Aula 02 - Modelagem no Domínio da Frequência

Prévia do material em texto

DESCRIÇÃO
Funções de transferência de sistemas físicos fundamentais para o desenvolvimento e aplicação de sistemas de controle, funções de
transferência de circuitos elétricos e eletromecânicos e a representação dos componentes dos mesmos no domínio da frequência.
PROPÓSITO
Dominar o conceito de função de transferência, a representação no domínio da frequência de sistemas físicos e o desenvolvimento das
funções de transferência de sistemas elétricos e eletromecânicos é essencial nas mais diversas áreas da Engenharia.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora ou use o seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer o conceito de função de transferência e a importância dos polos e zeros da função
MÓDULO 2
Formular as funções de transferência de circuitos elétricos
MÓDULO 3
Formular as funções de transferência de sistemas eletromecânicos
A IMPORTÂNCIA DA REPRESENTAÇÃO NO DOMÍNIO DA
FREQUÊNCIA
AVISO: orientações sobre unidades de medida.
AVISO
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o
Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais
escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das unidades.
MÓDULO 1
 Reconhecer o conceito de função de transferência e a importância dos polos e zeros da função
javascript:void(0)
A IMPORTÂNCIA DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA
MODELAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
Os sistemas físicos podem ser analisados no domínio do tempo ou no domínio da frequência sendo, essencialmente, duas maneiras
distintas de se observar o mesmo sistema dinâmico. Entenda a diferença entre esses domínios:
Domínio do tempo
A análise no domínio do tempo corresponde a observar um modelo como temporal, ou seja, analisar seu comportamento ao longo do
tempo. Dessa maneira, os sinais são essencialmente analógicos, podendo variar continuamente ao longo do tempo.

Domínio da frequência
No domínio da frequência, a análise do sistema é feita de maneira discreta, ou seja, observando um determinado sistema nas
frequências dos sinais que atuam sobre ele.
A imagem a seguir ilustra essa percepção de relação entre tempo e frequência:
 Relação tempo versus frequência.
No domínio do tempo, as funções matemáticas que descrevem o comportamento do sistema são analisadas com relação ao tempo, ou
seja, os valores da função são conhecidos em cada instante ou em intervalos pré-definidos. O primeiro tipo é conhecido como análise
em tempo contínuo e o segundo tipo é definido como análise em tempo discreto.
Na análise no domínio da frequência, as funções matemáticas são analisadas de acordo com seu comportamento em relação à
frequência do sinal principal e aos harmônicos que são as frequências múltiplas produzidas a partir da principal. A análise no domínio da
frequência possibilita uma verificação simplificada do sistema, permitindo inclusive obter informações sobre o deslocamento de fase do
sinal.
A grande vantagem da conversão de sistemas do domínio da frequência para domínio do tempo é a simplificação matemática para a
análise. Isso acontece porque os sistemas matemáticos definidos por equações diferenciais lineares podem ser transformados em
equações algébricas no domínio da frequência, tornando-as mais simples de serem resolvidas.
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A função de transferência é a representação matemática de um sistema físico que relaciona a entrada com a saída do mesmo. A
imagem a seguir ilustra uma função
H(s)
que estabelece uma relação matemática entre a entrada
U(s)
e a saída
Y(s)
desse sistema:
 Representação genérica da função de transferência de um sistema.
Matematicamente, a relação entre a entrada e a saída de uma função de transferência pode ser definida por:
Y(S) = H(S) ⋅ U(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde é possível observar que a saída
Y(s)
é "causada" pela interação da entrada
U(s)
com o sistema
H(s)
.
A função de transferência pode ser utilizada para facilitar a análise de sistemas físicos de uma entrada e uma saída, de múltiplas
entradas e múltiplas saídas ou de uma combinação dessas opções, sendo que, no caso de múltiplas entradas e/ou saídas, utilizam-se
vetores e matrizes na modelagem matemática do sistema.
As principais aplicações da representação em função de transferência envolvem processamentos de sinais, sistemas de comunicações,
sistemas de controle e análise de circuitos.
De maneira simplificada, um sistema tem como função realizar algum tipo de processamento nos dados que recebe na entrada e
produzir algum tipo de modificação, gerando um conjunto novo de dados na saída.
 EXEMPLO
Pode-se considerar um circuito elétrico; um sistema massa-mola; entre outros.
Quando esses sistemas são lineares e invariantes no tempo, caso respeitem a condição de causalidade, pode-se utilizar a
transformada de Laplace na análise da função de transferência que relaciona os seus sinais.
Por exemplo, considere o sistema a seguir. Este consiste em uma força de intensidade
F(t)
 sendo aplicada sobre um carrinho de massa M inicialmente em repouso:
 Força aplicada sobre um carrinho.
Ao aplicar uma força sobre esse carro, obtém-se um deslocamento produzindo uma velocidade
v(t)
e, consequentemente, uma aceleração a
→a(t)
, tendo em vista que o carrinho partiu do repouso.
Considerando que a entrada do circuito é a força
→
F(t)
 e a saída a aceleração, uma representação desse sistema poderia ser realizada a partir da Segunda Lei de Newton
→
F(T) = M ⋅ →A(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível observar que a segunda Lei de Newton estabelece uma relação entre a força
→
F(t)
e a aceleração
→a(t)
, semelhante à relação estabelecida para a função de transferência
Y(s) = H(s) ⋅ U(s)
.
