Cálculo de Integrais de Linha

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1 
 
Integral de linha pelo segmento da reta y = x da origem ate o poento (2,2) (Figura 3). 
 
Sol. 
 
 
 
 
Fig.3 
 
Fig.4 
 
 2 
 
Calcular integral de linha , onde C é parte do círculo 
. 
 
Sol. 
 
 
 
 3 
 
, C é a curva dada pela equação: 
 . 
 
Sol. x=t y=ln t = ln x, podemos usar x em vez de t, pois são iguais: 
 
temos: 
 
logo, 
 
 4 
 
integral C é o segmento de O(0,0) a A(1,2) (Figura 4 mais p/cima). 
 
Sol. 
Equação da reta OA: 
 
Novamente x=t, podemos trabalhar com x ou t indistintamente: 
 
logo 
 
 5 
Calcule a integral , onde a curva C é parametrizada por 
 . 
 
Sol. 
 
logo 
 
Integrais de linha de campos vetoriais: 
 1 
 
 na curva C parameterizada por: 
 . 
 
Sol. 
formula 
 
logo: 
 
 2 
 
pela curva C definida pela equação da origem (0,0) ao ponto (2,8). 
 
Sol. 
formula 
 
Substituindo e obtemos: 
 
 3 
 
Calcule ao longo da curva de O (0,0) a A (1,1) (Figura 3 abaixo). 
 
Sol. 
formula 
 
Substituindo e : 
 
 4 
 
 curva do ponto O (0,0) ao ponto A (1,1) (Figura 3). 
 
Sol. 
Se , então pela formula 
 
Obtemos: 
 
 
 
 
Fig.3 
 
Fig.4 
 
 5 
 
Calcule curva no intervalo (Figura 4 acima). 
 
Sol. 
como , então a diferencial é . Pela formula 
 
Achamos a solução: 
 
 6 
 
, onde C é a parte do circulo do 1º quadrante, sentido anti-horário. (Figura 5 abaixo). 
 
Sol. 
O arco do circulo é descrito pela função , onde a é o raio. 
 
Entao a diferencial é 
 
Por ser anti-horário, a ordem é de a até 0. Logo, 
 
 
 
Fig.5 
 
 
Caminhos 
1 
 
em 2 caminhos de integração: 
1) AB segmento de A (0,0) a B (1,1); 
2) AB parábola de A (0,0) a B (1,1). 
 
Sol. 
1. A equação da reta é y = x. sabemos que: 
 
Logo: 
 
2. AB parábola , temos 
 
Mesma resposta! 
 
Aplicando o teste 
 para determinar se o campo é conservativo:. 
 
O campo 
 é conservativo. Isso explica que a integral é independente do caminho. 
 2 
 
Mostre que é independente do caminho e calcule a integral. 
As coordenadas dos pontos A, B são A (1,2), B (4,5). 
 
Sol. 
Como as componentes do campo vetorial 
 
E suas derivadas parciais 
 
são contínuos, e o teste é satisfeito, concluímos que o campo 
 é conservativo, 
logo, a integral é independente de caminho. Cálculo da integral: observe que 
 
O potencial escalar é . Pela formula : 
 
Achamos a integral: 
 
 3 
 
Determine se o campo vetorial 
 é conservativo? Se sim, ache o potencial. 
 
Sol. 
Os componentes do campo são: 
 . 
 
Logo, é conservativo. 
 
para achar seu potencial, primeiro integramos 
 com rel. a x. 
 
determinamos C(y) fazendo igual a Q (x,y). 
 
logo, . Então, 
 
O potencial é 
 
 
Aplicações: 
1 
 
Encontre o comprimento do arco da curva plana para . 
 
Sol. 
Podemos escrever a função como 
 ou 
 . como y ≥ 0, só interessa o positivo. 
 (Figura 3 abaixo). O comprimento do arco é: 
 
 
 
 
Fig.3 
 
Fig.4 
 
 2 
 
Ache o comprimento do astróide 
 . 
 
Sol. 
Figura 4. por simetria, podemos calcular só o 1º quadrante e depois multiplicar por 4. 
A equação no 1º quadrante é: 
 onde 
 
Logo, 
 
Então, 
 
O comprimento é: 
 
 
 3 
 
Ache o comprimento da curva espacial 
 , onde . 
 
Sol. 
 
 
Temos: