Matemática Fundamental

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FACULDADE ÚNICA 
DE IPATINGA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Rosiene de Fátima Corrêa Ruiz Castro 
 
Mestra em Modelagem Matemática e Computacional pelo Centro Federal de Educação 
Tecnológica de Minas Gerais (CEFET-MG) (2009). É especialista em Geometria pela 
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) (2005) e em Ensino de Matemática pela 
Faculdade Futura (2019). Possui graduação em Matemática pela Pontifícia Universidade 
Católica de Minas Gerais (PUC/MG) (2002). É professora do ensino superior da Universidade 
Estadual de Minas Gerais(UEMG), lecionando nas engenharias e nos cursos de licenciatura 
em Matemática e Pedagogia e no ensino fundamental da rede Municipal de Belo 
Horizonte. Colaboradora do Currículo Referência de Minas Gerais (2018). Em 2018 foi 
formadora regional do Programa Nacional de Educação na Idade Certa (PNAIC). 
Pesquisadora em novas metodologias para o Ensino de Matemática, as competências 
computacionais no currículo, formação de professores e no estudo de pavimentações no 
plano e suas aplicações. 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA II 
 
1ª edição 
Ipatinga – MG 
2021 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FACULDADE ÚNICA EDITORIAL 
 
Diretor Geral: Valdir Henrique Valério 
Diretor Executivo: William José Ferreira 
Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Cristiane Lelis dos Santos 
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Gilvânia Barcelos Dias Teixeira 
Revisão Gramatical e Ortográfica: Izabel Cristina da Costa 
Revisão/Diagramação/Estruturação: Bárbara Carla Amorim O. Silva 
 Bruna Luiza Mendes Leite 
 Carla Jordânia G. de Souza 
 Guilherme Prado Salles 
 Rubens Henrique L. de Oliveira 
Design: Brayan Lazarino Santos 
 Élen Cristina Teixeira Oliveira 
 Maria Luiza Filgueiras 
 Taisser Gustavo de Soares Duarte 
 
 
 
 
 
© 2021, Faculdade Única. 
 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autorização 
escrita do Editor. 
 
 
 
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920. 
 
 
 
 
 
NEaD – Núcleo de Educação a Distância FACULDADE ÚNICA 
Rua Salermo, 299 
Anexo 03 – Bairro Bethânia – CEP: 35164-779 – Ipatinga/MG 
Tel (31) 2109 -2300 – 0800 724 2300 
www.faculdadeunica.com.br
http://www.faculdadeunica.com.br/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Menu de Ícones 
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo 
aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. Eles 
são para chamar a sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada um 
com uma função específica, mostradas a seguir: 
 
 
 
São sugestões de links para vídeos, documentos científico 
(artigos, monografias, dissertações e teses), sites ou links das 
Bibliotecas Virtuais (Minha Biblioteca e Biblioteca Pearson) 
relacionados com o conteúdo abordado. 
 
Trata-se dos conceitos, definições ou afirmações 
importantes nas quais você deve ter um maior grau de 
atenção! 
 
São exercícios de fixação do conteúdo abordado em cada 
unidade do livro. 
 
São para o esclarecimento do significado de determinados 
termos/palavras mostradas ao longo do livro. 
 
Este espaço é destinado para a reflexão sobre questões 
citadas em cada unidade, associando-o a suas ações, seja 
no ambiente profissional ou em seu cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
SUMÁRIO 
 
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO ................................................................... 8 
1.1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................... 8 
1.2 ARCOS E ÂNGULOS ................................................................................................ 8 
1.2.1 Unidades de medidas de arco .................................................................... 9 
1.3 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO ............................................................................... 10 
1.3.1 Arcos côngruos .............................................................................................. 11 
1.4 RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO ........................................... 12 
1.5 TEOREMA DE PITÁGORAS ..................................................................................... 12 
1.5.1 Outras Relações Métricas do Triângulo Retângulo ................................ 16 
1.6 TRIGONOMETRIA NOS TRIÂNGULOS ................................................................... 17 
1.6.1 Razões Trigonométricas de um Ângulo Agudo ....................................... 18 
1.6.2 Identidades Trigonométricas....................................................................... 18 
1.6.3 Relação Trigonométrica Fundamental ..................................................... 19 
1.6.4 Tabela Trigonométrica ................................................................................. 20 
1.7 SENO E COSSENO DE ÂNGULOS ......................................................................... 22 
1.7.1 Cálculo do seno, cosseno e da tangente na calculadora científica 22 
1.8 LEI DOS COSSENOS .............................................................................................. 23 
1.9 LEI DOS SENOS ...................................................................................................... 24 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 25 
FUNÇÃO .................................................................................................. 28 
2.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 28 
2.1.1 Representação de uma Função ............................................................... 29 
2.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO ................................................... 30 
2.2.1 Domínio e Imagem ....................................................................................... 31 
2.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU ....................................................... 39 
2.4 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ................................................................... 44 
2.5 FUNÇÃO POTÊNCIA ............................................................................................. 48 
2.6 FUNÇÃO EXPONENCIAL ...................................................................................... 49 
2.7 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS.................................................................................... 53 
2.7.1 Função logarítmica....................................................................................... 57 
2.8 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................. 57 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 60 
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS E PROGRESSÕES .......................................... 63 
3.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 63 
3.2 SEQUÊNCIA NUMÉRICA........................................................................................ 63 
3.3 PROGRESSÃO ARITMÉTICA .................................................................................. 67 
3.4 INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA ............................................................................... 70 
3.5 SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A ........................................................................ 71 
3.6 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) ....................................................................... 72 
3.7 INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA ............................................................................ 75 
3.8 SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G INFINITA .........................................................
78 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 79 
ANÁLISE COMBINATÓRIA ....................................................................... 82 
4.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 82 
4.2 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM ........................................................ 83 
4.3 FATORIAL ............................................................................................................... 84 
4.4 ARRANJO .............................................................................................................. 85 
4.5 ARRANJO COM REPETIÇÃO ................................................................................ 87 
4.6 PERMUTAÇÃO ....................................................................................................... 87 
4.7 PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO ......................................................................... 89 
UNIDADE 
01 
UNIDADE 
02 
UNIDADE 
03 
UNIDADE 
04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
4.8 COMBINAÇÃO SIMPLES ...................................................................................... 90 
4.9 COMBINAÇÕES COMPLEMENTARES ................................................................... 91 
4.10 COMBINAÇÕES COMPLETAS ............................................................................... 91 
FIXANDO O CONTEÚDO ...................................................................................... 94 
BINÔMIO DE NEWTON ............................................................................ 97 
5.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................ 97 
5.2 NÚMEROS BINOMIAIS ........................................................................................... 97 
5.3 SOMATÓRIO .......................................................................................................... 98 
5.4 PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL....................................................... 98 
5.5 RELAÇÃO DE STIFFEL ........................................................................................... 101 
5.6 BINÔMIO DE NEWTON ........................................................................................ 102 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................... 106 
PROBABILIDADE .................................................................................... 109 
6.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 109 
6.2 EVENTOS .............................................................................................................. 111 
6.2.1 Tipos de Eventos ......................................................................................... 112 
6.3 COMBINAÇÕES DE EVENTOS............................................................................. 112 
6.4 PROBABILIDADE COM REUNIÃO E INTERSECÇÃO ............................................ 116 
6.5 PROBABILIDADE CONDICIONAL ....................................................................... 117 
6.6 EVENTOS INDEPENDENTES .................................................................................. 118 
FIXANDO O CONTEÚDO .................................................................................... 121 
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO ............................................. 124 
REFERÊNCIAS ......................................................................................... 125 
 
 
UNIDADE 
05 
UNIDADE 
06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
CONFIRA NO LIVRO 
 
Nessa unidade vamos tratar dos assuntos relacionados ao círculo 
trigonométrico e as relações métricas do triângulo retângulo, bem 
como suas aplicações. 
Esta unidade possibilitará ao estudante uma análise das funções 
polinomiais, exponencial, logarítmica e trigonométrica, bem como 
um estudo gráfico e algébrico e manuseio dessas funções tão 
necessárias a resolução de problemas. 
 
 
Sequências Numéricas 
Nessa unidade vamos estudar os padrões numéricos, as progressões 
aritméticas e a geométrica suas propriedades e aplicações. 
Análise Combinatória 
É a parte da matemática que trata dos problemas de contagem, 
nessa unidade vamos aprender métodos para contar o número de 
elementos de um conjunto e suas combinações. 
 
 
Binômio de Newton 
Nessa unidade será apresentado o cálculo para o desenvolvimento 
de um binômio. Além disso, estabelecer a relação entre o triângulo 
de Pascal e os coeficientes do binômio na sua forma expandida 
Probabilidade 
Nesta parte vamos iniciar a Estatística Inferencial e o cálculo da 
probabilidade de ocorrência de um fenômeno, muito importante 
para análise dos resultados de uma pesquisa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 
 
 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
Nesta unidade, estudaremos as relações métricas e trigonométricas no 
triângulo retângulo, que são resultados obtidos da semelhança entre triângulos. Com 
base nessas relações, vamos deduzir uma das fórmulas mais famosas da 
Matemática, o teorema de Pitágoras. 
Esta é uma parte da Matemática com aplicação nas diversas áreas do 
trabalho e na resolução de problemas que se apresentam nas atividades do mundo, 
como nas Engenharias, na Arquitetura, nas Artes Plásticas, na Medicina e nas 
diversas tecnologias. 
Para além, é um dos temas mais conhecidos e manipulados por pessoas 
comuns, tais como: costureiros, ferreiros, tecelões, marceneiros, pedreiros entre 
outros profissionais e dos apreciadores do conhecimento matemático. Neste 
módulo, conheceremos essas relações e suas aplicações. 
 
1.2 ARCOS E ÂNGULOS 
Seja o arco AB de uma circunferência de centro O. Por definição, a medida 
do arco AB é a mesma do ângulo central A�̂�𝐵. 
 
Figura 1: Medida do arco AB 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
 
UNIDADE 
01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
1.2.1 Unidades de medidas de arco 
As mais usuais são: 
 
 Grau (º): é o ângulo formado por uma das partes em que uma circunferência 
fica dividida por 360, ou seja 1° = 
1
360
 . 
 Radiano (rad): é o ângulo formado por um comprimento de raio igual ao da 
circunferência. 
 
Figura 2: Arco em Radianos 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
Comprimento da circunferência é, então, 360° = 2𝜋𝑟𝑎𝑑, logo: 180° = 𝜋𝑟𝑎𝑑 e 
𝜋 ≅ 3,14. 
Quando não se escreve a unidade do ângulo ou arco, por predefinição, a 
unidade de medida é o radiano. 
 