Manipulando a Segunda Lei de Newton, pode-se estabelecer uma relação que define a aceleração em função da força
F(t)
:
→A(T) =
1
M ⋅
→
F(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível observar que o sistema pode ser definido como:
H(S) =
1
M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim, uma representação genérica desse sistema poderia ser representada como na imagem a seguir:
 Representação simplificada do sistema da equação:
→a(t) =
1
M
⋅
→
F(t)
TRANSFORMADA DE LAPLACE
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que permite a transformação de sinais do domínio do tempo para o domínio
da frequência.
 SAIBA MAIS
Essa ferramenta é de grande importância para a resolução de equações diferenciais.
A transformada de Laplace gera uma função de variável s (domínio da frequência) a partir de uma função de variável t (domínio do
tempo).
Dado um sistema descrito por uma função matemática que relaciona a entrada e a saída do mesmo, a transformada de Laplace fornece
uma modelagem matemática alternativa, reduzindo a complexidade matemática do modelo, transformando, por exemplo, uma equação
diferencial em uma equação algébrica.
A tabela a seguir apresenta algumas transformadas de Laplace.
f(t) F(s)
Impulso unitário
δ(t)
1
Degrau unitário
u(t)
1 /s
t 1/s2
tn− 1
(n − 1) !
, (n = 1, 2, 3…) 1/sn
tn, (n = 1, 2, 3…)
n !
sn+ 1
e −at 1/(s + a)
t −ate 1/(s + a)
2
1
(n − 1) !
tn− 1e −at, (n = 1, 2, 3…) 1/(s + a)n
tne −at, (n = 1, 2, 3…)
n !
(s + a)n+ 1
 sen ωt
ω
s2 + ω2
 cos ωt
s
s2 + ω2
 senh ωt
ω
s2 − ω2
 cosh ωt
s
s2 − ω2
1
a
1 − e −at 1/s(s + a)
1
(b − a)
e −at − e −bt
1
(s + a)(s + b)
1
(b − a)
be −bt − ae −at
s
(s + a)(s + b)
∫ t0f(t)dt
F(s) /s
( )
( )
( )
d(f(t)) / dt = ḟ(t) sF(s) − f(0)
d2(f(t)) / dt2 = f̈(t) s2F(s) − sf(0) − ḟ(0)
dn(f(t)) /dtn = fn(t) snF(s) − sn− 1f(0) − ⋯ − f (n− 1 ) (0)
Tabela: Transformadas deLaplace.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
POLOS E ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A resposta de um sistema (saída) é definida pela soma da resposta forçada e natural.
 Resposta forçada de um circuito.
RESPOSTA FORÇADA
É a resposta que o circuito produz quando recebe um estímulo (fonte) na entrada, mas sem condições iniciais, como pode ser visto na
imagem.

 Resposta natural de um circuito.
RESPOSTA NATURAL
É a resposta que o circuito produz a partir das condições iniciais, mas sem entrada, como pode ser visto na imagem.
A modelagem matemática de um sistema, seja por equações diferenciais ou pela aplicação da transformada de Laplace, permite
determinar a resposta do mesmo, dada as condições iniciais, ou mediante a aplicação de uma fonte. Contudo, a análise dos polos e
zeros de uma função de transferência em relação à resposta do sistema, possibilita uma análise simplificada do mesmo. Veja:
POLOS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
São as raízes do denominador de uma função de transferência, ou seja, os valores da variável s da transformada de Laplace, que
fazem com que a função de transferência se torne infinita.
H(S) =
1
S − A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na equação acima, o polo da função de transferência
H(s)
é igual a a (s = a).
ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
São as raízes do numerador de uma função de transferência. Os valores da variável s da transformada de Laplace, que fazem com que
a função de transferência se torne igual a zero (nula).
H(S) =
S + B
S + A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na equação acima, o zero da função de transferência
H(s)
é igual a -b (s = - b).
EXEMPLO 1
Considere a função de transferência do sistema de primeira ordem
(G(s))
da imagem a seguir:
 Função de transferência de sistema de ordem 1.
O zero dessa função de transferência é definido por:
S + 2 = 0
S = − 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O polo dessa função de transferência é definido por:
S + 5 = 0
S = − 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A representação dos polos e zeros de uma função de transferência é feita no plano complexo (s), como pode ser visto na imagem a
seguir:
 Plano complexo com os polos e zeros da função de transferência
G(s)
EXEMPLO 2
Considere o sistema a seguir, com a entrada em degrau unitário sendo aplicada à função de transferência. Para isso, multiplica-se a
função de transferência pela transformada de Laplace do degrau unitário:
C S = U S · G S =
1
S ·
(S+ 2 )
(S+ 5 ) =
(S+ 2 )
S (S+ 5 )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, resolvendo-se por frações parciais:
(S + 2)
S(S + 5) =
A
S
+
B
(S + 5)
(S + 2)
S(S + 5) =
A(S + 5)
S
+
BS
(S + 5)
(S + 2) = AS + 5A + BS
(A + B)S + 5A = S + 2
5A = 2
A = 2/5
( ) ( ) ( )
(A + B)S = S
(A + B) = 1
B = 1 − A
B = 1 − 2/5
B =
(5 − 2)
5
B = 3/5
C(S) =
2/5
S
+
3/5
(S + 5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizando a transformada inversa de Laplace, tem-se:
C(T) =
2
5U(T) +
3
5E
− 5TU(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o degrau é unitário:
U(T) = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo:
C(T) =
2
5 +
3
5E
− 5T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao analisar a resposta do sistema, é possível definir que:
Essa identificação é possível observando a resposta geral do sistema e a representação no plano complexo.
