ATIVIDADE A2 - CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS COMPLEXOS

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1 - A ideia básica da integração é que muitas quantidades podem ser calculadas se forem quebradas em pedaços 
pequenos e, depois, soma-se a contribuição que cada parte dá, nos permitindo calcular desde quantidades 
pequenas até valores volumétricos. 
Fonte: THOMAS, George B. Cálculo, vol 1. 11 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado, determine a integral de . 
 
 
2 - “Em vez de pensar em uma curva como um gráfico de uma função ou equação, consideramos uma forma 
mais geral de pensar em uma curva como a trajetória de uma partícula em movimento, cuja posição está 
mudando ao longo do tempo. Então, cada uma das coordenadas de x e y da posição da partícula se torna uma 
função de uma terceira variável t. Podemos ainda alterar a forma na qual os pontos no plano são descritos 
utilizando coordenadas polares em vez das retangulares ou cartesianas. Essas duas novas ferramentas são úteis 
para a descrição de movimentos, como os dos planetas e satélites, ou projéteis se deslocando no plano ou 
espaço.” 
Fonte: THOMAS, George B. Cálculo,vol 2. 12 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. p. 77 
 
Considerando a praticidade da resolução de situações-problema, por meio da parametrização de uma curva, 
determine a integral , sendo 
 
 
 
e C um caminho de , sendo um segmento sobre 
 
 
3 - Podemos calcular a integral de uma função por meio de somas parciais, assim como em algumas figuras ou 
curvas, considerando-as compostas e realizar os cálculos parcialmente. Considere a seguinte figura: 
 
 
Fonte: Elaborado pela autora, 2021. 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, determine a integral , sendo C composto por 
um arco de uma parábola de (0,0) e (1,1), e pelo segmento de uma reta vertical de (1,1) e (1,2). 
 
 
4 - Ao trabalharmos com as funções, temos que considerar a importância de não somente determinarmos a sua 
lei de formação, mas também o seu domínio e condição de existência. Com as funções analíticas não poderia 
ser diferente. 
 
Então, podemos afirmar que a função 
 
 
é válida para todos os pontos de , sendo: 
 
 
5 - “Inicialmente, estudamos as curvas como gráficos de funções ou equações, envolvendo as duas variáveis x 
e y. Com a parametrização, introduzimos outra forma de descrever uma curva expressando ambas as 
coordenadas como funções de uma terceira variável t.” 
Fonte: THOMAS, George B. Cálculo, vol 2. 12 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. p. 77. 
Adaptado) 
 
A resolução de situações-problema envolvendo cálculo avançado, utilizando a representação paramétrica de 
uma curva, pode ser muito útil. Por meio da parametrização, calcule a integral , sendo 
 
 
 
e C um caminho de , sendo um segmento sobre 
 
 
6 - Os elementos e conceitos do cálculo avançado são muito empregados em situações reais, seu estudo é 
evidente nas engenharias, na solução tanto de problemas de dimensões microscópicas quanto macroscópicas. 
Dito isso, considere a situação a seguir: Uma peça móvel de um maquinário percorre um caminho de formato 
elíptico dado por no sentido anti-horário, sobre uma força 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, responda: qual é o trabalho realizado? 
 
 
 
7 - Os números complexos surgiram a partir da necessidade de resultados em casos em que não havia solução 
no campo dos números reais, e sua aplicação se estendeu às funções de variáveis complexas. O estudo de uma 
função de variável complexa nos permite determinar a parte real e a parte imaginária de uma função. 
Denominando a parte real por u e a parte imaginária v, determine da função 
 
 
8 - Uma função é uma operação que transformará pontos de um plano complexo em outros pontos. As funções 
de variáveis complexas, assim como os números complexos, também podem ser compostas por uma parte real 
e uma parte imaginária. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, determine uma função f, em que a parte real seja dada 
por: 
 
 
 
9 - Analise a figura a seguir: 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, calcule 
 
 
 
em que C é a metade superior do círculo unitário e assinale a alternativa que apresenta o resultado 
correto. 
 
 
 
 
 
 
10 - Quando temos uma dada função f, e essa função é analítica, o valor de sua integral dependerá 
somente do ponto inicial e final do caminho de integração e poderá ser determinado por meio da diferença entre 
F(b) e F(a), sendo F primitiva de f. 
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, determine a integral de