Exemplo 1: 
 Converter: 30° em radianos; basta fazer uma regra de três e aplicar a 
a) propriedade fundamental da proporção (1): 
30
180
= 
𝑥
𝜋𝑟𝑎𝑑
 ⇒ 𝑥 =
30 ∙ 𝜋𝑟𝑎𝑑
180
=
𝜋𝑟𝑎𝑑
6
(1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
b) Converter 
7𝜋
15
 em graus (2): 
7𝜋
15
 𝑟𝑎𝑑
𝜋𝑟𝑎𝑑
= 
𝑥
180
 ⇒ 𝑥 =
7𝜋𝑟𝑎𝑑
15
∙ 180
𝜋𝑟𝑎𝑑
= 84° (2) 
 
1.3 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 
Dado um círculo de raio unitário e centro 𝑂, e um sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais 𝑥�̂�𝑦, coincidindo o centro da circunferência com a origem 
do sistema de coordenadas definimos o círculo trigonométrico cujo sentido positivo 
é anti-horário e toma a forma: 
 
 
 
 
 
A circunferência fica dividida em 4 regiões denominadas de quadrantes e 
numeradas a partir da parte positiva do eixo 𝑥, conforme a figura 4. 
Os quadrantes do círculo trigonométrico apresentam as seguintes 
extremidades em radianos ou o equivalente em graus: 
 
Figura 5: Extremidade dos Quadrantes 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
Figura 3: Círculo trigonométrico Figura 4: Quadrantes 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
Um arco de medida 𝛼 será limitado por pontos que denotamos de 
extremidades do arco. Um
dos pontos pode ser obtido percorrendo a circunferência 
a partir da origem, no sentido anti-horário, se 𝛼 for positivo, e no sentido horário se 
𝛼 for negativo, de acordo com as figuras. 
 
 
 
Observe na figura abaixo os arcos com extremidades nos pontos 𝑃1 e 𝑃2. 
É comum o uso da letra grega minúscula para nomear um arco/ângulo. 
Observe que a extremidade do arco de 120° ou 
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 é 𝑃1 e 𝑃2 é a extremidade do 
arco 45° ou 
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑. 
 
1.3.1 Arcos côngruos 
São arcos que tem a mesma extremidade e diferem apenas pelo número de 
voltas inteiras, por exemplo: Os arcos 𝛼, 𝛽 e 𝛾 são côngruos se: 
 𝛼 = 70°, 𝛽 = 430° e 𝛾 = 790°; 𝛽 = 360° + 70° uma volta mais 70°; 𝛾 = 2 ∙ 360° +
70° que corresponde a duas voltas mais 70°; 
Denomina-se primeira determinação positiva de um arco à medida 𝛼 do arco 
côngruo a ele, tal que 0 ≤ 𝛼 < 360° ou 0 ≤ 𝛼 < 2𝜋𝑟𝑎𝑑. 
 
Exemplo 2: 
Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos 
côngruos ao arco de 1910°. 
Solução: 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
Figura 6: Sentido do Arco Figura 7: Arco Positivo e Negativo 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 1910 ÷ 360 = 5 𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 110. Isto quer dizer que foram dadas 5 voltas 
completas e um arco de volta igual a 110°. Logo a 1ª determinação positiva é 
110°. A expressão geral é dada por: 𝛼 = 110° + 𝑘 ∙ 360°, 𝑘 ∈ ℤ. 
A medida de um ângulo 𝛼 pode ser obtida pela equação (3): 
𝛼 =
ℓ
𝑟
 (3) 
Em que ℓ: comprimento do arco e 𝑟: raio da circunferência. 
Sabendo que o comprimento da circunferência é dado pela relação e 
corresponde a uma volta de 360° ou 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 (4): 
𝐶𝐶 = 2𝜋𝑟 (4) 
 
Como cada arco trigonométrico tem como extremidade um único ponto na 
circunferência, é comum indicar o arco por esse ponto, então, a cada número real 
𝑥 associamos um único ponto na circunferência e esse ponto é a imagem de 𝑥 no 
círculo trigonométrico. 
 
1.4 RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
O triângulo retângulo esteve presente nas mais diversas culturas e desde a 
antiguidade podemos observar os mosaicos dos egípcios, o uso como medidas pelos 
babilônios para cálculos astronômicos e, entre outras civilizações, tem-se registro do 
triângulo retângulo no papiro de Rhind de aproximadamente, 1700 anos A.C.. 
O triângulo retângulo possui um ângulo reto, ou seja, um ângulo de medida 
igual a (90º) e por esse motivo recebe o nome de triângulo retângulo. Seus lados têm 
nomes especiais, o lado oposto ao ângulo de 90°, o maior lado do triângulo, é 
chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos. O famoso 
teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados do triângulo retângulo. 
 
1.5 TEOREMA DE PITÁGORAS 
Um pouco de História.... 
Pitágoras foi um filósofo e geômetra grego, nascido na ilha de Samos, por 
volta do ano 580 a.C. Fundador da famosa escola pitagórica, que era um centro de 
estudo de Filosofia, Matemática, Astronomia e Música. Esse grupo intitulado os 
pitagóricos tinha um comportamento misterioso e secreto e deram relevantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
contribuições para as ciências e a música. Atribui-se aos Pitagóricos a descoberta 
dos números irracionais, o surgimento da raiz quadrada e a escala de tons musicais 
e a Pitágoras a descoberta da relação entre as medidas dos lados de um de um 
triângulo retângulo, o famoso teorema de Pitágoras, possivelmente, é o resultado 
matemático mais conhecido do mundo, com aplicação nos diversos ramos do 
conhecimento, como na Geometria, na Trigonometria, na Física, na Engenharia, na 
Arquitetura, nas Artes Plásticas e em muitas outras áreas. Ainda tem-se apresentado 
como uns dos teoremas mais demonstrados da história por pessoas comuns 
utilizando caminhos diferentes. 
 
 
 
Esse teorema costuma ser enunciado da seguinte maneira: 
 
 Em um triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados das medidas dos catetos (5) 
ℎ2 = 𝑎2 + 𝑏2 (5) 
 Considere o triângulo retângulo cuja medida dos catetos é 𝑎 e 𝑏 e a medida 
da hipotenusa é ℎ. 
 
 
Pense uma demonstração para o teorema de Pitágoras! 
Figura 8: Elementos do triângulo 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
Figura 9: Teorema de Pitágoras 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
https://bit.ly/3BloU46
https://bit.ly/3BjkURA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
Exemplo 3: 
Considere um quadrado ABCD cujo lado mede ℓ e a diagonal com medida 
𝑑. Determine a relação entre a diagonal 𝑑 e o lado ℓ. 
Solução: considerando o triângulo retângulo ABC e aplicando o teorema 
de Pitágoras, obtemos (6): 
 
𝑑2 = ℓ2 + ℓ2 
 𝑑2 = 2ℓ2 ⇒ 𝑑 = √2ℓ2(6) 
𝑑 = ℓ√2 
 
 
 
 
Vimos que o teorema de Pitágoras calcula a diagonal de um quadrado de 
lado ℓ. E vários outros elementos da geometria plana e espacial. 
 
 
 
Qual a relação que expressa a altura de um triângulo equilátero de lado l? E como ficaria 
a altura de um cone reto, cuja a base é uma circunferência de raio r e o segmento de 
reta que tem extremidades o vértice do cone e um ponto da circunferência da base é a 
geratriz, representada por g. 
 
Figura 10: Quadrado ABCD 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
Exemplo 4: 
Dois ciclistas A e B partem em sentidos diferentes: o primeiro para o norte e 
o segundo para o leste, o ciclista A com velocidade constante de 30 Km/h e o 
ciclista B com velocidade constante de 40 Km/h. Qual será a distância entre eles 
após 6 horas? 
Solução: 
Velocidade do ciclista A (7): 
𝑽𝑨 = 𝟑𝟎 𝒌𝒎/𝒉 
𝑽𝑩 = 𝟒𝟎 𝒌𝒎/𝒉(𝟕) 
𝒕 = 𝟔 𝒉 
Vamos supor que tenhamos um terceiro ciclista 𝐶 que após 6 horas 
encontre o ciclista A e caminha na direção do ciclista B, quando este atinge 6 
horas também, então obtemos a velocidade do ciclista 𝐶 pelo teorema de 
Pitágoras, de acordo com o esquema (8). 
 
𝐕𝐂
𝟐 = 𝐕𝐀
𝟐 + 𝐕𝐁
𝟐 
𝐕𝐂
𝟐 = 𝟑𝟎𝟐 + 𝟒𝟎𝟐 
𝐕𝐂
𝟐 = 𝟗𝟎𝟎 + 𝟏𝟔𝟎𝟎(8) 
𝐕𝐂
𝟐 = 𝟐𝟓𝟎𝟎 
𝐕𝐂 = √𝟐𝟓𝟎𝟎 
𝐕𝐂 = 𝟓𝟎 𝐤𝐦/𝐡 
 
Para o cálculo da 
distância utiliza-se: 
𝑑 = 𝑣. 𝑡 , 
então temos (9): 
 
𝐝𝐂 = 𝟓𝟎. 𝟔 
𝐝𝐂 = 𝟑𝟎𝟎 𝐤𝐦 (𝟗) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
Uma outra maneira de resolver o problema é calcular as distâncias dos ciclistas 
e em seguida aplicar o teorema de Pitágoras, lembrando que, além do teorema de 
Pitágoras, existem outras equações métricas entre os elementos de um triângulo 
retângulo, veremos na sequência. 
 
1.5.1 Outras Relações Métricas do Triângulo Retângulo 
Considere o triângulo retângulo de vértices ABC, o ângulo de vértice 𝐴 
medindo 90° e ℎ a altura relativa a hipotenusa 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ . Ainda, considere os segmentos 𝑚 
e 𝑛 como sendo a projeção dos catetos 𝑏 e 𝑐, respectivamente, sobre a hipotenusa 
de medida 𝑎. 
 
Figura 11: Projeções dos catetos e altura do triângulo retângulo 
 
Fonte : Elaborado pelo Autor (2021) 
 
As quatros relações podem ser demonstradas a partir da semelhança de 
triângulos, sabendo que em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa 
divide o triângulo dado em dois outros triângulos retângulos, semelhantes entre si e 
semelhantes ao triângulo retângulo original, dessa maneira definimos (10): 
 
𝒃𝟐 = 𝒂 ∙ 𝒎 
𝒄𝟐 = 𝒂 ∙ 𝒏 (10) 
𝒉𝟐 = 𝒎 ∙ 𝒏 
𝒃 ∙ 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒉 
 
 
 
https://bit.ly/3BoBeAE
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
1.6 TRIGONOMETRIA NOS TRIÂNGULOS 
O termo trigonometria está associado ao triângulo e suas medidas, palavra de 
origem grega em que: tri = três, gono = ângulos/lados e metria = medidas. 
A medida trigonométrica surgiu 300 a.C entre os gregos para resolver 
problemas de astronomia. Por volta do ano de 150 d.C há registros do seu uso nos 
mapas de Ptolemaios onde a trigonometria aparece para o cálculo de latitude e 
longitude. Em seguida há registros da utilização das relações trigonométrica nos 
estudos astrológicos
na Índia, mas foi desenvolvida mesmo pelos Islâmicos, no ano de 
800 aplicada na cartografia e na astronomia e com os Portugueses é aplicada nas 
navegações com um forte valor econômico e se constituiu numa ferramenta muito 
importante para a evolução da Matemática e para resolução de problemas como 
a determinação de alturas e distâncias, por exemplo: o cálculo da altura do espigão, 
um edifício que fica no bairro caiçara em BH, ou ainda, a largura da lagoa da 
Pampulha, o nivelamento da calçada com a inclinação da rua entre outras 
aplicações do cotidiano. 
 