EXEMPLO 3
A entrada em degrau de entrada
(1/s)
produz um polo na origem do plano complexo, como pode ser visto a seguir:
 Degrau unitário no plano complexo.
O numerador do sistema
(s + 2)
produz um zero no plano complexo, conforme a imagem a seguir:
 Numerador (zero) do sistema no plano complexo.
O denominador do sistema
1/(s + 5)
produz um polo no plano complexo, como pode ser visto a seguir:
 Denominador (polo) do sistema no plano complexo.
Depois da análise dos resultados, pode-se concluir que:
A entrada em degrau é responsável pela resposta forçada, ou seja, promove um polo na origem do plano complexo, contribuindo para a
produção de uma função degrau na saída.
De maneira similar, o polo da função de transferência contribui para a produção da resposta natural do sistema.
O zero da função de transferência contribui para a produção das respostas natural e forçada, influenciando nos dois polos.
Assim, pode-se definir que a resposta do sistema é produzida por:
E, consequentemente, a resposta no domínio do tempo assumirá a seguinte forma:
VEM QUE EU TE EXPLICO!
A modelagem no domínio da frequência
Polos e zeros de uma Função de Transferência (A importância dos polos e zeros de um sistema)
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Formular as funções de transferência de circuitos elétricos
PARA QUE SERVEM AS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE
CIRCUITOS ELÉTRICOS?
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA – REVISÃO
Como já sabemos, as funções de transferência permitem estabelecer relações algébricas entre a saída e a entrada de um sistema.
Essa relação algébrica é, normalmente, definida por equações diferenciais que podem ser de ordem n, como ilustrado na abaixo:
AN
∂NC(T)
∂TN
+ AN− 1
∂N− 1C(T)
∂TN− 1
+ ⋯ + A0C(T) = BM
∂MR(T)
∂TM
+ BM− 1
∂M− 1R(T)
∂TM− 1
+ ⋯ + B0R(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
c(t)
representa a saída do sistema
r(t)
representa a entrada do sistema.
Os coeficientes
an
e
bn
 definem a equação diferencial.
A utilização da transformada de Laplace permite a transformação da equação diferencial em uma algébrica, como pode ser visto na a
seguir:
ANS
NC(S) + AN− 1SN− 1C(S) + ⋯ + A0C(S) + C. I. = BMSMR(S) + BM− 1SM− 1R(S) + ⋯ +
B0R(S) + C. I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
onde c.i. são as condições iniciais.
Considerando as condições iniciais nulas, a equação acima pode ser reorganizada, dando origem à seguinte equação:
ANS
N + AN− 1SN− 1 + ⋯ + A0 C(S) = BMSM + BM− 1SM− 1 + ⋯ + B0 R(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A manipulação da equação acima pode produzir a função de transferência que define o comportamento do sistema, como pode ser visto
a seguir:
C(S)
R(S) =
BMS
M + BM− 1SM− 1 + ⋯ + B0
ANS
N + AN− 1S
N− 1 + ⋯ + A0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo
n ≥ m
.
( ) ( )
( )
( )
Para simplificar, pode-se definir:
C(S)
R(S) = H(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Rearranjando a equação acima, temos:
C(S) = R(S) ⋅ H(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a representação do sistema de maneira simplificada pode ser vista na imagem a seguir:
 Representação simplificada do sistema.
Como exemplo, deseja-se obter a função de transferência da equação diferencial que representa um sistema. Equacionando, tem-se :
Ċ(T) + 2C(T) = R(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizando a transformada de Laplace na equação acima, é possível definir a equação algébrica abaixo, considerando as condições
iniciais nulas:
SC(S) + 2C(S) = R(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reorganizando a equação, temos:
G(S) =
C(S)
R(S) =
1
S + 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível notar que o sistema apresenta naturalmente um polo, definido por:
S + 2 = 0
S = − 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É fundamentalobservar o comportamento do circuito para uma determinada entrada. Por exemplo, considerando uma entrada do tipo
degrau unitário, tem-se:
R(T) = U(T) = 1
R(S) =
1
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira, a equação
G(s) =
C(s)
R(s)
=
1
s + 2
, assume a seguinte característica:
C(S)
R(S) =
1
S + 2
C(S) =
1
S + 2 ⋅ R(S)
C(S) =
1
S + 2 ⋅
1
S =
1
S(S + 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação acima pode ser resolvida por meio da metodologia das frações parciais. Aplicando esse método, tem-se:
C(S) =
1
S(S + 2) =
A
S +
B
(S + 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solucionando, temos:
1
S(S + 2) =
A
S / (S + 2) +
B
(S + 2) /S
1
S(S + 2) =
A(S + 2) + BS
S(S + 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualando-se os numeradores:
A(S + 2) + BS = 1
AS + 2A + BS = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação anterior, é possível montar o sistema de equações:
AS + BS = 0
2A = 1
(A + B)S = 0
2A = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a segunda equação do sistema, tem-se:
2A = 1
A =
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo o resultado na primeira equação do sistema:
A + B = 0
{
{
B = − A
B = −
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação que modela o sistema:
C(S) =
1
S(S + 2) =
1/2
S
+
−1/2
(S + 2)
C(S) =
1
2 ⋅
1
S −
1
2 ⋅
1
(S + 2)
C(T) =
1
2 −
1
2 ⋅ E
− 2T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Representando a função
c(t)
graficamente, tem-se a resposta do sistema quando um degrau unitário é aplicado:
 Resposta ao degrau do sistema
c(t)
.
Uma comparação entre um degrau unitário ideal (em vermelho) e a resposta do sistema ao degrau unitário mostra que o sistema é
estável e apresenta um tempo de assentamento razoável.
 Comparação da resposta ao degrau do sistema
c(t)
com a entrada em degrau unitário.
Caso o polo seja afastado do eixo imaginário, por exemplo
s = − 5
, o tempo necessário para atingir o valor desejado será menor, como pode ser visto a seguir:
 Comparação da resposta ao degrau do sistema
c(t)
com diferentes polos.
Algumas considerações, entretanto, precisam ser feitas em relação ao deslocamento de polos e zeros de sistemas, levando em
consideração parâmetros das respostas tais como:
Máximo overshoot
Tempo de subida
Tempo de assentamento
Tempo de atraso
Tempo de pico
No geral, esses parâmetros poderão sofrer alterações com os deslocamentos dos polos e zeros do sistema.
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
Os circuitos elétricos podem ser constituídos de diversos elementos, sendo três componentes principais: resistores, capacitores e
indutores.
RESISTORES
São elementos que oferecem oposição à passagem da corrente elétrica, sendo utilizados para controle do fluxo de cargas; por meio da
dissipação de energia elétrica (aquecimento), divisão de tensão elétrica, de corrente, polarizações de circuitos, entre outras ações.
CAPACITORES E INDUTORES
São elementos armazenadores de energia, podendo ser utilizados em sistemas de filtragem passiva, armazenamento de energia,
circuitos de disparo, comunicação, entre outros.
Os principais parâmetros a serem analisados nesses elementos são a tensão e a corrente em função do tempo, cada uma sendo
representada por uma equação como descrita na tabela a seguir:
Componente Tensão Corrente
Capacitor v(t) =
1
C ∫
t
0i(τ)dτ i(t) = C
∂vc(t)
∂t
Resistor v(t) = R ⋅ i(t) i(t) =
v(t)
R
Indutor v(t) = L
di(t)
dt
i(t) =
1
L ∫
t
0v(τ)dτ
Tabela: Tensão e corrente de resistores, indutores e capacitores em função do tempo.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Essas equações são essenciais para que um circuito elétrico, formado por qualquer um desses elementos, possa ser representado
matematicamente.
Esses elementos podem ser representados por sua impedância que, de maneira similar à resistência elétrica, também é definida como
a medida da capacidade de um desses elementos de resistir ao fluxo de uma determinada corrente elétrica, quando aplicada uma
tensão elétrica em seus terminais.
A impedância elétrica, em resistores, confunde-se com sua resistência elétrica. Isso acontece porque essa característica é inerente ao
componente e definida por sua própria construção.
Já em capacitores e indutores, não faz sentido falar em resistência, mas apenas em impedância, tendo em vista que essa oposição à
passagem da corrente depende, inclusive, das características do sinal aplicado.
A impedância dos resistores, indutores e capacitores pode ser definida de acordo com a tabela a seguir:
Componente
Impedância
Z(s) = v(s) / i (s )
Capacitor Z(s) =
1
Cs
Resistor Z(s) = R
Indutor Z(s) = Ls
Tabela: Impedância de resistores, indutores e capacitores.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Considere o circuito elétrico simples formado por um resistor
 (R) 
e um capacitor
 (C) 
ilustrado na imagem a seguir. O circuito é alimentado por uma tensão contínua fornecida por uma fonte de tensão
(v(t))
.
( )
 Circuito elétrico do tipo resistor e capacitor (RC).
A análise do circuito começa pela aplicação da Lei de Kirchhoff das Tensões. Essa análise permite realizar o somatório das tensões dos
elementos que compõem a malha do circuito, como pode ser visto a seguir:
V(T) − VR(T) − VC(T) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Definindo a tensão do capacitor como a saída do circuito e a tensão da fonte de alimentação como a entrada, pode-se escrever a
seguinte equação:
V(T) − R ⋅ I(T) − VC(T) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na equação acima, a resistência (R) é um valor constante e as variáveis
v(t)
e
vc(t)
são a entrada e a saída do sistema, respectivamente. Sendo assim, apenas a variável
i(t)
(corrente elétrica do circuito) não é conhecida.
