Mecanica dos Sólidos 05 Propriedades Mecânicas e Comportamento Dos Materiais

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DESCRIÇÃO
O conhecimento das propriedades mecânicas dos materiais e o comportamento dos materiais
em situações diversas na Engenharia.
PROPÓSITO
Proporcionar a união da Mecânica (determinação das forças) com as propriedades dos
materiais por meio de uma lei que rege o comportamento dos materiais no regime elástico — a
Lei de Hooke.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora
científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer o comportamento dos materiais sob tensão
MÓDULO 2
Definir a Lei de Hooke e o coeficiente de Poisson
MÓDULO 3
Calcular a tensão térmica
INTRODUÇÃO
MÓDULO 1
 Reconhecer o comportamento dos materiais sob tensão
INTRODUÇÃO
A partir das ideias qualitativas das deformações elásticas (temporárias) e as deformações
plásticas (permanentes), é possível estabelecer uma classificação para os materiais: dúcteis e
frágeis.
Materiais dúcteis
Apresentam uma quantidade elevada de deformação plástica antes do rompimento (aço doce,
alumínio, cobre etc.).

Materiais frágeis
Apresentam pouquíssima deformação plástica antes do rompimento (vidro, cerâmica, ferro
fundido cinzento etc.).
 ATENÇÃO
A análise anterior foi feita de maneira simplificada. Por exemplo, a temperatura de trabalho
pode tornar um material dúctil em frágil. É o que acontece com alguns aços que a baixas
temperaturas comportam-se fragilmente. É a chamada transição dúctil – frágil.
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
O engenheiro projetista precisa conhecer várias propriedades dos materiais a fim de otimizar
seu projeto. Em nossa disciplina, propriedades como tensão de escoamento, tensão de
ruptura, ductilidade, resiliência, tenacidade, dureza, entre outras, são importantes para o
dimensionamento de um projeto.
Essas características estão tabeladas e foram determinadas a partir de ensaios próprios,
baseados em normas técnicas. Essas normas indicam a forma do Corpo de Prova (CP) a ser
utilizado, a temperatura do ensaio, as taxas de carregamentos e várias outras condições para
execução dos ensaios.
Via de regra, os projetos são dimensionados para que ocorra certo valor de deformação
elástica (temporária). Caso essa estrutura tenha alguma deformação permanente (plástica), o
projeto precisará ser revisto.
A TRANSIÇÃO ENTRE AS DUAS DEFORMAÇÕES
CORRESPONDE AO FENÔMENO DO ESCOAMENTO. A
PROPRIEDADE MECÂNICA ASSOCIADA É A TENSÃO DE
ESCOAMENTO, FUNDAMENTAL PARA PROJETISTAS. OUTRA
PROPRIEDADE É A DUCTILIDADE, QUE AVALIA O GRAU DE
DEFORMAÇÃO PLÁSTICA. ELA PODE SER QUANTIFICADA A
PARTIR DA VARIAÇÃO PERCENTUAL DO COMPRIMENTO OU
DA ÁREA DA SEÇÃO RETA.
A equação 1 mostra as expressões utilizadas nesse cálculo.
 . 100% . 100% 
 
OU 
 
 . 100% . 100%
(Equação 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
ΔL
L0
=  
(Lf−L0)
L0
ΔA
A0
=  
(A0−Af)
A0
Lf - comprimento final
L0 - comprimento inicial
A0 - área inicial
Af - área final
Outras propriedades, como resiliência (módulo de resiliência) e tenacidade (módulo de
tenacidade) estão associadas à quantidade de energia absorvida pelo material por unidade de
volume. Na resiliência, essa quantidade de energia está no campo elástico e, na tenacidade,
envolve também a região plástica, até a ruptura.
 SAIBA MAIS
No gráfico tensão x deformação (a ser visto), os módulos de resiliência e de tenacidade
correspondem às áreas sob a curva do gráfico tensão x deformação.
GRÁFICO TENSÃO X DEFORMAÇÃO
O primeiro aspecto que deve ser mencionado no estudo do gráfico tensão x deformação é a
existência de dois gráficos. Um denominado de engenharia e outro verdadeiro. O gráfico a ser
apresentado é o de engenharia, em que o valor da tensão desconsidera a diminuição da área
da seção reta ao longo do ensaio de tração, ou seja, considera a área A0 inicial do corpo de
prova.