Exemplo 5: 
 Determine as medidas dos catetos, a hipotenusa e a altura 𝐻. 
𝑩𝑪 = 𝒁: Hipotenusa (11) 
𝒁 = 𝟏, 𝟖 + 𝟑, 𝟐 = 𝟓𝒄𝒎 (11) 
𝒙:cateto (12) 
𝒃𝟐 = 𝒂 ∙ 𝒎 
𝒙𝟐 = 𝟓 ∙ 𝟏, 𝟖 
𝒙𝟐 = 𝟗(12) 
𝒙 = √𝟗 
𝒙 = 𝟑 𝒄𝒎 
𝒚:cateto (13) 
𝒄𝟐 = 𝒂 ∙ 𝒏 
𝒚𝟐 = 𝟓 ∙ 𝟑, 𝟐 
𝒚𝟐 = 𝟏𝟔(13) 
𝒚 = √𝟏𝟔 
𝒚 = 𝟒 𝒄𝒎 
𝑯: altura (14) 
𝑯𝟐 = 𝒎 ∙ 𝒏 
𝑯𝟐 = 𝟏, 𝟖 ∙ 𝟑, 𝟐 
𝑯𝟐 = 𝟓, 𝟕𝟔(14) 
𝑯 = √𝟓, 𝟕𝟔 
𝑯 = 𝟐, 𝟒 𝒄𝒎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
1.6.1 Razões Trigonométricas de um Ângulo Agudo 
Considere o círculo trigonométrico abaixo, o ângulo de medida 𝜃 e raio 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ , 
definimos os elementos: 
ΔOAB: triângulo retângulo em B. 
𝑂𝐴̅̅ ̅̅ : raio/hipotenusa 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ : cateto oposto 
𝑂𝐵̅̅ ̅̅ : cateto adjacente 
 
 
 
A projeção do raio 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ sobre o eixo das abcissas (x) define 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ , então a razão 
entre 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ é igual ao seno de 𝜃. 
A projeção do raio 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ sobre o eixo das ordenadas (y) define 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , então a razão 
entre 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ e 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ é igual ao cosseno de 𝜃. 
E a razão entre 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ determina a tangente de 𝜃. 
Podemos escrever (15): 
 
𝒔𝒆𝒏 𝜽 =
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
 𝑻𝒈 𝜽 =
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
𝒎𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒐 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
 (15) 
 
1.6.2 Identidades Trigonométricas 
Uma identidade é uma igualdade, que é sempre verdadeira, independente 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
Figura 14: Razões Trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
dos valores atribuídos a variável. 
Ainda podemos definir, utilizando a semelhança de triângulo as razões 
 
Secante: o inverso do cosseno: 𝐬𝐞𝐜 𝜽 =
𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝜽
 
Cossecante: o inverso do seno: 𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 𝜽 =
𝟏
𝐬𝐞𝐧 𝜽
 
 
 
 
1.6.3 Relação Trigonométrica Fundamental 
Considerando o ciclo trigonométrico da figura e definindo o arco 𝜃 = 𝑥. 
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo formado, temos (16): 
 
(𝒔𝒆𝒏𝒙)𝟐 + (𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐 = 𝟏𝟐 
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 = 𝟏 (16) 
 
Essa é a relação denominada relação fundamental, válida para todos valores 
de 𝑥. 
Derivam da relação trigonométrica fundamental (17;18): 
 
𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙 (17) 
𝒄𝒐𝒕𝒈𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 (18) 
 
 A primeira identidade é obtida dividindo a relação fundamental por cos2 𝑥. 
 A segunda identidade é obtida dividindo a relação fundamental por sen2 𝑥. 
 
Exemplo 6: 
a) Simplifique a expressão 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
Solução: 
Usando a relação fundamental trigonométrica, temos (19): 
𝐬𝐞𝐧𝐱 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 − 𝐬𝐞𝐧𝐱 
https://bit.ly/2TrE5ro
https://bit.ly/3xSfA5H
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
𝐬𝐞𝐧𝐱 ∙ (𝟏 − 𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱) − 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐬𝐮𝐛𝐬𝐭𝐢𝐭𝐮𝐢𝐧𝐝𝐨 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 = (𝟏 − 𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱) (19) 
𝐬𝐞𝐧𝐱 − 𝐬𝐞𝐧𝟑𝐱 − 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐚𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐚 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐫𝐢𝐛𝐮𝐭𝐢𝐯𝐚 
−𝐬𝐞𝐧𝟑𝐱 ∎ 
b) Mostre que 𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑥 
 
Solução : 
Desenvolvendo o lado esquerdo temos (20): 
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒙
− 𝒄𝒐𝒔𝒙 =
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
=
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
= 𝒔𝒆𝒏𝒙 ∙
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
= 𝒔𝒆𝒏𝒙 ∙ 𝒕𝒈𝒙 (𝟐𝟎) 
 
c) Dado 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
3
4
 , com 0 < 𝑥 <
𝜋
2
, calcule 𝑐𝑜𝑠𝑥. 
 
Solução: 
Usando a relação fundamental trigonométrica, temos (21): 
(
𝟑
𝟒
)
𝟐
+ 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 = 𝟏 ⇒
𝟗
𝟏𝟔
+ 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = ∓
√𝟕 
𝟒
 (𝟐𝟏) 
 
Como 0 < 𝑥 <
𝜋
2
, temos que o arco pertence ao 1º quadrante, onde o 𝑐𝑜𝑠𝑥 
é positivo, logo cos 𝑥 = 
√7 
4
 
 
1.6.4 Tabela Trigonométrica 
Para cada ângulo do triângulo retângulo associamos um único valor para o 
seno, o cosseno e a tangente. A tabela a seguir mostra esses valores para alguns 
arcos notáveis. Esses valores podem ser obtidos por meio de uma tabela ou pelo uso 
de uma calculadora científica. 
 
Tabela 1: Valores dos Arcos Notáveis 
 0° = 0 30°= 
𝝅
𝟔
 45°= 
𝝅
𝟒
 60°= 
𝝅
𝟑
 90°= 
𝝅
𝟐
 180°= 𝝅 270°= 
𝟑𝝅
𝟐
 360°=2 𝝅 
Sen 0 
1
2
 
√2
2
 
√3
2
 1 0 -1 0 
Cos 1 
√3
2
 
√2
2
 
1
2
 0 -1 0 1 
Tg 0 
√3
3
 1 √3 ∄ 0 ∄ 0 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
Exemplo 7: 
(UFG-adaptada) Uma pessoa deseja subir uma rampa de comprimento 𝑑 
que forma um ângulo 𝛼 com a horizontal. Após subir a rampa, esta pessoa estará 
ℎ metros acima da posição em que se encontrava inicialmente. 
 
a) Represente a situação por meio de um desenho. 
b) Qual é a relação existente entre os valores de d, h e 𝛼? 
c) Considerando 𝛼 = 30° e ℎ = 3 𝑚, qual é o valor de d? 
 
Solução: 
 
d) Esboço do problema 
 
A relação que existe são as relações trigonométricas, seno, cosseno e 
tangente. 
Uma das maneiras de obter d é aplicando o seno (22). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐬𝐞𝐧 𝛉 =
𝐦𝐞𝐝𝐢𝐝𝐚 𝐝𝐨 𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐨𝐬𝐭𝐨
𝐦𝐞𝐝𝐢𝐝𝐚 𝐝𝐚 𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚
 ⇒ 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝟎° =
𝐡
𝐝
 ⇒ 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝟎° =
𝟑
𝐝
 ⇒ 
𝟏
𝟐
=
𝟑
𝐝
 ⇒ 𝐝 = 𝟔 𝐦 (𝟐𝟐) 
 
Exemplo 8: 
Um barco parte de um ponto A para atravessar o rio. A direção do seu 
deslocamento forma um ângulo de 120° com o mesmo rio. Sendo a largura do rio 
60 m, qual a distância percorrida pelo barco no sentido da correnteza? 
Solução: Nos ajuda pensar quando realizamos um esboço do problema, 
observe estamos interessados na distância 𝑦, que representa o cateto adjacente 
em relação ao ângulo de 60°, então utilizando a tangente, temos (23): 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
Figura 15: exemplo7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑡𝑔 𝜃 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 ⇒ 𝑡𝑔 60° =
60
𝑦
 ⇒ √3 =
60
𝑦
 ⇒ 𝑦 =
60
√3
 ⇒ 𝑦 = 20√3 𝑚(23) 
 
 
 
 
1.7 SENO E COSSENO DE ÂNGULOS 
Estudamos as razões trigonométricas de um ângulo agudo, mas como seria 
para um ângulo obtuso? 
Se 𝜃 é a medida de um ângulo obtuso, isto é, 90° < 𝜃 < 180° então a medida 
do ângulo agudo suplementar é 180° − 𝜃. Então podemos mostrar que: 
 
I. O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno do ângulo agudo suplementar 
(24): 
𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟖𝟎° − 𝜽) (24) 
II. O cosseno de um ângulo obtuso é igual ao oposto do cosseno do ângulo 
agudo suplementar (25): 
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒏𝒐 𝜽 = −𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟖𝟎° − 𝜽)(𝟐𝟓) 
 
1.7.1 Cálculo do seno, cosseno e da tangente na calculadora científica 
Nos dias de hoje com os avanços tecnológicos as calculadoras científicas são 
de fácil acesso, encontradas no celulares e online, possibilitando os cálculos do seno, 
cosseno e da tangente. 
Figura 16: exemplo 8 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
Para determinar o seno, cosseno, tangente ou mesmo as medidas das inversas 
trigonométricas, primeiramente selecionamos a medida da unidade do arco, para 
isso basta escolher uma das opções que será fornecida ao apertar a tecla Mode 
obtendo: 
 
1 DEG 2 RAD 3 GRADO 
 
Se o ângulo for dado em graus você devera selecionar a opção 1 (DEG), caso 
a medida do ângulo seja radianos, escolha a opção 2 (Rad),
digitando o número 2, 
por exemplo o cos60° = 0,5. Primeiramente a sigla DEG deverá estar ativa, em seguida 
selecione a função cosseno digita 60 e aperte o igual. Caso a medida do ângulo seja 
radianos, selecione a opção Rad, em seguida a tecla cos e digite 
𝜋
3
 em seguida a 
função igual, no visor aparece a expressão cos 
𝜋
3
= 0,5 
 
1.8 LEI DOS COSSENOS 
A lei dos cossenos é uma relação matemática para o cálculo das medidas dos 
lados e dos ângulos de um triangulo qualquer, inspirada no teorema de Pitágoras, de 
fato a lei dos cossenos é frequentemente chamada de “teorema de Pitágoras 
generalizada”, pois contém o teorema clássico como um caso especial. A lei dos 
cossenos é ferramenta necessária para resolver os casos de semelhança de triângulo 
LAL(lado-ângulo-lado) e LLL(lado-lado-lado). 
Considere o Δ𝐴𝐵𝐶 qualquer, com as medidas dos lados e dos ângulos de 
acordo com a figura, definimos (26;27;28): 
 
Figura 17: Lei dos Cosseno 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝑨 (26) 
𝒃 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒄 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝑩 (27) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝑪 (28) 
 
Em um triangulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma 
dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das 
medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. 
 
