Atividade 2 Calculo Avançado

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1) É comum vermos as pistas de carrinho de corrida no formato circular, podemos pensar que uma das vantagens desse formato é a economia de espaço e a facilidade da visualização dos carrinhos ao percorrem a pista. Uma pista de carrinho de corrida possui o formato de um círculo, cujo raio são 2 m. O carrinho de corrida percorre a pista no sentido anti-horário.
 
Representando o círculo por , determine a integral .
Resolução: (Resposta  .)
, temos:
 
=
2)- A ideia básica da integração é que muitas quantidades podem ser calculadas se forem quebradas em pedaços pequenos e, depois, soma-se a contribuição que cada parte dá, nos permitindo calcular desde quantidades pequenas até valores volumétricos.
Fonte: THOMAS, George B. Cálculo, vol 1. 11 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado, determine a integral de
Resposta e Resolução:
Parabéns! A sua resposta está correta! Quando f é uma função analítica, o valor de 
 dependerá exclusivamente dos pontos iniciais e finais do caminho de integral, podendo ser calculado por F(b) – F(a). Veja a resolução a seguir:
3)- Podemos calcular a integral de uma função por meio de somas parciais, assim como em algumas figuras ou curvas, considerando-as compostas e realizar os cálculos parcialmente. Considere a seguinte figura:
(Resposta 1) e Resolução 
 
Então
 
4)- Analise a figura a seguir:
 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, calcule
 
em que C é a metade superior do círculo unitário e assinale a alternativa que apresenta o resultado correto.
Resposta 
 
= 
5)- Os elementos e conceitos do cálculo avançado são muito empregados em situações reais, seu estudo é evidente nas engenharias, na solução tanto de problemas de dimensões microscópicas quanto macroscópicas. Dito isso, considere a situação a seguir: Uma peça móvel de um maquinário percorre um caminho de formato elíptico dado por  no sentido anti-horário, sobre uma força  
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, responda: qual é o trabalho realizado?
Resposta e resolução 
Parabéns! A sua resposta está correta! Observe uma resolução a seguir:
A partir deobtemos
 
 
Portanto, é uma parametrização da elipse no sentido anti-horário.
Então, o valor do trabalho será:
 
6)- A integral de uma função de duas variáveis no plano também pode ser chamada de integral múltipla. O cálculo de uma integral pode ser dado por meio de função de variáveis reais, assim como de variáveis complexas. Neste último caso, abordaremos uma integração complexa.
 
Considere um dado círculo , cujo centro esteja na origem e seu raio seja 3. A partir da função , definida para todo  Assim, e considerando o conteúdo estudado, determine f(2i).
Resposta e Resolução 
Acertou a resposta! Podemos observar que os pontos com estão no interior da circunferência dada. Sendo analítica no plano complexo, teremos:
 
7)- Ao trabalharmos com as funções, temos que considerar a importância de não somente determinarmos a sua lei de formação, mas também o seu domínio e condição de existência. Com as funções analíticas não poderia ser diferente.
Então, podemos afirmar que a função
 
 
é válida para todos os pontos de , sendo:
Resposta  
 e . Seu domínio é, portanto,  e Resolução
 
Resposta correta! Essa é uma situação em que precisamos considerar a condição de existência da função, excluindo de seu domínio os pontos que a tornarão inexistente. Considerando as condições de existência dessa expressão, onde o denominador deverá ser diferente de zero, temos que, portanto concluímos que, será definida em todo o plano complexo, exceto quando
8)- O cálculo de uma integral nos permite calcular quantidades que vão desde probabilidades e médias até consumo de energia e forças que atuam contra as comportas de uma represa. O estudo de seus conceitos e propriedades é de suma importância para que se determine corretamente uma integral.
 
Vamos considerar o valor da integral  uma curva fechada no plano complexo e z uma variável complexa. Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I. (  ) Quando n for igual a -1, será nulo e  for uma circunferência dada por  
II. (  ) Será nulo para todo  e quaisquer curvas fechadas  que passar por a.
III. (  ) Nulo para  e qualquer curva fechada , sendo que .
IV. (  ) Será nulo para todo  e quaisquer curvas abertas  que passar por a.
Resposta. FVVF
Parabéns! Resposta correta! A afirmativa II é verdadeira, pois todo e quaisquer curvas fechadas que passar por a são nulos. Isso porque para qualquer curva fechada com n
negativo, que não esteja em seu interior, teremos o valor nulo, considerando que estamos lidando com uma função analítica. Ademais, considera-se nulo para e qualquer curva fechada, sendo que. A afirmativa III é verdadeira, pois para a função é uma função analítica, e a integral será nula na curva fechada.
9)- Uma função é uma operação que transformará pontos de um plano complexo em outros pontos. As funções de variáveis complexas, assim como os números complexos, também podem ser compostas por uma parte real e uma parte imaginária.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, determine uma função f, em que a parte real seja dada por:
Resposta e Resolução 
Parabéns! A sua resposta está correta. Podemos observar que 
10)- Quando temos uma dada função f, e essa função é analítica, o valor de sua integral  dependerá somente do ponto inicial e final do caminho de integração e poderá ser determinado por meio da diferença entre F(b) e F(a), sendo F primitiva de f.
 
Considerando essas informações e conteúdo estudado, determine a integral de
 
Resposta e Resolução.
arabéns! A sua resposta está correta! Quando f é uma função analítica, o valor de dependerá exclusivamente dos pontos iniciais e finais do caminho de integral, podendo ser calculado por F(b) – F(a). Veja a resolução a seguir: