Materiais-Matematica-08-20

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CURSO PREPATÓRIO ALCANCE UFPR 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL 
 
Matemática e suas tecnologias 
Ensino Médio e Pré-Vestibular 
Por Oberdan Boychiko e Santiru Crisóstomo 
 
 
 
1. FUNÇÕES 
1.1 Definição 
Dados dois conjuntos não vazios, A 
e B, função ou aplicação é uma 
relação de A em B tal que, para 
todo x pertencente a A, existe um 
único y pertencente a B em 
correspondência. 
1.2 Gráfico de funções 
Quando trabalhamos com funções, a 
construção de gráficos é de extrema 
importância, não só na matemática 
como nos diversos ramos de 
estudos. Podemos dizer que assim 
como vemos nossa imagem refletida 
no espelho, o gráfico de uma função 
é o seu reflexo. Através do gráfico, 
podemos definir de que tipo é a 
função mesmo sem saber qual é a 
sua lei de formação. Isso porque 
cada função tem sua representação 
gráfica particular. 
1.3 Domínio e imagem de 
funções 
Dizemos que o gráfico de uma 
função é o conjunto definido por 
todos os pares ordenados (x, f (x)) 
tais que x está no domínio de f. Ou 
seja, domínio de uma função são 
todos os valores que a função 
assume no eixo x. Imagem de uma 
função são os valores que y assume em 
relação ao x. Para que seja uma função, 
cada valor de x deve possuir apenas um 
valor de y. 
 
 
 
 
 
1.3 Máximos e Mínimos de 
Funções 
Seja c um número no domínio D de 
uma função f. Então f (c) é o 
■ valor máximo absoluto de f em D 
se f(c) ≥ f(x) para todo x em D. 
■ valor mínimo absoluto de f em D 
se f(c) ≤ f(x) para todo x em D. 
Exemplo: 
Vemos que o ponto mais alto no 
gráfico da função f mostrado na 
Figura 1 é o ponto (3, 5). Em outras 
palavras, o maior valor de f é f(3)=5. 
Da mesma forma, o menor valor é 
f(6)=2. Dizemos que f(3)=5 é o 
máximo absoluto de f e f(6)=2 é o 
mínimo absoluto. Em geral, usamos 
a seguinte definição. 
 
 
 
 
Um máximo ou mínimo absoluto às 
vezes é chamado de máximo ou 
mínimo global. Os valores máximos 
e mínimos de f são chamados de 
valores extremos de f. 
A Figura 2 mostra um gráfico de uma 
função f com máximo absoluto em d 
e mínimo absoluto em a. Observe 
que (d, f (d)) é o ponto mais alto no 
gráfico e (a, f (a)) é o menor ponto. 
Na Figura 2, se considerarmos 
apenas os valores de x próximos 
b[por exemplo, se restringirmos 
nossa atenção ao intervalo (a, c), 
então f(b) é o maior destes valores 
de f(x) e é chamado de valor máximo 
local de f. Da mesma forma, f(c) é 
chamado de valor mínimo local de f, 
pois para x próximo de c[no 
intervalo (b, d), por exemplo]. A 
função f também tem um mínimo 
local em e. 
 
 
 
 
 
 
CURSO PREPATÓRIO ALCANCE UFPR 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
CAMPUS AVANÇADO DE JANDAIA DO SUL 
 
Matemática e suas tecnologias 
Ensino Médio e Pré-Vestibular 
Por Oberdan Boychiko e Santiru Crisóstomo 
 
 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
QUESTÃO 1 - Em uma apresentação aérea de acrobacias, um avião a jato descreve um arco no formato de uma parábola 
de acordo com a seguinte função y = –x² + 60x. Determine a altura máxima atingida pelo avião. 
 R: 
 Parábola com concavidade voltada para baixo 
 Coeficientes da função a= -1, b= 60, c=0 
�� = −
Δ
4�
= −
�� − 4��
4�
=
(60)� 4(−1)(0)
4(−1)
→ �� =
3600
−4
= 900 
**A altura máxima atingida pelo avião é de 900 metros** 
QUESTÃO 2 - Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = X2 – 80X + 
3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para 
que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo. 
 R: 
 Parábola com concavidade voltada para cima 
 Coeficientes da função a= 1, b= -80, c=3000 
Quantidade de unidades vendidas para que o custo seja mínimo, é dada por: 
�� = −
�
2�
 → −
(−80)
2(1)
 =
80
2
 = 40 
**Para que o custo seja mínimo, a empresa deve produzir somente 40 uni de produtos. ** 
QUESTÃO 3 - Após várias experiências em laboratório, observou-se que a concentração de certo antibiótico, no sangue de cobaias, 
varia de acordo com a função � = 12� − 2��, em que x é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. Nessas condições, 
determine o tempo necessário para que o antibiótico atinja nível máximo de concentração no sangue dessas cobaias. 
R: 
 Parábola voltada para baixo 
 Coeficientes da função: a=-2, b=12, c=0 
 
�� = −
�
2�
 → �� = −
12
2(−2)
 → �� = −
12
−4
 → �� = 3 
**O tempo necessário é de 3 horas** 
QUESTÃO 4 - De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L= R-C, onde L é o 
lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma indústria de peças automotivas produziu x unidades e verificou que o custo 
da produção era dado pela função C(x) = x2 – 2000x e a receita representada por R(x) = 6000x – x2. Com base nessas informações, 
determine o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo. 
� = � − � 
� = 6000 − �� − (�� − 2000�) 
� = 6000 − �� − �� + 2000� 
� = −2�� + 8000� 
 
 Coeficientes: a = -2, b = 8000, c = 0 
 Número de peças produzidas com lucro máximo 
 
�� = −
8000
2(−2)
 → �� = −
8000
−4
 → �� = 2000 
 
**Para que o lucro seja máximo, deve-se fabricar 2000 peças**
 
 
 
 
 
	1. FUNÇÕES
	1.1 Definição
	1.2 Gráfico de funções
	1.3 Domínio e imagem de funções
	1.3 Máximos e Mínimos de Funções