1.9 LEI DOS SENOS 
Já sabemos que com a trigonometria podemos encontrar as partes do 
triângulo, lembrando que um triângulo tem seis partes: três lados e três ângulos, uma 
vez que a congruência é estabelecida e para isso basta fixar três partes 
correspondentes. Para que isso corra faz-se necessário dois ângulos e um lado de um 
triângulo para determinar sua forma e seu tamanho. A lei dos senos estabelece que 
a razão do seno de um ângulo em relação ao comprimento do seu lado oposto é a 
mesma para todos os três ângulos de um triângulo qualquer, dessa maneira temos 
que: 
Em um triangulo qualquer A, B e C com as medidas dos lados opostos a, b e c, 
respectivamente definimos (29): 
 
𝐬𝐞𝐧𝐀
𝐚
=
𝐬𝐞𝐧𝐁
𝐛
=
𝐬𝐞𝐧𝐂
𝐜
 (29) 
 
Essa igualdade estabelece proporções em que dados três elementos de um 
triângulo qualquer pode-se obter o quarto elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
https://bit.ly/3BnsF9i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. Qual das alternativas abaixo, representa o seno do maior ângulo de um triângulo 
cujos lados medem 4, 6 e 8 metros. 
 
a) 
√15
4
 
b) 
1
4
 
c) 
1
2
 
d) 
√10
4
 
e) 
√3
2
 
 
2. Se o ângulo 𝜃 pertence ao intervalo [0,
𝜋
2
] e satisfaz a equação 𝑠𝑒𝑛4𝜃 − cos4 𝜃 =
1
4
, 
então o valor da tangente de 𝜃 é dada pelo item? 
 
a) √
3
5
 
b) √
5
3
 
c) √
3
7
 
d) √
7
3
 
e) √
5
7
 
 
3. Sabendo que cos 𝛼 =
√3
2
 e que o 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = −
1
2
, podemos afirmar corretamente que 
cos (0 +
𝜋
2
) + 𝑠𝑒𝑛 (0 +
𝜋
2
) é igual a: 1 
 
a) 0 
b) −
√3
2
−
1
2
 
c) 
√3
2
+
1
2
 
d) 
√3
2
−
1
2
 
e) −
√3
2
+
1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
4. (EEAR- 2019) Analisando a figura, pode-se afirmar corretamente que o valor de 𝑥 
é: 
 
 
a) 16 − √2 
b) 6√2 − 4 
c) 6(2 − √2) 
d) 12 − 2√2 
e) 4√2 − √2 
 
5. Um avião voa em velocidade e altitude constantes, segundo uma reta que o 
levará a passar diretamente sobre uma estação de radar no solo. No instante em 
que o avião está a 18.000 metros acima dela, um observador nela postado, com 
auxílio de aparelhos, percebe que o ângulo de elevação do avião é de 30° e que 
está aumentado a razão de 0,5° por segundo. Qual será o deslocamento 
horizontal desse avião, passado meio minuto. Considere √3 ≅ 1,71. 
 
a) 36.000 m 
b) 31.177 m 
c) 25.456 m 
d) 13.140 
e) 6588 
 
6. No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 45°, outro medindo 105°, é 
um dos lados medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida 
de 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
a) 100√2 
b) 200√2 
c) 90√2 
d) 25 
e) 100 
 
7. Em uma fazenda, uma estrada reta que liga duas porteiras A e B, outra estrada 
reta liga B a uma porteira C, sendo 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = 5 𝑘𝑚 , 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ = 10√3 𝑘𝑚 e 𝐴�̂�𝐶 = 150° . 
Calcule a distância entre os pontos 𝐴 e 𝐶 em 𝑘𝑚. 
 
 
 
 
a) 5√19 
b) 5√7 
c) 9√3 
d) 25 
e) 10 
 
8. Seja 𝑀 =
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥+sec 𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥+1
 , com 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
 , 𝑘 ∈ ℤ. Utilizando-se as identidades 
trigonométricas, pode-se considerar 𝑀 é igual a: 
 
a) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
b) cos 𝑥 
c) cos 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
d) cossec 𝑥 
e) sec 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
FUNÇÃO 
 
 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
A matemática e suas aplicações estão repletas de relações entre grandezas 
com as quais as variáveis quantitativas estão relacionadas. O estudo de funções é a 
base para o cálculo diferencial e Integral com a aplicação nos fenômenos físicos, 
químicos e biológicos. 
Uma maneira intuitiva de compreender o conceito de função é no cálculo da 
área de um quadrado. Pense em um quadrado com a medida do lado 𝑥 metros, a 
área, representada por 𝐴 equivale ao produto do comprimento pela largura, então 
podemos escrever 𝐴 = 𝑥2. Observe nessa relação que a área depende da medida 
do lado, e que para cada valor de 𝑥 associamos um único valor para a área 𝐴. 
Podemos concluir que a associação entre a área e a medida do lado de um 
quadrado estabelece uma relação denominada função, formada por pares 
ordenados (𝑥, 𝐴). 
 
 
 
 Definição: uma função de um conjunto 𝐴 em um conjunto 𝐵 , não vazios, é uma 
lei que associa a todo elemento de 𝐴 um único elemento em 𝐵. 
 
Escrevemos função definida de 𝑨 em 𝑩 e representamos por: 𝒇: 𝑨 → 𝑩 
 
Toda função é uma relação binária de 𝐴 em 𝐵, portanto toda função é um 
conjunto de pares ordenados. 
Existe uma lei 𝑦 = 𝑓(𝑥) aberta que, dado o elemento 𝑥 ∈ 𝐴 determina-se o 
elemento 𝑦 ∈ 𝐵, tal que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, então escrevemos 𝑓 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑥)} 
UNIDADE 
02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
Dados os conjuntos 𝐴 e 𝐵, a função 𝑓 tem a lei de correspondência 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
 
 
 
 Denominamos o conjunto 𝐴 de domínio da função e o conjunto 𝐵 , de todos 
os valores produzidos por meio da lei de associação, chamamos de conjunto 
imagem. Às vezes, a função está definida de um conjunto 𝐴 para um conjunto 𝐶, 
de modo que esse conjunto 𝐶, não seja o conjunto imagem, e sim um conjunto que 
contém a imagem que é denominado de contradomínio, ou seja, o conjunto 
imagem é um subconjunto do conjunto contradomínio. 
 
2.1.1 Representação de uma Função 
Uma função pode ser representada por meio de: 
 
I. Uma expressão algébrica, uma lei de formação que associa o elemento 𝑥 ao 
elemento 𝑦, como por exemplo: 𝑦 = 2𝑥 + 1 
II. Por um diagrama de flechas que partem do 1° conjunto(domínio) e chegam 
ao 2° conjunto (imagem). 
III. Por meio de um gráfico. 
 
Utilizando a notação de diagrama, veremos quais as condições para que 
uma relação 𝑓 de 𝐴 em 𝐵 seja uma função: 
 
Figura 18: Representação de uma Função por diagrama 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
I. É necessário que todo elemento 𝑥 ∈ 𝐴 participe de pelo menos um par 
ordenado (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, com 𝑦 ∈ 𝐵, isso significa, que todo elemento de 𝐴 deve 
servir como ponto de partida da flecha. 
II. É necessário que todo elemento 𝑥 ∈ 𝐴 participe de apenas um único par 
ordenado (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, isto é, cada elemento
de 𝐴 deve servir como ponto de 
partida de uma única flecha. 
 
Para que uma relação seja uma função ela tem que satisfazer, 
necessariamente as condições descritas acima. 
 
2.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO 
Toda função estabelece um relação biunívoca entre os conjuntos definindo 
pares ordenados (𝑥, 𝑦), em que 𝑥 representa os elementos do domínio e 𝑦 representa 
os elementos da imagem e (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓. Esses pares ordenados representam pontos no 
plano cartesiano. A união desses pontos definem o gráfico da função. 
 
 
 
Para verificar se uma expressão algébrica é uma função é necessário escrever 
a lei na forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) e verificar que não haja ambiguidade quanto ao resultado de 
𝑦, como por exemplo em 𝑦2 = 𝑥2, para explicitarmos 𝑦, produzimos uma 
ambiguidade: 𝑦 = ± 𝑥. 
Outra maneira de verificar se uma relação é uma função graficamente, basta 
traçar retas paralelas ao eixo 𝑦 (teste das retas verticais) e observar se essas retas 
encontram sempre o gráfico da função em um único ponto, em caso afirmativo o 
gráfico representa uma função. 
 
https://youtu.be/HPhsJ_BXVgQ?t=4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
2.2.1 Domínio e Imagem 
As funções que apresentam maior interesse na Matemática são as funções 
numéricas, isto é, aquelas em que o domínio 𝐴 e o contradomínio 𝐶, são 
subconjuntos de ℝ. 
 
 
 
Podemos observar que uma função 𝑓 fica completamente definida quando 
são dados o seu domínio 𝐷𝑓, o contradomínio 𝐶𝐷 e a lei de correspondência 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
A menos que tenhamos um modelo que necessita de um domínio restrito, como é o 
caso do exemplo do quadrado no início da unidade, em que a variável 𝑥, assume 
somente valores positivos, pois representa a medida do lado do quadrado. 
Assumiremos que o domínio da função definida por uma expressão algébrica é um 
subconjunto dos números reais, de acordo com as principais restrições: 
 
I. Raiz de índice par e radicando negativo; 
II. Zero no denominador 
III. Raiz de índice par e radicando negativo no denominador; 
 
Exemplo 10: 
1) Encontre o domínio da função (30): 
 
𝒇(𝒙) = √𝒙 + 𝟐 (30) 
Solução: 
A expressão dentro do radical não pode ser negativa, ou seja 𝑥 + 2 ≥ 0, 
então 𝑥 ≥ −2. 
 
2) O domínio de 𝑓 é o intervalo [−2, +∞) ou escrevemos: 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ −2}(31) 
 
𝒈(𝒙) = 
√𝟐𝒙
𝒙−𝟏
 (31) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
Solução: 
A expressão dentro do radical não pode ser negativa, ou seja, 2𝑥 ≥ 0, então 
𝑥 ≥ 0. Ainda, o denominador de uma função não pode ser zero, portanto, 𝑥 ≠ 1. 
 
3) Logo, o domínio de 𝑔 é o intervalo [0, +∞) , excluindo o número 1, o qual 
podemos escrever: [0, 1[ ∪ ]1, +∞) ou escrevemos: 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 0 𝑜𝑢 𝑥 ≠ 1} (32) 
 
𝒉(𝒙) = 
𝒙
√𝒙−𝟑
 (32) 
 
Solução: 
A expressão dentro do radical não pode ser negativa, além disso a raiz está 
no denominador, ou seja, o denominador tem que ser diferente de zero, logo 𝑥 −
3 > 0, então 𝑥 > 3. O domínio de 𝑓 é o intervalo ]3, +∞) ou escrevemos (33): 
𝑫𝒇 = {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 > 𝟑} (33) 
 
 Funções Iguais 
 
Sejam as funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝑔: 𝐶 → 𝐷. Duas funções são iguais se, e somente 
se, apresentarem: 
 
1) Domínios iguais; 
2) Contradomínio iguais; 
3) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 do domínio. 
 
