mma11_ta_2

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1.	Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os vetores e tais que:
	■	 e 
	■	o ângulo formado pelos vetores e é obtuso e 
	Qual é o valor do produto escalar ?
	(A) –120			(B) –24			(C) –17		(D) –8
2.	Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere a reta r definida por: 
	Uma equação vetorial da reta r é: 
	(A) 
	(B) 
	(C) 
	(D) 
3.	Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, a superfície esférica de centro na origem do referencial e que passa pelo ponto .
	Qual das equações seguintes representa uma equação cartesiana do plano tangente a essa superfície esférica no ponto A?
	(A) 				(B) 
	(C) 			(D) 
4.	Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a reta r de equação . A inclinação da reta r é igual a: 
	(A) rad			(B) rad		(C) rad		(D) rad
5.	Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere os pontos e .
	Qual dos seguintes pontos não pertence ao plano mediador de [AB]?
Teste de avaliação 2 TA2							P
Nome da Escola
Ano letivo 20 - 20
Matemática A | 11.º ano
Nome do Aluno
Turma
N.º
Data
Professor
 - - 20
Teste de avaliação 2		P
	(A) 		(B) 		(C) 		(D) 
6.	Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos e e vetor .
	6.1.	Determine .
	6.2.	Determine um valor aproximado à décima do grau da amplitude do ângulo formado 	pelos vetores e .
7.	Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere os pontos e .
	7.1.	Determine uma equação cartesiana do plano mediador de [AB].
	7.2.	Determine uma condição que defina a esfera de diâmetro [AB].
7.3.	Defina por uma equação cartesiana e identifique o lugar geométrico dos pontos do espaço tais que .
8.	Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere o plano definido por e ponto .
	8.1.	Determine as coordenadas dos pontos do plano com cota igual a –2.
	8.2.	Determine uma equação vetorial da reta t, perpendicular a e que passa por A.
9.	Num plano munido de um referencial ortonormado, considere a reta r de equação vetorial e o ponto .
	9.1.	Determine a área do triângulo [AOB], sabendo que:
		■ O é a origem do referencial;
		■ A é o ponto de interseção da reta r com eixo Ox;
		■ B é o ponto de interseção da reta r com eixo Oy.
	9.2.	Determine a equação reduzida da reta s, perpendicular à reta r e que passa pelo ponto P.
Teste de avaliação 2									P
Teste de avaliação 2
1.	, pelo que usando a fórmula fundamental da trigonometria:
	
	 
	 
	Como é obtuso, então 
	 
	Resposta: (A)
2.	
	Como , o vetor de coordenadas é um vetor diretor da reta r .
	Para , temos: 
 	Portanto, e são, respetivamente, um vetor diretor e um ponto da reta r.
	Então, é uma equação vetorial da reta r.
	Resposta: (B)
3.	O plano pode ser definido pela equação , em que é um ponto qualquer deste plano. Assim:
	 
	
	 
		 
		 
		 
	Portanto, o plano pode ser definido pela equação . 
	Resposta: (C)
4.	 
	 
	O declive da reta r é igual a .
	Sejaa inclinação da reta r, então:
	
	
	Logo, a inclinação da reta r é radianos.
	Resposta: (D)
5.	Seja um ponto qualquer do plano mediador de [AB] e M o ponto médio deste segmento.
	, isto é,
	 é uma equação cartesiana deste plano.
	 
	 
	 
	 
	 
	O único ponto, dos quatro possíveis, em que a diferença entre a ordenada e a cota não é nula é o ponto .
	Resposta: (B)
6.1.	 
	Portanto: 
	
	
	 
	Resposta: 
6.2.	, pelo que: 
	, pelo que .
	
	 
	
	A amplitude do ângulo formado pelos vetores e é, aproximadamente, 142,6º.
7.1.	Sejam um ponto qualquer do espaço e M o ponto médio deste segmento, então é uma equação deste plano.
	, isto é, . 
	 
	 
	.
	Portanto, é uma equação cartesiana do plano mediador de [AB].
7.2.	O ponto médio de [AB] é o centro da esfera, ou seja, . O raio, r, da esfera é .
	 
	 
	Então, é uma condição que define a esfera de diâmetro [AB].
7.3.	 
	 
	 
			 
			 
			 
	Trata-se do plano perpendicular à reta AC que passa por C e definido pela equação .
8.1.	Substituindo z por –2 na equação do plano :
	 
	 
	Portanto, são as coordenadas pedidas.
8.2.	 é um vetor normal ao plano .
	Por outro lado, a reta t é perpendicular a , pelo que os vetores diretores da reta t são colineares aos vetores normais, do plano . Portanto, pode ser um vetor diretor da reta t. A reta t passa por A, logo:
	 é uma equação vetorial da reta t.
9.1.	■	Coordenadas do ponto A
		Substituindo y por 0 na equação vetorial da reta r:
		 
		 
		 
		 
		 
		Portanto, . 
	■	Coordenadas do ponto B
		Substituindo x por 0 na equação vetorial da reta r:
		 
		 
		 
		Portanto, . 
	Área 
9.2.	 é um vetor diretor da reta r.
	Assim, é um vetor diretor da reta s, pois , já que . Então, .
	Como o ponto pertence à reta s:
	 
	Portanto, é a equação reduzida da reta s.	
Proposta de resolução do teste de avaliação 2					P
Proposta de resolução do teste de avaliação 2	P
v
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(
)
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)
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xyz
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xyz
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+
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)
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2
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