ENSAIO DE TRAÇÃO
O ensaio de tração é um ensaio normatizado e realizado numa máquina denominada máquina
de ensaio de tração. Outros ensaios podem ser realizados nessa máquina, como o de
compressão, o de fadiga de baixo ciclo etc. A norma que conduz a execução do ensaio,
inicialmente, determina a forma e as dimensões do corpo de prova a ser utilizado.
A figura 1 mostra um croqui de um CP padronizado para o ensaio de tração.
 Figura 1 - Corpo de prova para ensaio de tração.
Em linhas gerais, a máquina para o ensaio de tração é composta por dois travessões
horizontais, sendo um móvel, a célula de carga, duas garras e um computador para aquisição
de dados. Um extensômetro é “colado” ao CP para medir a variação em seu comprimento.
A figura 2 apresenta um esboço de uma máquina para o ensaio de tração.
 Figura 2 - Máquina para ensaio de tração.
De forma simplificada, o corpo de provas é preso nas garras e o travessão móvel começa a se
movimentar, a uma taxa predefinida, fazendo com que o CP comece a se deformar.
Inicialmente, ocorre a deformação elástica e, depois, a transição para a deformação plástica. O
ensaio é levado até a ruptura do CP. Os dados são enviados para o computador que traça o
gráfico tensão x deformação. Dependendo do tipo de material, a curva apresenta aspectos
diferentes.
Na figura 3, são mostradas duas curvas características típicas de materiais dúcteis e frágeis.
 Figura 3 – Curva tensão x deformação.
Observe, na figura, que os gráficos apresentam duas regiões bem distintas. A primeira, refere-
se ao campo elástico das deformações e, a segunda, ao campo das deformações plásticas. No
primeiro gráfico, a região plástica é bem extensa, o que caracteriza um material dúctil,
enquanto no segundo gráfico, a região plástica é pequena, típica dos materiais frágeis.
Detalhando mais a curva tensão x deformação, é possível citar alguns aspectos relevantes.
Inicialmente, o CP começa a ser deformado elasticamente (região elástica), mantendo um
comportamento linear. A transição para a fase plástica é denominada escoamento e, no
gráfico, é vista como uma pequena queda na tensão seguida de um “serrilhamento”.
No decorrer do teste, em virtude da deformação plástica e dos mecanismos microscópicos
associados, ocorre o encruamento (endurecimento por deformação) do CP e a tensão vai
aumentando até atingir o ponto máximo (tensão máxima ou última). A partir desse ponto, é
possível visualizar no CP o “empescoçamento” (estricção) — que é a diminuição acentuada da
seção reta—, e o gráfico passa a apresentar uma queda até a ruptura do CP.
Observe a figura 4, na qual a descrição acima é apresentada num gráfico tensão x deformação.
 Figura 4 – Curva tensão x deformação e suas regiões relevantes
Várias propriedades mecânicas dos materiais podem ser determinadas a partir da curva tensão
x deformação. A resiliência e a tenacidade são as áreas sob a curva. A resiliência apenas na
região elástica e a tenacidade sob toda a curva. Observe, esquematicamente, a figura 5 e as
regiões citadas.
 Figura 5 – Resiliência e tenacidade
OBSERVAÇÃO: É POSSÍVEL QUE O ENSAIO DE TRAÇÃO
SEJA INTERROMPIDO ANTES DA RUPTURA DO CP. DOIS
CASOS PODEM SER ANALISADOS: A INTERRUPÇÃO
ACONTECEU AINDA NA REGIÃO ELÁSTICA OU A
javascript:void(0)
INTERRUPÇÃO OCORREU QUANDO O MATERIAL JÁ HAVIA
SIDO DEFORMADO PLASTICAMENTE .
A INTERRUPÇÃO ACONTECEU AINDA NA
REGIÃO ELÁSTICA
Como a deformação elástica é temporária, a interrupção fará com que toda a deformação
ocorrida seja totalmente recuperada e o CP volte às suas dimensões originais.