 Funções Crescente, Decrescente e Constante 
 
Outro conceito de função que é fácil de entender graficamente ou por meio 
de uma tabela é a propriedade de ser crescente decrescente ou constante em um 
intervalo do domínio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
Figura 19: Função Crescente, Decrescente e Constante 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
Tabela 2: Representação de valores das funções acima 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 Definições: 
 
Uma função 𝑓 é crescente sobre um intervalo se, para dois valores quaisquer 
𝑥1 e 𝑥2 pertencentes ao domínio, com 𝑥1 < 𝑥2 tivermos 𝑦1 < 𝑦2 sendo 𝑦1 e 𝑦2 as 
imagens correspondentes a 𝑥1 e 𝑥2. 
Uma função 𝑓 é decrescente sobre um intervalo se, para dois valores 
quaisquer 𝑥1 e 𝑥2 pertencentes ao domínio, com 𝑥1 < 𝑥2 tivermos 𝑦1 > 𝑦2 sendo 𝑦1 e 
𝑦2 as imagens correspondentes a 𝑥1 e 𝑥2. 
Uma função 𝑓 é constante sobre um intervalo se, para dois valores quaisquer 
𝑥1 e 𝑥2, distintos, pertencentes ao domínio, com 𝑥1 < 𝑥2 tivermos uma variação nula 
para 𝑦1 e 𝑦2, ou seja, valores distintos do domínio tem imagens iguais. 
 
 Simetria 
 
A simetria pode ser caracterizada graficamente, algebricamente ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
numericamente. Existem três tipos particulares; 
1) Simetria com relação ao eixo vertical – Eixo 𝒀 
 
Considere a função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 
 
Graficamente o desenho é o mesmo quando olhamos do lado esquerdo e 
direito do eixo 𝑦. Numericamente a tabela toma o aspecto: 
 
Figura 20: Simetria em Y 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
Numa análise algébrica podemos observar que para todos os valores 𝑥 do 
domínio de 𝑓 temos que 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥), funções que assumem essa propriedade são 
chamadas de funções pares. 
 
2) Simetria com relação ao eixo horizontal – Eixo 𝑿 
 
Graficamente o desenho é o mesmo quando olhamos acima ou abaixo do 
eixo 𝑥, ou seja, o gráfico fica divido em relação ao eixo 𝑥, que é a reunião dos pontos 
médios dos segmentos paralelos ao eixo y com extremidades na curva. 
Numericamente a tabela toma os aspectos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
Figura 21: Simetria em X 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
Numa análise algébrica podemos observar que gráficos com este tipo de 
simetria não são de funções, mas podemos dizer que (𝑥, −𝑦) está sobre o gráfico 
quando (𝑥, 𝑦) também está. 
 
 
 
 Simetria em relação a origem 
 
O gráfico toma o mesmo aspecto quando olhamos tanto o seu lado esquerdo 
para baixo como seu lado direito para cima. 
Algebricamente os valores 𝑥 do domínio de 𝑓, assume 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), funções 
desse tipo são denominadas de funções ímpares. Numericamente a tabela toma os 
aspectos. 
 
 Figura 22: Simetria em Relação a Origem 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
A simetria em relação ao eixo X formam curvas que não satisfazem as condições de uma 
função. Você saberia por quê? Como poderíamos restringir a curva para torna-la uma 
função? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 Funções Limitadas 
 
O conceito de função limitada é facilmente observado, tanto 
algebricamente como graficamente, como podemos observar nas figuras abaixo: 
Uma função 𝑓 é limitada inferiormente se existe algum número 𝑏 que seja 
menor ou igual a todo número da imagem de 𝑓. Qualquer que seja o número 𝑏, este 
é chamado de limite inferior de 𝑓. 
Uma função 𝑓 é limitada superiormente se existe algum número 𝑐 que seja 
maior ou igual a todo número da imagem de 𝑓. Qualquer que seja o número 𝑐, este 
é chamado de limite superior de 𝑓. 
Agora, dizemos que uma função é limitada se ela é limitada das duas formas, 
inferior e superiormente e ainda a função pode ser limitada para um intervalo do 
domínio. 
 
Figura 23: Funções Limitadas 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 Extremos Locais e Absoluto 
 
Um outro conceito muito importante para compreendermos o 
comportamento de uma função são os pontos de máximo e mínimo locais. Esses 
pontos são mais fácil de se ver graficamente do que descrever algebricamente. 
Um máximo local de uma função 𝑓 é o valor de 𝑓(𝑐) que é maior ou igual a 
todos os valores da imagem de 𝑓 sobre algum intervalo aberto contendo 𝑐. Agora, 
se 𝑓(𝑐) é maior ou igual a todos os valores da imagem de 𝑓, então 𝑓(𝑐) é o valor 
máximo absoluto de 𝑓. 
Já o mínimo local de uma função 𝑓 é o valor de 𝑓(𝑐) que é menor ou igual a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
todos os valores da imagem de 𝑓 sobre algum intervalo aberto contendo 𝑐. Agora, 
se 𝑓(𝑐) é menor ou igual
a todos os valores da imagem de 𝑓, então 𝑓(𝑐) é o valor 
mínimo absoluto de 𝑓. 
 
Figura 24: Extremos 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 Assíntotas - Horizontal e Vertical 
 
A reta 𝑦 = 𝑏 é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) se 
𝑓(𝑥) se aproxima do limite 𝑏 quando 𝑥 tende a mais infinito (+∞) ou a menos infinito 
(−∞), na notação de limite, temos (34): 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
𝒇(𝒙) = 𝒃 ou 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
𝒇(𝒙) = 𝒃 (34) 
 
 
A reta 𝑥 = 𝑎 é uma assíntota vertical do gráfico de uma de uma função 𝑦 =
𝑓(𝑥) se 𝑓(𝑥) tende a mais infinito (+∞) ou a menos infinito (−∞), quando 𝑥 se 
aproxima de 𝑎 tanto pela esquerda como pela direita, na notação de limite, temos 
https://bit.ly/3wSOObY
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
(35): 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) = ±∞ ou 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂+
𝒇(𝒙) = ±∞ (35) 
Podemos observar no gráfico da função abaixo uma assíntota vertical em 𝑥 =
−1, o quociente não está definido para esse valor. Nesse mesmo gráfico, temos 
também uma assíntota horizontal em 𝑦 = 0, pois quando 𝑥 → +∞, o quociente é zero. 
 
Figura 25: Assíntotas 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
As retas 𝑥 = −1 e 𝑦 = 0, são as duas asiintotas vertical e horizontal da função. 
 
 
 
 Função Sobrejetiva 
 
Quando contradomínio de uma função é igual a sua imagem dizemos que a 
função é sobrejetiva. 
 
 Função Injetiva 
 
Uma função 𝑓 é injetiva se dados dois pontos 𝑥1 e 𝑥2 do domínio com 𝑥1 ≠ 𝑥2 
tem-se 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). 
 
 Função Bijetiva 
 
Dizemos que uma função é bijetiva quando ela é ao mesmo tempo injetiva e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
sobrejetiva, ou seja, as duas condições são satisfeitas (35): 
𝑰𝒎𝒇 = 𝑪𝑫 
𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 ⇒ 𝒇(𝒙𝟏) ≠ 𝒇(𝒙𝟐) (35) 
 
 Função Inversa 
 
Diz-se que uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é inversível se a cada elemento 𝑦 do 
contradomínio B estiver associado a um único elemento 𝑥 do domínio 𝐴, tal que 𝑦 =
𝑓(𝑥). 
Podemos, então, pensar em uma função 𝑔: 𝐵 → 𝐴 , que a cada 𝑦 em 𝐴 associe 
um único elemento 𝑥 em 𝐵, que é associado a 𝑦 em 𝑓, ou seja (36): 
 
𝒙 = 𝒈(𝒚) ⇔ 𝒚 = 𝒇(𝒙) (36) 
 
A função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é injetora, logo admite inversa denotada por (37): 
 
𝒇−𝟏: 𝑩 → 𝑨 tal que 𝒇−𝟏 = 𝒙 ⇔ 𝒇(𝒙) = 𝒚 (𝟑𝟕) 
 
 
Exemplo 11: 
Verifique se a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, com 𝐷𝑓 = ℝ e 𝐶𝐷 = ℝ é inversível (37;38). 
Solução: 
Podemos ver que a cada 𝑦 ∈ ℝ está associado a um único elemento 𝒙 =
𝒚 − 𝟐 ∈ ℝ, tal que 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒚 − 𝟐) = 𝒚 (37) 
Ainda para 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ∈ ℝ, com 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 tem-se 𝒙𝟏 + 𝟐 ≠ 𝒙𝟐 + 𝟐 e portanto 𝒇(𝒙𝟏) ≠
𝒇(𝒙𝟐) e 𝒇
−𝟏(𝒚) = 𝒙 − 𝟐. ∎ (38) 
 
 
2.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU 
As funções polinomiais estão entre as mais familiares de todas as funções. 
 
 Definição de uma Função Polinomial 
 
Seja 𝑛 um número inteiro não negativo e sejam 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2,..., 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 , números 
reais com 𝑎𝑛 ≠ 0. A função dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥
1 + 𝑎0 é uma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
função polinomial de grau 𝑛. 
A função zero dada por 𝑓(𝑥) = 0 é uma função polinomial, ela não tem grau 
nem coeficiente principal. Já a função constante assume a forma 𝑓(𝑥) = 𝑎, em que 
𝑎 ∈ ℝ, isso significa que todo elemento 𝑥 do domínio está associado ao mesmo 
elemento 𝑦 da imagem. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo 
dos 𝑥 passando pelo ponto (0, 𝑎). 
Funções polinomiais são definidas e contínuas sobre todos os números reais, 
para seu estudo é importante reconhecer se a função é polinomial e qual o tipo. 
A função zero e todas as funções constantes são polinomiais. Algumas outras 
funções familiares são também polinomiais, como apresentado a seguir: 
Funções polinomiais de grau indefinido ou de grau baixo, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 números 
reais. 
 
Tabela 3: Algumas Funções Polinomiais 
NOME FORMA GRAU 
Função Zero 𝑓(𝑥) = 0 Indefinido 
Função Constante 𝑓(𝑥) = 𝑎, (𝑎
≠ 0) 
0 
Função do 1° grau 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 1 
Função do 2° grau 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 2 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 Função do Polinomial do 1º Grau e seus Gráficos 
 
Uma função polinomial do primeiro grau, também chamada de função afim 
é uma função polinomial de grau 1, e assume a forma (38): 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, onde 𝒂 e 𝒃 são constantes reais e 𝒂 ≠ 𝟎 (38) 
O número 𝑎 recebe o nome de coeficiente angular e representa a taxa de 
variação da função do 1º grau. O número 𝑏 é o coeficiente linear, graficamente é 
o intercepto da reta com o eixo 𝑌. 
São exemplos de função polinomial de 1º grau. 
𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙 + 𝟐; 𝒇(𝒙) =
𝟐
𝟑
𝒙 − 𝟏; 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎𝒙 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟑 
A equação geral da reta que passa pelo ponto (𝑥1, 𝑦1) e tem coeficiente 
angular 𝑎 é dada por (39): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
 
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏) 
𝒂 = 
𝒚−𝒚𝟏
𝒚−𝒚𝟏
 (39) 
 
O coeficiente angular é a taxa de variação da função polinomial de 1º grau 
 
 
 
Uma função 𝑓 de ℝ em ℝ recebe o nome de função identidade quando a 
cada elemento 𝑥 ∈ ℝ associa-se o próprio 𝑥, isto é: 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∴ 𝑦 = 𝑥 
O gráfico da função identidade coincide com as bissetrizes do 1º e 3º 
quadrantes (quadrantes ímpares). 
 