 ATENÇÃO
Por esse motivo, é fundamental reescrever a corrente elétrica do circuito em função das constantes ou variáveis conhecidas do sistema.
A partir da tabela de Impedância de resistores, indutores e capacitores, é possível definir que a corrente que percorre o capacitor
pode ser escrita em função da tensão como:
I(T) = C
∂VC(T)
∂T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os elementos do circuito estão ligados em série, a corrente no capacitor é igual à corrente no resistor. Desse modo, aplicando a
transformada de Laplace na equação da corrente, tem-se:
I(S) = CSVC(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação que modela o sistema pode ser escrita novamente com a aplicação da transformada de Laplace em seus elementos:
EQUAÇÃO
V(T) − R ⋅ I(T) − VC(T) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
V(S) = RCSVC(S) + VC(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Relacionando a saída com a entrada, pode-se escrever:
V(S) = (RCS + 1)VC(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
javascript:void(0)
Onde:
VC(S)
V(S) =
1
(RCS + 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é a função de transferência desse circuito, considerando a tensão do capacitor como a saída do sistema.
Como há apenas um elemento armazenador de energia no circuito, é possível verificar que a equação algébrica definida pela
transformada de Laplacefaz menção a uma equação diferencial de ordem 1.
Essa função de transferência não possui zeros e tem um polo. A posição desse polo pode ser definida a partir do denominador da
função de transferência:
RCS + 1 = 0
RCS = − 1
S = −
1
RC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É possível observar que esse sistema possui um polo no semiplano esquerdo, sendo, por esse motivo, estável.
Suponha agora a inclusão de outro elemento armazenador de energia, como, por exemplo, um indutor. O circuito poderá ser montado
como na imagem a seguir. Este é alimentado por uma tensão contínua fornecida por uma fonte de tensão
(v(t))
.
 Circuito elétrico do tipo resistor, indutor e capacitor (RLC).
A análise do circuito também deve ser iniciada pela aplicação da Lei de Kirchhoff das Tensões:
V(T) − VR(T) − VC(T) − VL(T) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Definindo, novamente, a tensão do capacitor como a saída do circuito e a tensão da fonte de alimentação como a entrada, pode-se
escrever a seguinte equação:
V(T) − R ⋅ I(T) − VC(T) − VL(T) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nessa equação, a resistência R também é um valor constante, as variáveis
v(t)
e
vc(t)
são a entrada e a saída do sistema, respectivamente, e a tensão
vL(t)
precisa ser representada em função de algum dos outros elementos do circuito, como a corrente elétrica que circula pelo mesmo.
Dessa maneira, a tensão na indutância, observando-se a tabela de Impedância de resistores, indutores e capacitores, pode ser
representada como:
VL(T) = L
DI(T)
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira, a variável
i(t)
(corrente elétrica do circuito) permanecerá como a única variável não conhecida.
 ATENÇÃO
Por esse motivo, é fundamental reescrever a corrente elétrica do circuito em função das constantes ou variáveis conhecidas do sistema.
Vale destacar que a corrente que percorre o capacitor continua sendo escrita em função da sua tensão como (tabela de Impedância de
resistores, indutores e capacitores):
I(T) = C
∂VC(T)
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os elementos do circuito também estão ligados em série, a corrente no capacitor é igual a corrente no resistor. Dessa maneira,
aplicando a transformada de Laplace na equação da tensão no indutor, pode-se obter:
VL(T) = L
DI(T)
DT
VL(S) = LSI(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente, por sua vez, continuará sendo escrita como:
I(S) = CSVC(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a equação que modela o sistema pode ser escrita novamente com a aplicação da transformada de Laplace em seus elementos:
EQUAÇÃO
V(T) − R. I(T) − VC(T) − VL(T) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
V(S) = LSI(S) + RI(S) + VC(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo a corrente em função da tensão do capacitor na equação da malha do circuito, pode-se reescrever:
V(S) = LSCSVC(S) + RCSVC(S) + VC(S)
V(S) = LCS2VC(S) + RCSVC(S) + VC(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Relacionando a saída com a entrada, temos:
V(S) = LCS2 + RCS + 1 VC(S)( )
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Rearranjando, temos:
VC(S)
V(S) =
1
LCS2 + RCS + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é a função de transferência desse circuito, considerando a tensão do capacitor como a saída do sistema.
Como há dois elementos armazenadores de energia no circuito, é possível verificar que a equação algébrica definida pela transformada
de Laplace faz menção a uma equação diferencial de ordem 2.
Essa função de transferência não possui zeros e possui dois polos. A posição desses polos pode ser definida a partir do denominador
da função de transferência:
LCS2 + RCS + 1 = 0
S2 +
RC
LC
S +
1
LC
= 0
S2 +
R
LS +
1
LC = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para que o sistema seja estável, é fundamental que as raízes estejam localizadas no semiplano esquerdo. É por esse motivo que a
escolha adequada dos valores dos elementos do circuito é fundamental para sua estabilidade.
Por fim, pode-se discutir um circuito com duas malhas:
( )
 Circuito elétrico do tipo malha dupla.
Nesse circuito, as correntes
i1(t)
e
i2(t)
são as correntes da malha.