A INTERRUPÇÃO OCORREU QUANDO O
MATERIAL JÁ HAVIA SIDO DEFORMADO
PLASTICAMENTE
Haverá a recuperação elástica, mas não a da deformação plástica, que é permanente. Observe
na figura 6 o segundo caso citado.
 Figura 6 - Descarregamento durante o ensaio de tração
Observe que, na fase de descarregamento, a linha tracejada é paralela ao trecho linear da
região elástica.
javascript:void(0)
Muitos materiais não apresentam, no gráfico tensão x deformação, uma transição da região
elástica para a região plástica explícita(“serrilhamento”), como mostra a figura 4. Por vezes,
essa transição é muito tênue, conforme a figura 7, o que dificulta determinar o início do
escoamento e, consequentemente, a tensão de escoamento.
Para esses materiais, utiliza-se um limite convencional para a deformação (0,002). A partir
desse ponto, traça-se uma paralela à reta do regime elástico e a interseção com a curva tensão
x deformação indicará a tensão de escoamento. Observe a figura:
 Figura 7 – Deformação convencional.
MÃO NA MASSA
TÍTULO 1
TEORIA NA PRÁTICA
Uma liga metálica nova foi desenvolvida num centro de pesquisas por engenheiros de
materiais para utilização específica como peça de um projeto. Nas especificações, a peça deve
trabalhar com carregamentos que variam, mas que nunca ultrapassam a região elástica. Por se
tratar de um material novo, as principais propriedades mecânicas não se encontram tabeladas.
O engenheiro chefe do projeto pede que um de seus estagiários determine a tensão de
escoamento dessa liga, pois esta será utilizada como limite no dimensionamento da peça.
O aluno estagiário recorda-se de seus ensinamentos a respeito das propriedades dos materiais
e tentará solucionar o problema utilizando o ensaio de tração. Inicialmente, ele procura o
laboratório de ensaios mecânicos e constata que existe uma máquina apropriada para o
ensaio. Ele solicita que dez Corpos de Provas (CPs) sejam preparados, a partir das instruções
da norma do ensaio. A sua ideia é realizar dez testes e fazer um estudo estatístico para a
tensão de escoamento, determinando o valor médio e uma medida de dispersão, por exemplo,
o desvio padrão. Com os CPs preparados, iniciou os testes e coletou os dados provenientes da
máquina para utilizar um software que plotasse a curva tensão x deformação. Em um dos
testes, ele encontrou a seguinte curva:
O aluno percebeu que o diagrama apresentava o aspecto típico, com um escoamento bem
definido. Portanto, ele concluiu, para esse ensaio, que a tensão de escoamento dessa nova
liga é igual a 320 MPa. Repetiu o teste mais 9 vezes e encontrou valores próximos a 320 MPa.
A partir de seus conhecimentos de Estatística, determinou a média (322 MPa) e o desvio-
padrão (5 MPa). Em seu relatório, apresentou para o engenheiro a tensão de escoamento da
liga da seguinte forma:
RESOLUÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Definir a Lei de Hooke e o coeficiente de Poisson
INTRODUÇÃO
Muitos materiais, quando sob carregamento, apresentam uma fase inicial em que as grandezas
tensão e deformação normais são diretamente proporcionais. O gráfico Tensão x Deformação
estudado no módulo anterior (ver figura 4) apresenta, na região elástica, um comportamento
linear.
É a partir desse comportamento linear que é possível determinar a propriedade do material
denominada módulo de elasticidade (E) ou módulo de Young. Em linhas gerais, são
propriedades que quantificam a rigidez de um material.
σescoamento =(322  ± 5) MPa
 EXEMPLO
Algumas classes de ligas de alumínio apresentam o módulo de elasticidade de 70 GPa,
enquanto algumas classes de aço apresentam valores em torno de 200 GPa, ou seja, cerca de
três vezes mais rígidos.
Mas como determinar tais valores? A partir do gráfico Tensão x Deformação, estudado no
módulo 1, será possível.
LEI DE HOOKE
A deformação imposta a uma estrutura é proporcional à tensão a que esta se encontra
submetida. A partir do gráfico Tensão x Deformação simplificado (ver figura 8), é possível
identificar um comportamento linear (reta).
