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Universidade do Estado do Rio de Janeiro IME - Departamento de Análise Matemática Cálculo I e Cálculo Diferencial e Integral I - PAE 1/2020 Lista de exerćıcios da Aula 2 1. Diga se cada curva é ou não é um gráfico de uma função real de uma variável real em x. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 2. Encontre o domı́nio, imagem e esboce o gráfico das seguintes funções: (a) y = x3 + 8 x + 2 (b) y = |x2 − 1| x− 1 (c) y = { x2 + 1, se |x| < 2 1− 2x, se |x| ≥ 3 3. Estude o sinal das seguintes funções (a) g(x) = |x|+ 3 |x| − 3 (b) f(x) = x2 − |x + 2|+ |x| 1− x (c) h(x) = x2 + x + 1 4. Sejam f(x) = 3x2 + 2 e g(x) = 1 3x + 2 , determine as seguintes funções e seus respectivos domı́nios: (a) (f + g)(x) (b) (f(x))−1 (c) (g(x))−1 (d) (f · g)(x) (e) (f ◦ g)(x) (f) (g ◦ f)(x) (g) ( f g ) (x) (h) ( g f ) (x) 5. Seja f(x) = 3− x x . Determine: (a) f(x2)− (f(x))2 (b) f ( 1 x ) − 1 f(x) (c) (f ◦ f)(x) 6. Sejam f(x) = { −x, x < 0 x2, x > 0 e g(x) = { 1 x , x < 0 √ x, x > 0 , determine a expressão e o domı́nio das funções (f ◦ g)(x) e (g ◦ f)(x). 7. Verifique que Im(f) ⊂ Dom(g) e determine g ◦ f se: (a) f(x) = x + 2 e g(x) = 3x + 1 (b) f(x) = x2 + 3 e g(x) = x + 1 x− 1 (c) f(x) = 2x− 3 e g(x) = −x2 + 3x + 1 (d) f(x) = x + 1 e g(x) = 2 x− 2 (e) f(x) = x x + 1 e g(x) = x + 1 x− 1 8. Escreva h(x) como composta de duas outras funções: (a) h(x) = (x2 + 1)4 (b) h(x) = (x2 − 9)−2 9. Resolva, se posśıvel, a inequação x3 (x + 3)(x− 2) > 2x− x2 (x + 3)(x− 2) . 10. Em cada item, dê exemplos de funções f e g tais que (a) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) esteja bem definidas e que Dom(g ◦ f) 6= Dom(g) ∩Dom(f) (b) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) esteja bem definidas e que Dom(g ◦ f) 6= Im(f) ∩Dom(g) (c) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) esteja bem definidas e que Dom(g ◦ f) 6= Im(g) ∩Dom(f) (d) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) e (g · f)(x) = g(x) · f(x) estejam bem definidas e que g ◦ f 6= g · f 11. Um fazendeiro tem 1200 metros de cerca e deseja cercar um campo retangular que está a margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. (a) Determine a expressão algébrica da função área deste campo retangular em função apenas de um dos seus lados. (b) Determine o domı́nio desta função do item (a) em relação a este problema. (c) Esboce o gráfico desta função. (d) Determine as dimensões deste campo retangular nos quais a área será a maior posśıvel usando apenas estes 1200 metros de cerca. 12. (Retirada do livro ”Cálculo: Um curso moderno e suas aplicações”do Hoffmann, Bradley, Sobecki e Price) Nelson, o dono de uma pequena fábrica de móveis, calcula que se r cadeiras forem produzidas por hora, o custo por hora será C(r) reais, em que C(r) = r3 − 50r + 1 r + 1 Suponha que o ńıvel de produção é dado por r = 4 + 0, 3w, em que w é o salário por hora dos empregados. (a) Expresse o custo de produção como uma função composta do salário dos empregados. (b) Qual será o custo por hora se os empregados receberem 20 reais por hora? 13. Um industrial pode produzir rádios ao custo de 10 reais por peça e estima que se eles forem vendidos por um preço de x reais cada um, os consumidores comprariam aproximadamente (80−x) rádios por mês. (a) Expresse o lucro mensal do industrial como uma função do preço x. (b) Esboce a função. (c) Ache os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo x (eixo do preço de venda de cada rádio) e explique essas interseções em termos econômicos. (d) Determine a que preço que deve ser vendido cada rádio de modo que o lucro do industrial seria o maior posśıvel. 14. Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê. (a) Temos que |x2 − 1| = 1− x2 para todo x ∈ (−1, 1). (b) O domı́nio da função f(x) = 1 (2− x)2 contém o ponto x = 2. (c) O conjunto solução da equação x(x2 − 4x + 1) = x é S = {0, 4}. (d) O módulo de um número real negativo é um número negativo, pois |x| = −x se x < 0. (e) Temos que x2 − 1 x− 1 = x + 1 para todo x ∈ R. (f) Temos que |x2 − 4x + 3| = { x2 − 4x + 3 se x > 0 −(x2 − 4x + 3) se x < 0 . (g) O conjunto solução da equação x2(x2 − 4) = x(x− 2) é S = {−2, 0}. (h) Temos que x3 − y3 x− y > 0 para todo x 6= y números reais. (i) Fazendo a divisão de polinômios obtemos que x5 + 6x3 + 2x2 + 4x + 4 x4 + 4x2 = x+ 2x3 + 2x2 + 4x + 4 x4 + 4x2 . (j) A divisão de u2 por 1 + u2 tem quociente 1 e resto −1 e portanto podemos escrever u 2 1 + u2 = 1− 1 1 + u2 . (k) Para toda função f e g onde f ◦ g e f · g estão bem definidas, tem-se que f ◦ g = f · g. (l) Se f(x) = 1 x e g(x) = x temos que (f · g)(x) = 1 e Dom(f · g) = R. (m) Sejam f(x) = x4 e g(x) = x6, então Dom(f ◦g) = [0,+∞), pois Img = [0,+∞) e Dom(f) = R. (n) Os pontos de interseção de todos os elementos da famı́lia y = x2n,∀n ∈ N, são (−1, 1), (0, 0) e (1, 1).