A equação diferencial do somatório de tensão da malha 1 do circuito elétrico ilustrado na imagem anterior é dada por:
R1 ⋅ I1(T) + L
DI(T)
DT = V(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vale destacar que a corrente que atravessa o indutor é representada pela diferença entre as correntes das duas malhas:
 Correntes das malhas no indutor.
Assim, a equação da tensão no indutor passa a ser definida como:
V(T) = R1 ⋅ I1(T) + L
D I1(T) − I2(T)
DT
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observando a malha 2 do circuito elétrico, a equação diferencial que descreve seu comportamento a partir da Lei das tensões é dada
por:
L
DI2(T)
DT + R2 ⋅ I2(T) +
1
C ∫
T
0I2(Τ)DΤ − L
DI1(T)
DT = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace na equação apresentada a seguir:
V(T) = R1 ⋅ I1(T) + L
D I1(T) − I2(T)
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
obteremos a seguinte equação:
R1I1(S) + LSI1(S) − LSI2(S) = V(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira similar, aplicando a transformada de Laplace na equação abaixo:
L
di2(t)
dt
+ R2 ⋅ i2(t) +
1
C ∫
t
0i2(τ)dτ − L
di1(t)
dt
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
obtemos:
LSI2(S) + R2I2(S) +
1
SCI2(S) − LSI1(S) = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para facilitar a resolução das equações algébricas é comum a representação sob forma matricial:
( )
R1 + LS − LS
−LSLS + R2 +
1
CS
⋅
I1(S)
I2(S)
=
V(S)
0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse exemplo, é possível encontrar várias funções de transferência que definem o comportamento do circuito. Para isso, deve-se
apenas selecionar as entradas e saídas que se deseja relacionar.
 EXEMPLO
A relação entre a tensão do capacitor
vC(t)
e a corrente da malha
2 i2(t)
.
A relação entre a tensão do capacitor
vC(t)
e a corrente da malha
1 i1(t)
.
A relação entre a tensão do capacitor
vC(t)
e a tensão da fonte
(v(t))
.
Manipulando-se as equações diferenciais, é possível obter a corrente da malha
I2(s)
. Sendo assim:
[ ] [ ] [ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
I2(S) =
DET
R1 + LSV(S)
−LS0
DET
R1 + LS − LS
−LSLS + R2 +
1
CS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a função de transferência que relaciona
I2(s)
e
V(s)
é definida por:
I2(S) =
LCS2
R1 + R2 LCS
2 + R1R2C + L S + R1
V(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
I2(s) =
Vc(s)
1
Cs
, então:
I2(S) = CSVC(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Combinando as duas equações, obtém-se a função de transferência que relaciona a tensão do capacitor
vC(t)
e a tensão da fonte
[ ]
[ ]
( ) ( )
( )
(v(t))
:
VC(S)
V(S) =
LS
R1 + R2 LCS
2 + R1R2C + L S + R1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VEM QUE EU TE EXPLICO!
Função de transferência (A posição dos polos e a estabilidade do sistema)
Funçãode transferência de circuitos elétricos (Os elementos armazenadores de energia e a ordem das equações diferenciais)
VERIFICANDO O APRENDIZADO
( ) ( )
MÓDULO 3
 Formular as funções de transferência de sistemas eletromecânicos
QUAL É A UTILIDADE DAS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE
SISTEMAS ELETROMECÂNICOS?
SISTEMAS ELETROMECÂNICOS
Os sistemas eletromecânicos são aqueles que envolvem, de maneira organizada, os princípios utilizados nos sistemas mecânicos e nos
sistemas elétricos.
Dentre os sistemas eletromecânicos mais comuns, podem-se destacar motores elétricos, geradores elétricos, ventiladores, relés, entre
outros. No geral, são sistemas capazes de transformar energia elétrica em energia mecânica ou vice-versa.
Um outro exemplo comum é a telefonia celular, na qual um sinal elétrico é convertido em uma onda sonora (sinal mecânico) e
transmitido a longas distâncias pelo meio físico do ar.
A compreensão de sistemas eletromecânicos pode ser uma atividade bastante complexa, tendo em vista que demanda o estudo de
sistemas elétricos e sistemas mecânicos conjugados.
Já aprendemos a respeito da função de transferência de circuitos elétricos, por isso o estudo da função de transferência de sistemas
mecânicos e de sistemas eletromecânicos será o foco deste módulo.
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE SISTEMAS MECÂNICOS
LINEARES OU DE TRANSLAÇÃO
Os sistemas mecânicos de translação são aqueles onde o sistema atua de maneira linear, podendo se deslocar em um único eixo.
 EXEMPLO
Entre os sistemas mecânicos lineares, podemos citar os sistemas baseados em molas, amortecedores e na aplicação de forças
longitudinais
Na tabela a seguir, podem ser vistos os modelos matemáticos que descrevem a relação entre a força aplicada sobre um sistema
mecânico e a grandeza (força ou velocidade) originada por ela.