Figura 26 : Função Identidade 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
Uma função 𝑓 de ℝ em ℝ recebe o nome de função linear quando a cada 
elemento 𝑥 ∈ ℝ associa-se o elemento 𝑎𝑥 ∈ ℝ, em que 𝑎 ≠ 0 é um número real dado, 
a consequência disso é que o ponto (0, 0) pertence a toda função linear, que 
assume a forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
 
Figura 27: Função Linear 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem. 
Gráfico da Função polinomial de 1º grau 
O gráfico cartesiano da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0 é uma reta que para 
ser definida são necessários dois pontos da função, podemos utilizar os interceptos 
com os eixos 𝑋 e 𝑌, que são os pontos (−
𝑏
𝑎
, 0) e (0, 𝑏). 
 
 
 
O conjunto domínio da função polinomial de 1º grau 𝑓: ℝ → ℝ, dada por 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0, é o conjunto dos números reais e representamos por: 𝐷𝑓 =
 ℝ. 
O conjunto imagem da função polinomial de 1º grau 𝑓: ℝ → ℝ, dada por 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0, é o conjunto dos números reais e representamos por: 𝐼𝑚 =
 ℝ. 
 
 Raiz da Função Polinomial do 1° grau ou Zero da Função 
 
É o valor de 𝑥 para o qual 𝑦 = 0 , ou seja, é resolver a equação polinomial do 
1º grau, que consiste em isolar a variável 𝑥, aplicando as operações que conserva a 
equivalência. A função do 1º grau apresenta uma única solução (40). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒚 ∴ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 ∴ 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 ∴ 𝒂𝒙 = −𝒃 ∴ 𝒙 = −
𝒃
𝒂
 (40) 
 Logo 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 é a raiz ou o zero da função polinomial de 1º grau. 
Graficamente o zero da função do 1º grau é o intercepto da reta com o eixo 
𝑋. 
A função polinomial de 1 º grau 𝑓: ℝ → ℝ, dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0, é 
crescente se a taxa de variação é positiva, ou seja, 𝑎 > 0, e é decrescente se a taxa 
de variação é negativa, ou seja, 𝑎 < 0. 
 
Exemplo 11: 
 Para a função 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 2 esboce o gráfico, encontre a raiz e 
especifique se a função é crescente ou decrescente. 
 
Solução: 
 
1) Raiz: 𝑥 = −
𝑏
𝑎
∴ 𝑥 =
2
3
 
2) Como 𝑎 < 0, a função é decrescente, veja na 
3) tabela que a medida que x aumenta y diminui. 
4) O ponto de interseção da reta e o eixo y é (0, 2). A reta intercepta o eixo 𝑌 
no valor de 𝑏 (coeficiente linear 
 
 
 Sinal de uma função polinomial de 1º grau 
 
Estudar o sinal de uma função 𝑓: ℝ → ℝ, dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0, é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
responder a pergunta: 
Para quais valores de 𝑥 tem-se: {
𝑓(𝑥) >
0
𝑓(𝑥) = 0
𝑓(𝑥) < 0
 
 
Considerando que −
𝑏
𝑎
 é o zero da função do 1º grau, ou seja, o valor de 𝑥 
para 𝑦 = 0, temos que (41; 42) 
 
𝒂 > 0 (41) 𝒂 < 0 (42) 
𝑓(𝑥) > 0 ⇔ 𝑥 > −
𝑏
𝑎
 𝑓(𝑥) > 0 ⇔ 𝑥 < −
𝑏
𝑎
 
𝑓(𝑥) < 0 ⇔ 𝑥 < −
𝑏
𝑎
 
𝑓(𝑥) < 0 ⇔ 𝑥 > −
𝑏
𝑎
 
 
Exemplo 13: 
 
Estude o sinal da função 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 2 (43) 
 
Solução: 
𝒇(𝒙) = 𝟎 ⇒ −𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎 ⇒ 𝒙 =
𝟐
𝟑
. 𝒂 = −𝟑 ⇒ 𝒂 < 𝟎 ; (43) 
Para 𝑓(𝑥) > 0 tem-se 𝑥 <
2
3
 e quando 𝑓(𝑥) < 0 tem-se 𝑥 >
2
3
 . 
 
2.4 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 
Uma função polinomial do 2º grau, também chamada de função quadrática 
é uma função que assume a forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, onde 𝒂, 𝒃 e 𝒄 são constantes reais e 𝒂 ≠ 𝟎. 
São exemplos de função polinomial de 2º grau (44) 
𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑; 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐; 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟗; 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 (44) 
 
O gráfico da função polinomial de 2º grau é uma parábola que assume os 
aspectos: 
 
 Se 𝑎 > 0, concavidade da parábola está voltada para cima, e admite valor 
mínimo, que é o menor valor de 𝑦 na função. 
 Se 𝑎 < 0, concavidade da parábola está voltada para baixo, e função 
admite valor máximo, que é o maior valor de 𝑦 na função. 
 
Qualquer função do segundo grau 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, com 𝒂 ≠ 𝟎 pode ser 
escrita na forma canônica (45): 
𝒇(𝒙) = 𝒂 [(𝒙 +
𝒃
𝟐𝒂
)
𝟐
−
∆
𝟒𝒂𝟐
] (45) 
A forma canônica permite um estudo analítico mais detalhado da função 
polinomial do 2º grau. 
 
 As raízes da função do 2º grau ou Zeros 
 
Os zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 
𝑎 ≠ 0, são os valores de 𝑥 reais tais que 𝑓(𝑥) = 0 e, portanto, as soluções da equação 
polinomial do 2º grau. 
Para determinar as raízes da função polinomial do 2º grau fazemos 𝑓(𝑥) = 0 , 
na forma canônica, explicitamos a variável 𝑥, obtendo a fórmula de Bhaskara que 
permite resolver qualquer equação polinomial do 2º grau (46). 
 
 𝑓(𝑥) = 𝑎 [(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
∆
4𝑎2
] ⇔ 𝑎 [(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
∆
4𝑎2
] = 0 ⇔ (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
−
∆
4𝑎2
= 0 
⇔ (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
∆
4𝑎2
⇔ 𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±√
∆
4𝑎2
 ⇔ 𝒙 =
−𝒃 ± √∆
𝟐𝒂
 (𝟒𝟔) 
Fórmula de Bhaskara 
 
O símbolo ∆, delta, representa o discriminante da equação polinomial do 2º, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
isto é, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , e ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐. As raízes ficam condicionada ao fato de √∆ 
ser real, definindo três situações: 
 
1) ∆ > 0, a equação apresenta duas raízes distintas, que são (47): 
𝒙′ =
−𝒃−√∆
𝟐𝒂
 e 𝒙" =
−𝒃+√∆
𝟐𝒂
 (47) 
2) ∆ = 0, a equação apresenta duas raízes iguais (48): 
𝒙′ = 𝒙" =
−𝒃
𝟐𝒂
 (48) 
3) ∆ < 0 a equação não apresenta raízes reais, pois √∆ ∉ ℝ, apresenta raízes 
complexas. 
 
A interpretação gráfica das raízes da função polinomial do 2º grau são os 
valores de x dos pontos onde a parábola corta o eixo 𝑋, ou seja, as raízes são os 
interceptos da parábola com o eixo 𝑋. 
 
 Eixo de Simetria 
 
A reta de simetria para uma parábola é o seu eixo de simetria perpendicular 
ao eixo 𝑋, o ponto sobre a parábola que cruza seu eixo de simetria é o vértice da 
parábola, que pelo fato do gráfico da função polinomial ser sempre uma parábola 
com concavidade para cima ou para baixo, seu vértice é sempre o ponto mais 
baixo ou o ponto mais alto da parábola é determinado por (49): 
𝑉(−
𝑏
2𝑎
, −
∆
4𝑎
) (49) 
Como consequência definimos o Máximo e o Mínimo da função polinomial 
do 2º grau: 
 
 Se 𝑎 < 0, a função polinomial do 2º, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 admite valor máximo, 
e esse valor é a ordenada do vértice (𝑦𝑣). 
 Se 𝑎 > 0, a função polinomial do 2º, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 admite valor mínimo, 
e esse valor é a ordenada do vértice (𝑦𝑣). 
 
O conjunto domínio da função polinomial de 2º grau 𝑓: ℝ → ℝ, dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0, é o conjunto dos números reais e representamos por: 
𝐷𝑓 = ℝ. 
O conjunto imagem da função polinomial de 2º grau 𝑓: ℝ → ℝ, dada por 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0, é o conjunto definido por (50; 51): 
 
1) 𝑎 > 0 ⇒ 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ| y ≥ −
∆
4𝑎
} (50) 
2) 𝑎 < 0 ⇒ 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ| y ≤ −
∆
4𝑎
} (51) 
 
Para fazermos o esboço do gráfico da função polinomial de 2º grau, são 
necessários as informações: 
 
1) Encontrar as raízes 𝒙 =
−𝒃±√∆
𝟐𝒂
 ; 
2) Encontrar o vértice 𝑉(−
𝑏
2𝑎
, −
∆
4𝑎
) ; 
3) Determinar o intercepto da parábola com o eixo 𝑌, o ponto (0, 𝑐); 
4) Determinar o eixo de simetria 𝑥 =
−𝑏
2𝑎
. 
 
Exemplo 13: 
a) Faça o esboço do gráfico da função 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑. 
Solução: 
Seguindo os passos acima, calculamos (52): 
Raízes: ∆ = 𝟒, 𝒙′ = 𝟏 ou 𝒙" = 𝟑. 
Vértice: 𝑽(𝟐, −𝟏) 
Intersecção entre a parábola e o eixo 𝒀: (𝟎, 𝟑) 
Eixo de simetria: 𝒙 = 𝟐. 
𝑫𝒇 = ℝ 
𝒂 > 𝟎 ⇒ 𝑰𝒎 = {𝒚 ∈ ℝ| 𝐲 ≥ −𝟏} 
Valor Mínimo: 𝒚𝒗 = −𝟏 (52) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
 
 
2.5 FUNÇÃO POTÊNCIA 
Função potência formam uma importante família de funções pela sua própria 
estrutura e aplicabilidade, além de fazer parte de outras funções. 
 
 Definição 
 
Qualquer função que pode ser escrita na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛, onde 𝑎 e 𝑛 são 
constantes reais diferentes de zero, é uma função potência. A constante 𝑛 é o 
expoente e 𝑎 é a constante de proporção, dizemos então que 𝑓 é proporcional a 
enésima potência de 𝑥. 
Muitas das relações da geometria e da ciência são exemplos de função 
potência, tais como: o comprimento da circunferência (𝐶 = 2𝜋𝑟), força da 
gravidade (𝐹 =
𝑘
𝑑2
), o volume de uma esfera (𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3), a lei de Boyle (𝑉 =
𝑘
𝑝
), entre 
muitos outros modelos de função potência que são expressos por uma proporção. 
As funções potência com expoente positivo são exemplos de variação direta, 
já as funções potência com expoente negativo são exemplos de variação inversa. 
Vejamos alguns exemplos de função potência (53): 
𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙𝟐
; 𝒈(𝒙) = √𝒙
𝟑
 𝒉(𝒙) =
𝟏
𝟐
𝒙𝟒 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟓 (53) 
Analisando a função 𝑔(𝑥) = √𝑥
3
, temos: 
Reescrevendo a função 𝑔(𝑥) = 𝑥
1
3, então o expoente é 
1
3
, a constante de 
proporção é 1, ou seja, o coeficiente da variável 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
 A função 𝑔(𝑥) é contínua com 𝐷𝑓 = ℝ e 𝐼𝑚 = ℝ, é crescente para todo 𝑥, é 
uma função ímpar ou seja, simétrica em relação a origem, não é limitada, não tem 
extremos e não tem assíntotas, como podemos verificar no gráfico. 
 