O coeficiente angular dessa reta, ou seja, a tangente do ângulo que a reta faz com a horizontal,
é dado pela expressão do coeficiente angular = .
 Figura 8 - Módulo de elasticidade.
O coeficiente angular encontrado no gráfico da figura 8 é denominado módulo de elasticidade
do material (E). Para gráficos com essa região linear mais vertical, maior é o valor do módulo
de elasticidade, ou seja, mais rígido o material.
= = σ
Δ ε
σ−0
ε−0
σ
ε
A partir da expressão anterior, utilizada para determinar o coeficiente angular, é possível
escrever a lei conhecida como Lei de Hooke.
Observe a sequência de passos matemáticos:
COEFICIENTE ANGULAR = 
 
 
 
 
(Equação 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação 2 é a Lei de Hooke, utilizada para deformações normais (de tração ou compressão)
elásticas.
É IMPORTANTE RESSALTAR QUE, UMA VEZ QUE A
DEFORMAÇÃO Ε É ADIMENSIONAL (SEM UNIDADE), A
TENSÃO (Σ) E O MÓDULO DE ELASTICIDADE (E)
APRESENTAM AS MESMAS UNIDADES, POR EXEMPLO MPA
OU GPA, SENDO A ÚLTIMA MAIS COMUM.
EXEMPLO
Suponha que uma peça de aço tenha seção reta quadrada e comprimento 2 m. Uma das
extremidades encontra-se presa a uma estrutura e a outra (extremidade livre) é tracionada de
tal forma que seu comprimento aumenta em 2,1 mm. Considerando que essa peça apresenta
módulo de elasticidade E igual a 200 GPa, determine a tensão a que está sujeita a peça.
Suponha que a deformação seja apenas elástica.
= = σ
Δ ε
σ−0
ε−0
σ
ε
E =   σ
ε
σ = E. ε
Inicialmente, deve-se determinar a deformação normal média (elástica), ou seja, 
. Utilizando a Lei de Hooke, temos:
 
 
OBSERVAÇÃO: DA MESMA FORMA QUE FOI ESTUDADO O
GRÁFICO TENSÃO X DEFORMAÇÃO (NORMAL), EXISTE O
GRÁFICO TENSÃO CISALHANTE X DEFORMAÇÃO
CISALHANTE. OS MESMOS ARGUMENTOS APRESENTADOS
NO ITEM LEI DE HOOKE, RESULTAM NESTA LEI APLICADA AO
CISALHAMENTO.
A equação 3 descreve a expressão matemática dessa lei.
(Equação 3)
 ATENÇÃO
Os módulos de elasticidade E e G apresentam as mesmas unidades.
COEFICIENTE DE POISSON
εm = = = 0,001050
ΔL
L0
2,1
2000
σ = E. ε
 σ  = (200). (0,001050)
 σ  = 0,21 GPa = 210MPa
Para entender o parâmetro denominado coeficiente de Poisson ( ), inicialmente, será feita uma
avaliação qualitativa simplificada.
Suponha um cilindro homogêneo de área da base A0 e comprimento L0. submetido a um par
de forças axiais trativas. Considerando que todo o fenômeno ocorre no regime elástico, o
cilindro passará a ter um comprimento Lf (Lf > L0). Considerando a conservação do volume do
cilindro, nas condições inicial e final, é verdade que A0.L0 = Af.Lf. Como Lf > L0, é verdade que
Af < A0. Assim, o aumento em dada direção (longitudinal) provocará a redução nas direções
laterais.
Antes de ser apresentada a definição do coeficiente de Poisson, é preciso conhecer um pouco
mais sobre materiais isotrópicos, ou seja, materiais que apresentam propriedades que
independem da direção adotada. A madeira, por exemplo, pela existência das fibras em certa
direção, apresenta comportamento mecânico distinto em direções distintas. É um material
anisotrópico.
A definição do coeficiente de Poisson ( ) é dada pela equação 4
(Equação 4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe a figura 9, em que um corpo cilíndrico é tracionado e ocorre um alongamento na
direção longitudinal e uma contração na direção lateral, na região elástica
 Figura 9 - Corpo deformado elasticamente.
ν
ν
ν = −
ε lateral
ε longitudinal
Note que as deformações longitudinal (axial) e lateral (radial) apresentam sempre sinais
opostos, indicando que em uma delas houve um aumento no comprimento (deformação
positiva) e, na outra, uma redução (deformação negativa). Assim, na expressão do coeficiente
de Poisson (equação 4), o valor desse parâmetro é sempre positivo. Ademais, o coeficiente de
Poisson é adimensional (sem unidade).
AS CONSTANTES E, G E ; PARA DADO MATERIAL,
RELACIONAM-SE MATEMATICAMENTE PELA EXPRESSÃO A
SEGUIR:
 
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
O estagiário de uma empresa recebeu a incumbência de determinar a elongação de uma peça
a ser utilizada numa estrutura de um projeto. Como toda a estrutura trabalha no regime
elástico, a deformação da peça não pode ser plástica, apenas elástica. Pensando no
conhecimento já aprendido em seu curso de Engenharia, percebeu que precisaria ter algumas
informações para responder corretamente ao engenheiro. Lendoo projeto, descobriu que a
peça é de aço com tensão de escoamento 300 MPa e módulo de Elasticidade ou de Young de
200 GPa. Além dessas informações, conseguiu descobrir que a peça é um cilindro com 60 cm
de comprimento e ficará sujeita a um esforço axial de tração. Como informação adicional,
descobriu que o fator de segurança utilizado é de 1,5.
RESOLUÇÃO
ν
G = E
2.(1+ν)
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Calcular tensão térmica
INTRODUÇÃO
No estudo das tensões de origem térmica, é necessário compreender que a variação de
temperatura modifica as dimensões do corpo, seja aumentando ou diminuindo
Na Engenharia, dependendo das restrições de uma estrutura, o aumento ou a diminuição das
dimensões podem gerar tensões “extras” cuja origem se deve à mudança na temperatura. No
desenvolvimento de um projeto, dependendo da ordem de grandeza dessas tensões, não
devem ser ignoradas.
DILATAÇÃO TÉRMICA
No estudo microscópico dos materiais, é conhecido que os átomos que formam o material
oscilam. A medida desse grau de agitação é a temperatura. Quando esse grau é elevado,
significa que a energia cinética dos átomos é alta e colisões são mais prováveis, liberando
energia na modalidade de calor, o que eleva a temperatura do corpo macroscopicamente. De
maneira inversa, ocorre a diminuição da temperatura.
A fim de se encontrar uma expressão matemática que determine a variação na dimensão de
um corpo, será feita uma análise de que variáveis influenciam nessa mudança dimensional.
Inicialmente, serão tomadas como premissas que o material é homogêneo e que uma de suas
dimensões é muito maior que as outras duas (corpo unidimensional).
Observe na figura 10 uma barra metálica de comprimento L0 e que está em um ambiente em
que a temperatura é T0.
 Figura 10 - Barra de comprimento L0
A VARIAÇÃO DO COMPRIMENTO (ΔL) DA BARRA DEPENDE
DE TRÊS VARIÁVEIS: O SEU COMPRIMENTO INICIAL (L0), A
VARIAÇÃO DA TEMPERATURA (ΔT) E DO TIPO DE MATERIAL,
SENDO ESTA ÚLTIMA VARIÁVEL UMA CARACTERÍSTICA DO
MATERIAL DENOMINADA COEFICIENTE DE EXPANSÃO
TÉRMICA ( ).
Matematicamente, ΔL é diretamente proporcional às grandezas ΔT, L0 e , ou seja, pode ser
determinado pela equação 5 a seguir:
α
α
ΔL =  α.L0. ΔT
(Equação 5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe, na figura 11, uma situação em que uma barra tem seu comprimento aumentado em
ΔL, devido a um aumento da temperatura (ΔT)
 Figura 11 - Variação no comprimento de uma barra.
 ATENÇÃO
A unidade utilizada para o coeficiente de expansão térmica é 0C-1
EXEMPLO
Suponha uma barra de aço de comprimento 5 m engastada em uma parede. Às 2h da
madrugada, a temperatura ambiente é de 10 0C. Considerando o coeficiente de expansão
térmica do aço igual a 15.10-6 0C-1, determine a maior temperatura a que a barra pode ficar
submetida para não exercer força sobre a outra parede, uma vez que sua extremidade livre
está afastada 1,5 mm dessa parede. Observe a figura a seguir.