Componente Força-velocidade Força-deslocamento
f(t) = K∫ t0v(τ)dτ f(t) = Kx(t)
f(t) = fvv(t) f(t) = fv
dx(t)
dt
f(t) = M
dv(t)
dt
f(t) = M
d2x(t)
dt2
Tabela: Relações força-velocidade e força-deslocamento em função do tempo.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
É interessante observar que, de maneira similar ao que ocorre com os circuitos elétricos, os sistemas mecânicos também apresentam
uma resistência. Contudo, no caso de sistemas mecânicos, essa resistência representa uma oposição ao movimento da estrutura.
 EXEMPLO
A resistência que uma mola apresenta à sua deformação, a resistência que um amortecedor apresenta ao deslocamento de seu eixo ou
o atrito que um corpo apresenta ao seu deslocamento.
Essa resistência pode ser representada por uma impedância e pode ser matematicamente descrita conforme a tabela a seguir:
Componente
Impedância
ZM(s) = F(s) / X (s )
Mola K
Amortecedor fvs
Massa Ms2
Tabela: Representação matemática da impedância de um sistema mecânico.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Por exemplo, considere o seguinte sistema mecânico:
 Sistema mecânico com amortecedor e mola.
Esse sistema é formado por um corpo móvel de massa M que está preso a uma estrutura fixa, por meio de uma mola (de constante K) e
um amortecedor com viscosidade
fv
.
Suponha que esse corpo seja submetido à uma força
f(t)
,capaz de promover deslocamento do corpo ao longo de um eixo linear
x(t)
.
Considerando as forças que atuam sobre esse corpo, é possível determinar a função de transferência que relaciona várias de suas
entradas com saídas diversas. Por exemplo, a relação entre a força aplicada e o deslocamento do corpo pode ser estabelecida a partir
do somatório das forças que atuam sobre esse corpo, como pode ser visto a seguir:
∑FM = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A representação simplificada do sistema, considerando apenas as forças que atuam sobre o corpo, pode ser vista a seguir:
 Representação simplificada do sistema mecânico com amortecedor e mola (imagem anterior) – domínio do tempo
Nessa imagem, as forças foram representadas no domínio do tempo. É possível observar a aplicação das seguintes forças:
Força externa ao corpo
(f(t))
Força de resistência ao movimento
(Kx(t))
Força do amortecedor
fv(t)
Essas forças foram orientadas de acordo com a direção do deslocamento linear
(x(t))
do corpo. Sendo assim, a força externa que procura retirar o corpo do repouso, atua na direção positiva (sentido da seta) e o afasta da
posição de repouso.
 SAIBA MAIS
As forças da mola e do amortecedor buscam fazer com que o corpo retorne ao repouso e, por esse motivo, atuam no sentido contrário
ao movimento.
De acordo com a Segunda Lei de Newton, o somatório das forças de um corpo produz uma força resultante igual ao produto entre a
massa desse corpo e a sua aceleração:
∑F = →FR(T) = M→A(T)
∑F = MD
2X
DT2
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na representação simplificada do sistema mecânico com amortecedor e mola – domínio do tempo , a força resultante atua no
sentido contrário ao movimento imposto pela força
f(t)
. Sendo assim, é possível desenvolver a equação:
 Representação simplificada do sistema mecânico com amortecedor e mola (imagem anterior) – domínio do tempo
F(T) − KX(T) − FV
DX
DT
= M
D2X
DT2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Entretanto, vale destacar que essa equação é formulada através da análise das forças que atuam sobre o sistema produz uma equação
diferencial.
 RELEMBRANDO
Equações diferenciais são de resolução complexa, o que torna fundamental o uso da transformada de Laplace como ferramenta de
suporte à resolução desses problemas matemáticos.
O uso da transformada de Laplace permite a transformação da equação diferencial em uma equação algébrica, como pode ser visto a
seguir:
F(S) − KX(S) − FVSX(S) = MS
2X(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A representação das forças que atuam sobre o sistema no domínio de Laplace pode ser vista a seguir:
javascript:void(0)
 Representação simplificada do sistema mecânico com amortecedor e mola – domínio da frequência.
A reorganização da equação acima pode ser utilizada para facilitar a escrita da função de transferência do sistema:
MS2X(S) + FVSX(S) + KX(S) = F(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Colocando a componente
X(s)
em evidência:
MS2 + FVS + K X(S) = F(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a função de transferência relacionada à força aplicada sobre esse corpo de massa M e o seu deslocamento é dada por:
X(S)
F(S) =
1
MS2 + FVS + K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE SISTEMAS MECÂNICOS EM
ROTAÇÃO
Os sistemas mecânicos podem envolver movimentos que vão além de deslocamentos lineares.
( )
 EXEMPLO
As molas podem ser utilizadas de maneira a promover movimentos de torção, assim como massas podem estar relacionadas a
movimentos rotacionais no lugar de deslocamentos lineares.
Desse modo, é possível imaginar que um objeto (cilíndrico por exemplo) pode ser submetido a um torque que tende a imprimir um
deslocamento angular no mesmo. De maneira similar, uma força de oposição a esse movimento angular pode ser aplicada sobre o
corpo em outra extremidade, o que tenderá a promover uma torção nesse objeto. Isso acontece porque estão sendo aplicados sobre o
corpo movimentos angulares com sentidos opostos e em extremidades diferentes.