Figura 31: Função Potência 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
O gráfico representa uma função potência, 𝑔(𝑥) = √𝑥
3
 , reparem que 
quaisquer dois valores simétricos do domínio de uma função ímpar resultam em 
imagens também simétricas ou opostas. As funções potências de expoente ímpar 
são funções simétricas em relação a origem. 
 
2.6 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Dado um número real 𝑎, tal que 0 < 𝑎 ≠ 1, chamamos de função exponencial 
de base 𝑎 a função 𝑓 de ℝ em ℝ que associa a cada 𝑥 real o número 𝑎𝑥 e 
representamos por (54): 
𝒇: ℝ → ℝ 𝒇(𝒙) = 𝒌𝒂𝒙; com 𝒌 ∈ ℝ (54) 
As funções exponenciais estão definidas e são contínuas para todos os 
números reais, são exemplos de função exponencial(55): 
 
𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟐
𝒙
 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙+𝟏 𝒇(𝒙) = 𝟒−𝒙 𝒇(𝒙) = 𝟓 ∙ 𝟐𝒙 (55) 
 
 
 Propriedades 
 
1ª) Na função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, temos que para 𝑥 = 0 o 𝑦 = 1, com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑦, isto define que o par ordenado (0, 1) pertence a função para todo 𝑎 ∈ ℝ+
∗ −
{1}, geometricamente o gráfico da função exponencial corta o eixo 𝑌, no ponto de 
ordenada 1. 
 
2ª) Para qualquer função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥 e qualquer número real 𝑥, 
 
𝒇(𝒙 +
𝟏) = 𝒂 ∙ 𝒇(𝒙) 
 
Se 𝑘 > 0 e 𝑎 > 1, então a função 𝑓 é crescente e é uma função de 
crescimento exponencial, a base 𝑎 é o seu fator de crescimento. 
Se 𝑘 > 0 e 𝑎 < 1, então a função 𝑓 é decrescente e é uma função de 
decaimento exponencial, a base 𝑎 é o seu fator de crescimento. 
 
 Gráfico 
 
Com relação ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, podemos dizer: 
 
I. A curva representativa está toda acima do eixo 𝑥, pois 𝑦 = 𝑎𝑥 > 0 
para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
II. Intercepta o eixo 𝑌 no ponto de ordenada 1. 
III. Se 𝑎 > 1 a função é crescente e se 0 < 𝑎 < 1 , então a função é 
decrescente. 
IV. A função exponencial é injetora. 
V. Os gráficos toma um dos aspectos. 
 
Figura 32: Gráfico da Função Exponencial 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
Funções exponenciais são funções que modelam vários fenômenos da 
ciências, engenharia, medicina, tais como, decaimento radioativo, capitalizações, 
crescimento logístico, crescimento populacional, entre outros. 
As funções exponenciais do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, assumem: 
𝐷𝑓 = ℝ , 𝐼𝑚 =]0, +∞), são contínuas, não são simétricas, limitada inferiormente, 
não tem extremos locais, assíntota horizontal em 𝑦 = 0, é crescente para 𝑎 > 1 e 
decrescente para 0 < 𝑎 < 1. 
A função exponencial natural 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, tem base o número irracional 𝑒, que 
tem valor 𝑒 = 2,718281 …, também chamado de número de Euler, que foi quem 
introduziu a notação da função exponencial natural com a propriedade especial 
de simplificar os cálculos matemáticos, qualquer função exponencial pode ser 
expressa em termos da base natural 𝑒. Como 𝑒 > 1, a função assume as 
características de uma função exponencial crescente. 
 
 Função de crescimento logístico 
 
Uma função de crescimento logístico mostra seu comportamento a uma taxa 
crescente e não limitada superiormente. A limitação acaba existindo por razões de 
capacidade inerentes ao fenômeno, com isso, devido as situações reais, a função 
de crescimento é limitada tanto inferior como superiormente por assíntotas 
horizontais. 
Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑘 constantes positivas, com 𝑎 < 1. Uma função de crescimento 
logístico em 𝑥 é uma função da forma (56): 
𝒇(𝒙) =
𝒄
𝟏+𝒌𝒂𝒙
 ou 𝒇(𝒙) =
𝒄
𝟏+𝒌𝒆−𝒃𝒙
, sendo 𝒄 o limite de crescimento (56) 
Se 𝑎 > 1 ou 𝑏 < 0, então os modelos serão de funções de decaimento 
logístico. Já as funções de crescimento logístico têm comportamento nos extremos 
do domínio real, dado por (57): 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→−∞
𝒇(𝒙) = 𝟎 e 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒇(𝒙) = 𝒄, onde 𝒄 é o limite de crescimento (57) 
 Função de crescimento Populacional 
 
Suponha que uma população se altere a uma taxa percentual constante 𝑟, 
onde 𝑟 é a taxa percentual da alteração, seguindo o padrão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
Tabela 4: Modelos de Crescimento Populacional 
Tempos em anos População 
0 População inicial 𝑃(0) = 𝑃𝑂 
1 𝑃(1) = 𝑃𝑂(1 + 𝑟) 
2 𝑃(2) = 𝑃𝑂(1 + 𝑟)
2 
⋮ 
T 𝑃(𝑡) = 𝑃𝑂(1 + 𝑟)
𝑡 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
Se 𝑟 > 0, então 𝑃(𝑡) é uma função de crescimento exponencial, com fator de 
crescimento 1 + 𝑟. 
Se 𝑟 < 0, então a base 1 + 𝑟 < 1, 𝑃(𝑡) é uma função de decaimento 
exponencial, com fator de decaimento exponencial 1 + 𝑟. 
Os Modelos de crescimento e decaimento exponencial são usados para 
populações, por exemplo, de animais, bactérias e átomos radioativos. Esses modelos 
se aplicam em qualquer situação na qual o crescimento ou decaimento é 
proporcional ao tamanho atual da quantidade de interesse. 
 
 
 
 Decaimento Radioativo 
 
As funções de decaimento exponencial modelam a quantidade de uma 
substancia radioativa presente em uma amostra. O número de átomos de um 
elemento especifico que se altera de um estado radioativo para um estado não 
radioativo é uma fração fixada por unidade de tempo. O processo é chamado de 
decaimento radioativo e o tempo que ele leva para que a metade da amostra 
mude de estado é chamada de meia-vida da substância radioativa. 
 
Exemplo 14: 
a) Se, inicialmente, existem 1000 bactérias no meio, e a cada hora a população 
dobra, ao fim de quantas horas a população chegará em 3.500.000 bactérias 
(58). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 
Solução: 
𝑷𝒐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎, 𝒕 = 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐; 𝑷(𝒕) = 𝟑. 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 , 𝑷(𝒕) = 𝑷𝒐 ∙ 𝟐
𝒕 
𝑷(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝒕 ⇒ 𝟑. 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝒕 ⇒ 𝟑𝟓𝟎𝟎 = 𝟐𝒕 ⇒ 𝒕 =
𝒍𝒏𝟑𝟓𝟎𝟎
𝒍𝒏𝟐
 
⇒ 𝒕 = 𝟏𝟏 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆 𝟒𝟔 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 (58) 
 
b) Suponha que a meia vida de uma substancia radioativa é de 30 dias e que 
existem 6 gramas presentes inicialmente. Qual é o tempo para que essa 
substância chegue a 1 grama (59). 
 
Solução: 
Como 𝑡 é o tempo em dias, o tempo de meia vida será 
𝑡
30
, 𝑄(𝑡) = 1𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 
𝑸(𝒕) = 𝟔 ∙ (
𝟏
𝟐
)
𝒕
𝟑𝟎
 ⇒ 𝟏 = 𝟔 ∙ (
𝟏
𝟐
)
𝒕
𝟑𝟎
 ⇒ 𝒕 = 
𝟑𝟎 𝐥𝐧(
𝟏
𝟔
)
 
𝐥𝐧(
𝟏
𝟐
)
 ⇒ 𝒕 =
𝟑𝟎∙(−𝟏,𝟕𝟗𝟏𝟕𝟓𝟗𝟒𝟔𝟗)
−𝟎,𝟔𝟗𝟑𝟏𝟒𝟕𝟏𝟖𝟎
 ⇒ 𝒕 = 𝟕𝟕, 𝟓𝟓 𝒅𝒊𝒂𝒔 
(59) 
 
c) Um capital de R$ 12.000 aplicado a uma taxa de 15% ao ano durante 3 anos. 
Qual seria o montante ao final dessa aplicação (60)? 
 
Solução: 
𝑪𝒐 = 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎, 𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟓, 𝒕 = 𝟑 𝒂𝒏𝒐𝒔; 𝑴(𝟑) =? , 𝑴(𝒕) = 𝑪𝒐 ∙ (𝟏 + 𝒊)
𝒕 
𝑴(𝒕) = 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎 ∙ (𝟏, 𝟏𝟓)𝟑 ⇒ 𝑴(𝒕) = 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟎 ∙ (𝟏, 𝟓𝟐𝟎𝟖𝟕𝟓) ⇒ 𝑴(𝟑) = 𝟏𝟖. 𝟐𝟓𝟎, 𝟓𝟎 (60) 
 
2.7 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
A função exponencial é um exemplo de função que admite inversa. Uma 
função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 admite inversa, representada por: 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 e 
denominada de função logarítmica na base 𝑎, se 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 com 0 < 𝑎 ≠ 1, então 
𝑓−1(𝑥) = log𝑎 𝑥, em que 𝑓
−1 denota função inversa. Observe graficamente a 
transformação que a inversa define. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
Figura 33: Função Inversa 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 Transformação entre a forma logarítmica e a forma exponencial 
 
Algebricamente o conjunto domínio da função exponencial passa a ser o 
conjunto imagem da função logarítmica e o conjunto imagem da exponencial fica 
sendo o domínio da função logarítmica. Funções que apresentam essa 
característica são funções que admitem inversa e tem a propriedade de funções 
bijetoras. 
Se 𝒙 > 𝟎 e 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏, então 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 se e somente se 𝒂
𝒚 = 𝒙. 
Daí definimos o cálculo logarítmico, exemplos (61): 
 
𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 = 𝒙 ⇔ 𝟏𝟎
𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 ⇔ 𝟏𝟎𝒙 = 𝟏𝟎𝟐, então 𝒙 = 𝟐. 
𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟐
𝟒 = 𝒙 ⇔
𝟏
𝟐
𝒙
= 𝟒 ⇔ 𝟐−𝒙 = 𝟐𝟐, então 𝒙 = −𝟐 (61) 
Para resolver as expressões logarítmicas devemos recorrer as propriedades de 
potenciação. 
 