SOLUÇÃO
Para que a barra não exerça força sobre a parede, a máxima dilatação térmica que pode sofrer
equivale a 1,5 mm. A partir da equação 5 e dos valores apresentados no exemplo, temos:
 
Como , temos:
.
TENSÕES TÉRMICAS
No estudo das tensões térmicas, será utilizada uma simbologia diferente para a equação 5. A
variação no comprimento (ΔL) devido à variação da temperatura, será apresentada por δT.
Dessa forma, a equação 5 poderá ser reescrita como a equação 6.
ΔL =  α.L0. ΔT
1,5 =  15.10−6. 5000. ΔT
1 ,5=  75 .10−3.   Δ T
ΔT =   = 20 0C.
1,5
75.10−3
ΔT =  Tf − T0
20  =  Tf  –  10  →  Tf   =  30°C
(Equação 6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A relação apresentada na equação 6 é adequada para situações em que o material é
homogêneo (coeficiente de expansão térmica constante ao longo do comprimento da peça) e a
variação da temperatura é igual em toda a peça. Contudo, essas premissas nem sempre
podem ser adotadas na modelagem física do problema, principalmente em relação à variação
da temperatura que pode mudar ao longo do comprimento (ΔT (x)). Assim, a relação a ser
utilizada é a apresentada na equação 7.
(Equação 7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Perceba que se as premissas descritas no parágrafo anterior forem adotadas, a equação 7 se
apresentará como a equação 6. Note que se e ΔT (x) são constantes, a integral torna-se.
Em relação à tensão por ação de uma força externa sobre uma área, a visualização do
conceito é facilitada, pois os entes envolvidos são concretos (força e área). Contudo, quanto às
tensões térmicas, o “surgimento” destas é mais abstrato. A fim de que o entendimento seja
facilitado, será utilizado um exemplo.
A PARTIR DAS EXPRESSÕES DA LEI DE HOOKE ( ) E
DA DEFORMAÇÃO MÉDIA NORMAL , É POSSÍVEL
AFIRMAR QUE:
δT =  α.L0. ΔT
δT =   ∫
L
0
α. ΔT (x). dx
α
δT =  α. ΔT . ∫
L
0
dx →  δT =  α.  L0. ΔT
σ = E. ε
(εm = )ΔLL0
Para que seja entendida a origem da variação no comprimento, serão utilizados δT e δF. A
primeira tem origem na variação da temperatura e, a segunda, por ação de uma força.
Suponha uma barra metálica homogênea de comprimento L0, feita de material com coeficiente
de expansão térmica , seção reta constante de valor A engastada em duas paredes verticais,
conforme a figura 12.
 Figura 12: Barra duplamente engastada.
Inicialmente, a temperatura ambiente é T0 e sofre um acréscimo ΔT. Caso a extremidade B
estivesse sem restrição à translação da barra, o aumento no comprimento desta seria
calculada por .
Observe na figura 13 essa abstração.
 σ = E. →   = E. → ΔL =   → δF =
ΔL
L0
F
A
ΔL
L0
F .L0
A.E
F .L0
A.E
α
δT =  α.L0. ΔT
 Figura 13: Barra com acréscimo no comprimento devido à variação da temperatura.
De fato, esse aumento δT é só uma abstração, o ponto B não ocupará a posição B’, pois existe
a parede impedindo esse movimento. Dessa forma, o que ocorre é que a parede exerce uma
força impedindo o movimento de B. Na figura 14 é representada essa força e o deslocamento
de B’ para B, também de forma abstrata. Assim, de fato, a extremidade B da barra não se
desloca.
 Figura 14: Barra com decréscimo no comprimento devido à força exercida pela parede.
 ATENÇÃO
As variações mostradas nas figuras 13 e 14 são abstrações. De fato, elas não ocorrem. Os
seus módulos devem ser iguais para garantir que não ocorra movimento do ponto B.
Observe que nessas figuras existem dois sentidos. Será suposto que para a direita é positivo e,
para a esquerda, negativo. Desse modo, como a variação da posição de B é nula, é possível
escrever a equação da compatibilidade geométrica, ou seja:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas as variações no comprimento da barra devido à temperatura (ΔT) e a uma força externa
são determinadas, respectivamente, por e . Substituindo em (*)
temos a equação 8.
(Equação 8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando o L0 na equação 8, temos .
Porém, a partir da definição de tensão normal média ( ), a expressão anterior pode ser
escrita como .
Perceba, a partir da expressão, que caso não ocorra variação na temperatura, ou seja, se ΔT =
0, a tensão será nula. Assim, fica evidenciado que a origem dessa tensão é pela variação da
temperatura (tensões térmicas).
Para que a sequência algébrica apresentada anteriormente seja mais facilmente entendida,
será realizado um exemplo numérico.
δT   − δF   =  0
δT   = δF  (*)
δT =  α.L0. ΔT  δF =
F .L0
A.E
α.  L0. ΔT =  
F .L0
A.E
α . ΔT =   F
A.E
σm =  
F
A
σm = α.   Δ T .E
EXEMPLO
Suponha que uma barra cilíndrica de aço tenha coeficiente de expansão térmica igual a 15.10-6
0C-1, comprimento 1,5 m, área circular de diâmetro 12 mm e módulo de elasticidade E igual a
200 GPa. A barra apresenta-se engastada em duas paredes verticais e sem nenhuma tensão
atuando. A temperatura ambiente éde 200 C. Quando a temperatura ambiente for de 300 C,
determine a força que a parede exerce sobre a barra e a tensão térmica.
Inicialmente, deve-se notar que há restrições em A e B que não permitem a livre variação na
dimensão da barra. Assim, a equação de compatibilidade é dada por:
Substituindo e na equação da compatibilidade, temos:
A partir dos dados do exemplo,
 e .
Substituindo em (**), temos:
δT   − δF   = 0 → δT   =  δF
δT =  α.L0. ΔT  δF =
F .L0
A.E
α.  L0. ΔT =   (**)F .L0A.E
ΔT = 30 − 20 = 10∘C A = π.R2 → π. 0 ,0062= 1 ,13. 10−4 m2
15 .10−6  .  (1 ,5. 10) =   F .(1,5)
1,13.10−4 . (200.109)
15.10−6 .  10 =   F
1,13.10−4 . (200.109)
Como a tensão normal média é dada pela expressão , substituindo-se os valores de
F e A, temos:
 (compressiva)
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Entre duas partes de uma grande estrutura existe uma barra horizontal de 5 m de comprimento
engastada em uma dessas partes e afastada 2 mm da segunda parte nas condições de
temperatura de 20 0C. A barra é feita de aço com módulo de Young (E) de 200 GPa e
coeficiente de expansão térmica ( ) 1,20 . 10-5 0C-1. Qual a máxima variação de temperatura
para que a barra não exerça força sobre a parte 2 (ver figura)? Se a temperatura se elevar a 80
0C, qual a tensão de origem térmica na barra?
RESOLUÇÃO
15 .10−6  .  (10). (1 ,13. 10−4). 200. 109 =  F
F = 3.391,2 N
σm =  
F
A
σm =   → = 30 MPa
F
A
3.391,2 N
1,13.10−4 m2
α
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, estudamos o comportamento dos materiais sob a ação de cargas axiais,
considerando-os deformáveis. Mostramos os tipos de deformação: elástica (temporária) e
plástica (permanente).
Apresentamos o ensaio de tração em que a curva tensão x deformação é seu output. A partir
dessa curva, uma série de propriedades dos materiais podem ser determinadas, como o
módulo de elasticidade, a ductilidade, o limite de escoamento etc. Ademais, apresentamos uma
lei matemática (a Lei de Hooke) que rege o comportamento do material sob forças na região
linear do gráfico Tensão x Deformação. No último módulo, apresentamos o conceito e a origem
das tensões térmicas.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo, SP: Pearson,
1995.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
Sobre propriedades dos materiais, o capítulo 3 de Resistência dos Materiais, de R. C.
Hibbeler.
Sobre tensões térmicas, as páginas 106 a 110 de Resistência dos Materiais, de R. C.
Hibbeler.
CONTEUDISTA
Julio Cesar José Rodrigues Junior
 CURRÍCULO LATTES
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