 28/52
= 53,84%
4º) Se A, B e C são eventos quaisquer, ou seja, podem ser
mutuamente excludentes ou não, então:
P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)
5º) Se A – B é a diferença entre os eventos quaisquer, então:
P(A-B)=P(A)-P(A∩B).
Trabalho para ser entregue impreterivelmente no dia 22 de 
agosto (quinta-feira) – 0,5 pts na prova!!!!!
Suponha que entrevistamos 100 alunos e perguntamos em quais
matérias eles estavam inscritos. Obtivemos os seguintes valores:
47 alunos inscritos em matemática.
31 alunos inscritos em física.
11 alunos inscritos em estatística.
20 alunos inscritos em matemática e física.
7 alunos inscritos em matemática e estatística.
6 alunos inscritos em física e estatística.
5 alunos inscritos em matemática, física e estatística.
a) Selecionando um aluno ao acaso, qual e a probabilidade de ele estar
inscrito somente em matemática?
b) Qual e a probabilidade de ele estar inscrito em matemática ou física?
c) Qual e a probabilidade de ele estar inscrito em pelo menos 1 matéria?
OBS:. O trabalho só será aceito em folha de papel almaço. Não
esqueçam de colocar o nome e a turma.
Programação até o fim do semestre
Agosto
20/08 (terça-feira) -
22/08 (quinta-feira) - Entrega do trabalho (0,5 pts)
27/08 (terça-feira) -
29/08 (quinta-feira) -
Setembro
03/09 (terça-feira) -
05/09 (quinta-feira) -
10/09 (terça-feira) -
12/09 (quinta-feira) -
17/09 (terça-feira) - Prova 2
19/09 (quinta-feira) -
24/09 (terça-feira) - Optativa
26/09 (quinta-feira) – Entrega das notas finais
Considere o experimento aleatório E = “um dado honesto
é lançado e a face é observada” e os eventos A = “ocorre face 3”
e B = “ocorre face ímpar”
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A = {3} 
B = {1, 3, 5} 
Qual a probabilidade do evento A ocorreu?
Qual a probabilidade do evento B ocorreu? 
Qual a probabilidade do evento A ocorrer sabendo que o evento 
B já ocorreu? 
Probabilidade Condicional e Independência
Sejam A e B dois eventos quaisquer de uma espaço
amostral S, com P(B) > 0. A probabilidade de A ocorrer, na
hipótese de B já ter ocorrido, denotado por P(A/B), é dada por:
No exemplo anterior: 
E = “um dado honesto é lançado e a face é observada” 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A = “ocorre face 3” = {3} 
B = “ocorre face ímpar” = {1, 3, 5} 
A ∩ B = {3} 
Regra do Produto 
Da probabilidade condicional tem-se:
P(A∩B) = P(A/B).P(B)
Dois eventos A e B são ditos independentes se a
probabilidade de ocorrência de um evento não interfere na
probabilidade de ocorrência do outro evento, ou seja:
• P(A/B) = P(A)
• P(B/A)= P(B)
Logo: P (A∩B) = P (B∩A) = P(A).P(B)
Exemplo:
Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são
retiradas, uma a uma sem reposição. Qual a probabilidade de
que ambas sejam não defeituosas?
Solução:
A = “primeira peça é não defeituosa”=> P (A) = 8/12
B = “segunda peça é não defeituosa” => P(B/A) = 7/11
P(A∩B) = P(A) . P(B/A)
= 8/12 . 7/11
= 14/33 = 42,42%
Eventos Independentes
Sejam A e B dois eventos quaisquer, associados a um
experimento aleatório. Dizemos que A e B são independentes
se:
Se A e B são independentes, temos então que P(A|B) =
P(A) pois,