 Propriedades Básicas 
 
Considere 𝑦 = log𝑎 𝑥, com 𝑥 > 0 e 0 < 𝑎 ≠ 1 e 𝑦 um número real, 
 
1) log𝑎 1 = 0, pois 𝑎
0 = 1 
2) log𝑎 𝑎 = 1, pois 𝑎
1 = 𝑎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
3) log𝑎 𝑎
𝑦 = 𝑦, pois 𝑎𝑦 = 𝑎𝑦 
4) 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥, pois log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑥 
 
 Logaritmos com base 10 Quando a base do logaritmo é 10, não precisamos 
escrever o número de denotamos a função logarítmica por 𝑓(𝑥) = log 𝑥. 
 Logaritmos com base 𝒆: Logaritmos com base 𝑒 são chamados de logaritmos 
naturais, utilizamos a notação 𝑙𝑛 para designar o logaritmo na base 𝑒, sendo 
assim a função logarítmica natural é dada por 𝑓(𝑥) = ln 𝑥. 
 
 Propriedades dos logarítmicos 
 
Sejam 𝑎, 𝑏 e 𝑐 números reais positivos com 𝑎 ≠ 1 e 𝑛 um número real qualquer, 
temos: 
 
1) Regra do Produto: log𝑎 𝑏𝑐 = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐. 
2) Regra do Quociente: log𝑎
𝑏
𝑐
= log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐. 
3) Regra da potência: log𝑎 𝑏
𝑛 = 𝑛 ∙ log𝑎 𝑏. 
 
 Mudança de Base 
 
As vezes torna-se necessário fazer uma mudança da base do logaritmo para 
manipular as expressões, escrevendo o logaritmo em uma base conveniente, sendo 
𝑎, 𝑏 e 𝑥 números reais positivo com 𝑎 ≠ 1 e 𝑏 ≠ 1, escrevendo o logaritmo na base 𝑏 
(62): 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 =
𝐥𝐨𝐠𝒃
𝒙
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂
 (62) 
 
 
 Definição da função logarítmica 
 
Definição: Dado um número real 𝑎 com 0 < 𝑎 ≠ 1, chamamos função 
logarítmica de base 𝑎 a função 𝑓 de ℝ+
∗ em ℝ que associa a cada 𝑥 real o número 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
log𝑎 𝑥 e representamos por (63): 
𝒇: ℝ+
∗ → ℝ 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙; com 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏 (63) 
 
As funções logarítmicas estão definidas e são contínuas para todos os 
números reais. São exemplos de função logarítmica (64): 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 b) 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟓
(𝒙 + 𝟏) c) 𝒉(𝒙) = 𝐥𝐧 𝟐𝒙 d) 𝒑(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝒙 (𝟔𝟒) 
 Propriedades 
 
1ª) Se 0 < 𝑎 ≠ 1 então as funções 𝑓 de ℝ+
∗ em ℝ definida por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 e 
uma outra função 𝑔 definida por 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 são inversas uma da outra. 
2ª) Para qualquer função logarítmica 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 e um número real 𝑥 positivo 
e diferente de zero, temos: 
 
A função logarítmica é crescente se, e somente se, 𝒂 > 𝟏 e a função 
logarítmica é decrescente se, e somente se 𝟎 < 𝒂 < 𝟏. 
 
 Gráfico: com relação ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥, podemos dizer: 
 
I. A curva representativa está toda a direita do eixo 𝑌, pois pela condição de 
existência o logaritmando tem que ser maior que zero (𝑥 > 0). 
II. Intercepta o eixo 𝑋 no ponto de abscissa 1. 
III. Se 𝑎 > 1 a função é crescente e se a função é decrescente 0 < 𝑎 < 1. 
IV. Os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑎
𝑥 são simétricos em relação a 
reta 𝑦 = 𝑥. 
V. Os gráficos toma um dos aspectos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
 
Figura 34: Exemplos 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
2.7.1 Função logarítmica 
 Domínio e Imagem 
As funções logarítmicas, 0 < 𝑎 ≠ 1 e 𝑥 > 0 assumem: 
𝐷𝑓 =]0, +∞) e 𝐼𝑚 = ℝ, são contínuas, não são simétricas, não é limitada nem 
superiormente nem inferiormente, não tem extremos locais, não tem assíntotas 
horizontais e a assíntota vertical é em 𝑥 = 0, é crescente para 𝑎 > 1 e decrescente 
para 0 < 𝑎 < 1. 
 
 
 
2.8 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 Função seno 
 
A função seno é contínua, o domínio são todos os reais, a imagem é o 
intervalo ] -1, 1 [, é periódica de período 2𝜋, isso significa que o comportamento da 
https://bit.ly/3wVliSK
https://bit.ly/3kAo4uk
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
função é repetitivo para cada intervalo de comprimento 2𝜋. É alternadamente 
crescente e decrescente, é uma função ímpar (simétrica em relação a origem), é 
limitada. Admite máximo absoluto em 1 e mínimo absoluto em -1. O gráfico da 
função recebe o nome de senóide. Tem sinal positivo nos quadrantes I e II e negativo 
nos quadrantes III e IV. 
 
Figura 36: Gráfico da Função Seno 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 Função Cosseno 
 
A função cosseno é contínua, o domínio são todos os números reais, a imagem 
é o intervalo ] -1, 1 [, é periódica de período 2𝜋, isso significa que o comportamento 
da função é repetitivo para cada intervalo de comprimento 2𝜋. É alternadamente 
crescente e decrescente, é uma função par (simétrica com relação ao eixo 𝑌), é 
limitada. Admite máximo absoluto em 1 e mínimo absoluto em -1. O gráfico da 
função recebe o nome de cossenóide. Tem sinal positivo nos quadrantes I e IV e 
negativo nos quadrantes II e III. 
 
Figura 37: Gráfico da Função Cosseno 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
 Função Tangente 
 
A função tangente é contínua sobre seu domínio definido sobre todos os 
números reais com exceção dos múltiplos ímpares de 𝑘
𝜋
2
, a imagem é o conjunto 
dos reais, é periódica de período 𝜋, isso significa que o comportamento da função 
repete para cada intervalo de comprimento 𝜋. É crescente em cada intervalo do 
domínio, é uma função ímpar (simétrica com relação a origem), não é limitada 
superiormente nem inferiormente. Tem assíntotas verticais da forma 𝑥 = 𝑘
𝜋
2
 para todo 
𝑘 ímpar. O gráfico da função recebe o nome de tangentoide. Tem sinal positivo nos 
quadrantes I e III e negativo nos quadrantes II e IV. 
 
Figura 38: Gráfico da Função Tangente 
 
Fonte: Elaborado pelo Autor (2021) 
 
As funções trigonométricas representam modelos que envolvem fenômenos 
periódicos, tais como a oscilação de molas em um sistema massa mola ou modelos 
de corrente alternada distribuído nas residências antes de interferências até nos 
aparelhos de som como analisador de espectro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
FIXANDO O CONTEÚDO 
1. (Prefeitura de Landri Sales – Auditor Fiscal- 2020) O domínio da função 
𝑓(𝑥) = √
𝑥2−5𝑥+6
𝑥−3
 é dado por: 
 
a) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 < 2} 
b) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ/ 2 < 𝑥 ≤ 3} 
c) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 ≥ 2 𝑒 𝑥 ≠ 3} 
d) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 ≤ 2} 
e) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 > 2} 
 
2. Para as funções 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, com 𝑓(−2) = 3 e 𝑓(4) = 1, os valores de 𝑚 e 𝑏, 
respectivamente, são: 
 
a) 3 𝑒 4 
b) −3 𝑒 
11
3
 
c) −1 𝑒 −
1
3
 
d) 
1
3
 𝑒 1 
e) 
1
3
 𝑒 
7
3
 
 
3. Uma imobiliária possui 1.600 unidades de imóveis para alugar das quais 800 estão 
alugadas por R$ 300,00 por mês. Uma pesquisa de mercado indica que, para 
cada diminuição de R$ 5,00 no valor do aluguel mensal, 20 novos contratos são 
fechados pela imobiliária. A receita mensal máxima em reais para um aluguel de 
R$ 250,00 é 
 
a) 25.000,00. 
b) 22.500,00. 
c) 225.000,00. 
d) 245.000,00. 
e) 250.000,00. 
 
4. Qual é o valor por onde o gráfico de 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 1)3 + 5 intercepta o eixo das 
ordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 5. 
e) 7. 
 
5. A meia vida de uma substância radioativa é igual a 65 dias. Inicialmente há 3,5 
gramas. A alternativa que representa a quantidade remanescente como função 
do tempo é: 
 
a) 𝑓(𝑡) =
7
2
∙ (
1
2
)
𝑡
65
 
b) 𝑓(𝑡) = 7 ∙ (
1
2
)
𝑡
65
 
c) 𝑓(𝑡) =
7
2
∙ (
1
2
)
−
𝑡
65
 
d) 𝑓(𝑡) = 7 ∙ (
1
2
)
−
𝑡
65
 
e) 𝑓(𝑡) =
7
2
∙ (
1
65
)
𝑡
2
 
 
6. Dada a função 𝑓(𝑥) = log2(𝑥 + 2), qual é a alternativa que não representa a 
função: 
 
a) O gráfico da função 𝑓(𝑥) = log2(𝑥 + 2) é uma translação para a esquerda de duas 
unidades. 
b) A inversa da função 𝑓(𝑥) = log2( 𝑥 + 2) é a função 𝑔(𝑥) = 2
𝑥 − 2. 
c) O ponto de coordenadas (2, 2) é um dos pontos de interseção da função 𝑓(𝑥) =
 log2 𝑥 + 2 e sua inversa. 
d) O domínio de 𝑓(𝑥) = log2(𝑥 + 2) está definindo para todos os reais positivos exceto 
o zero. 
e) A função (𝑥) = log2(𝑥 + 2) tem assíntota vertical em 𝑥 = −2. 
 
7. Um investimento de R$ 8700,00 ocorre a uma taxa de juros de 3% ao mês. Qual 
deve ser o prazo da aplicação com arredondamento para o inteiro mais próximo, 
para que esse investimento atinja o valor de R$ 11.000,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
a) 7meses. 
b) 8 meses. 
c) 11 meses. 
d) 70 meses. 
e) 80 meses. 
 
8. Com relação a função 𝑦 = 3 cos (
𝑥
2
) no intervalo [−2𝜋, 2𝜋] podemos afirmar: 
 
a) As raízes assume os valores {±
𝜋
2
, ±
3𝜋
2
}, 
b) O Máximo absoluto é 3. 
c) A função é contínua e ímpar. 
d) A função é periódica e crescente no intervalo de ] 0, 2𝜋 [. 
e) Tem assíntotas horizontais em 𝑦 = 3 e 𝑦 = −3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS E 
PROGRESSÕES 
 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
Nessa secção vamos tratar das sequências numéricas, padrões numéricos 
presente em diversos fenômenos naturais, nas engenharias, nas finanças, nas 
olimpíadas, nas estações do ano, na administração de medicamentos entre muitas 
outras situações da vida. 
A natureza do homem é perceber, compreender e observar esses padrões 
para transformá-los em tecnologia. 
As primeiras sequências observadas pelo homem,