30-Maximos-Minimos

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Derivadas: Máximos e Ḿınimos
JLC062 \ JCE025
Prof.º Carlos Galvão
Campus Avançado em Jandaia do Sul
Universidade Federal do Paraná
Esta obra tem a licença Creative Commons “Atribuição-
CompartilhaIgual 4.0 Internacional”.
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https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pt
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Máximos e Ḿınimos Globais
2/13
Máximos e Ḿınimos Globais
Definições
Máximo : x é máximo global se
f (x)≥ f (x), ∀x do doḿınio.
Ḿınimo : x é ḿınimo global se
f (x)≤ f (x), ∀x do doḿınio.
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Máximos e Ḿınimos Globais
Definições
Máximo : x é máximo global se
f (x)≥ f (x), ∀x do doḿınio.
Ḿınimo : x é ḿınimo global se
f (x)≤ f (x), ∀x do doḿınio.
1 2 3 4 5
2
4
6
f (x)= x2 −5x +6
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Máximos e Ḿınimos Locais
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Máximos e Ḿınimos Locais
Máximo Local
c é máximo local de f se f (c)≥ f (x) para valores de x próximos de c, ou seja,
∃δ> 0| |x −c | < δ =⇒ f (c)≥ f (x)
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
1
f (x)= sen x
c δ
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Máximos e Ḿınimos Locais
Ḿınimo Local
c é ḿınimo local de f se f (c)≤ f (x) para valores de x próximos de c, ou seja,
∃δ> 0| |x −c | < δ =⇒ f (c)≤ f (x)
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
1
f (x)= sen x c
δ
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Teoremas
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Teoremas
Valor Extremo
Se f é cont́ınua em {a,b} então
existem c,d ,∈ {a,b} tais que f (c)
é o máximo de f no intervalo e
f (d) o ḿınimo.
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Teoremas
Valor Extremo
Se f é cont́ınua em {a,b} então
existem c,d ,∈ {a,b} tais que f (c)
é o máximo de f no intervalo e
f (d) o ḿınimo.
1 2 3 4 5
1
2
3
f (x)= x2 −5x +6
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Teoremas
Fermat
Enunciado
Se c for máximo (ou ḿınimo) de
f sem ser extremo, e existe f ′(c)
então f ′(c)= 0.
Definição
Os valores c tais que f ′(c)= 0
são chamados pontos cŕıticos.
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Teoremas
Fermat
Enunciado
Se c for máximo (ou ḿınimo) de
f sem ser extremo, e existe f ′(c)
então f ′(c)= 0.
Definição
Os valores c tais que f ′(c)= 0
são chamados pontos cŕıticos.
Importante!
Máximos e ḿınimos locais são
pontos cŕıticos, porém nem todo
ponto cŕıtico é máximo ou
ḿınimo local!
Ex: f (x)= x2 sen x
=⇒ f ′(x)=
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Teoremas
Fermat
Enunciado
Se c for máximo (ou ḿınimo) de
f sem ser extremo, e existe f ′(c)
então f ′(c)= 0.
Definição
Os valores c tais que f ′(c)= 0
são chamados pontos cŕıticos.
−4 −2 2 4
−4
−2
2
4
f (x)= x2 sen x
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Exemplos
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Exemplos
Ex. 1
Encontrar os pontos cŕıticos de f (x)= ax2 +bx +c
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Comportamento
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Comportamento
Voltando à Aproximação Linear
f ′(a)= lim
x→a
f (x)− f (a)
x −a
8/13
Comportamento
Voltando à Aproximação Linear
1 2 3 4 5
2
4
6
f (x)=−x2 +5x
1 2 3 4 5
2
4
6
f (x)=−x2 +5x
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Comportamento
Aplicando TVI
1 2 3 4 5
2
4
6
10/13
Comportamento
Aplicando TVI
1 2 3 4 5
2
4
6 Teste da 1ª derivada
Dado que existe f ′(x) para x = a; f ′(a)= 0;
b < a< c para b e c próximos de a:
• Se f ′(b)> 0 e f ′(c)< 0 então a é
máximo local
• Se f ′(b)< 0 e f ′(c)> 0 então a é
ḿınimo local
• Se não há troca de Sinal,
verificar!!!
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Exemplos
11/13
Exemplos
Ex. 2
Encontrar e classificar os pontos cŕıticos de f (x)= 2x3 −15x2 +36x −25
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Exemplos
Ex. 2
Encontrar e classificar os pontos cŕıticos de f (x)= 2x3 −15x2 +36x −25
1 2 3 4
−2
2
4
11/13
Exemplos
Ex. 3
Encontrar e classificar os pontos cŕıticos de f (x)= x3
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Exemplos
Ex. 3
Encontrar e classificar os pontos cŕıticos de f (x)= x3
−1 −0.5 0.5 1
−1
−0.5
0.5
1
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Bons Estudos!!!
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	Máximos e Mínimos Globais
	Máximos e Mínimos Locais
	Teoremas
	Valor Extremo
	Fermat
	Exemplos
	Ex. 1
	Comportamento
	Voltando à Aproximação Linear
	Aplicando TVI
	Exemplos
	Ex. 2
	Ex. 3