 COMENTÁRIO
De maneira similar à tabela elaborada para descrição de sistemas lineares, também é possível desenvolver uma tabela para o
movimento rotativo.
A tabela a seguir apresenta a representação das relações entre a aplicação de um torque em um corpo e as grandezas resultantes,
como a velocidade angular e o deslocamentoangular:
Componente Torque-velocidade angular Torque-deslocamento angular
T(t) = K∫ t0ω(τ)dτ T(t) = Kθ(t)
T(t) = Dω(t) T(t) = D
dθ(t)
dt
T(t) = J
dω(t)
dt
T(t) = J
d2θ(t)
dt2
Tabela: Relações torque-velocidade angular e torque-deslocamento angular em função do tempo.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
De modo similar, essas estruturas também apresentam resistência ao movimento rotacional e, por esse motivo, é possível definir uma
impedância para cada um desses componentes, como pode ser visto a seguir:
Componente
Impedância
ZM(s) = T (s ) /θ(s)
K
Ds
Js2
Tabela: Representação matemática da impedância de um sistema mecânico rotacional.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Para a obtenção da função de transferência de um sistema rotacional, é fundamental observar alguns detalhes:
Embora a torção ocorra ao longo do eixo, a força deve ser considerada pontual, ou seja, concentrada em um ponto particular do eixo.
A mola que apresenta a torção no corpo cilíndrico apresenta uma inércia à esquerda
J1
e uma inércia com sentido oposto à direita
J2
.
O amortecimento no interior do sistema deve ser considerado desprezível.
( )
( )
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE SISTEMAS MECÂNICOS
COM ENGRENAGENS
As engrenagens ou rodas dentadas são elementos mecânicos ligados ao eixo de motores cujo objetivo é promover rotação ou torque.
Geralmente, são utilizadas para transmitir força e rotação.
 Exemplo de engrenagens.
As engrenagens são consideradas componentes de grande importância para a funcionalidade dos sistemas mecânicos.
 EXEMPLO
Os sistemas acionados por motores geralmente são utilizados com engrenagens acopladas às cargas.
A transmissão de energia entre engrenagens pode ser representada de acordo com a equação a seguir:
T1Θ1 = T2Θ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que pode ser reescrita como:
Θ1
Θ2
=
T2
T1
=
N2
N1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja a seguir um exemplo de sistemas com engrenagens:
 Sistema mecânico com engrenagens.
A partir da equação anterior, é possível simplificar o sistema para o sistema representado a seguir:
 Simplificação do sistema mecânico com engrenagens (imagem anterior).
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE SISTEMAS
ELETROMECÂNICOS
Os sistemas eletromecânicos são aqueles que relacionam efetivamente estruturas mecânicas e elétricas em seu funcionamento.
Como exemplo, podemos citar:
Os geradores de energia movidos à combustão, nos quais a força mecânica promovida pela combustão gera energia.
Os motores de maneira geral.
Os motores de corrente contínua, nos quais um campo magnético produzido por um circuito elétrico promove a ação mecânica do eixo
do motor.
Considere o sistema eletromecânico a seguir:
 Sistema eletromecânico – motor de corrente contínua.
Nesse sistema, o rotor está localizado dentro de um campo magnético fixo, chamado de estator (campo constante).
javascript:void(0)
ROTOR
É a parte móvel do motor, ou seja, a parte do motor que pode efetuar o movimento de rotação.
Quando uma corrente elétrica é colocada por meio de um circuito elétrico no rotor, a interação entre os campos magnéticos da bobina
do rotor e do estator promovem os movimentos de rotação do sistema mecânico.
Vale destacar que o próprio movimento de rotação é controlado pela corrente de armadura do circuito elétrico.
Dessa maneira, é possível elaborar um diagrama em blocos simplificado do sistema capaz de ilustrar a relação, por exemplo, entre a
tensão de alimentação do circuito e o movimento angular do motor, como pode ser visto a seguir:
 Diagrama em blocos simplificado do motor.
A força contraeletromotriz
 (fcem) 
, que consiste na força que surge no rotor em oposição à corrente elétrica
vb(t)
, pode ser relacionada à velocidade angular do motor
∂θm(t)
∂t
por meio da constante de fcem
kb
. Essa relação é estabelecida pela seguinte equação:
VB(T) = KB
∂ΘM(T)
∂T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A utilização da transformada de Laplace permite a simplificação da equação acima, considerando as condições iniciais nulas, logo
obtemos:
VB(S) = KBSΘM(S)
( )
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a Lei das tensões no circuito responsável pela corrente do rotor, no domínio da frequência, temos:
RAIA(S) + LASIA(S) + VB(S) = EA(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O torque produzido pelo motor pode ser considerado proporcional à corrente de armadura, desde que seja levada em consideração a
constante de torque do motor
kt
então:
TM(S) = KTIA(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode-se reescrever a equação acima como:
IA(S) =
TM(S)
KT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo as equações:
Vb(s) = kbsθm(s)
e
Ia(s) =
Tm(s)
kt
em
RaIa(s) + LasIa(s) + Vb(s) = Ea(s)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
obtemos:
( )
RA + LAS TM(S)
KT
+ KBSΘM(S) = EA(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vale destacar que a equação acima apresenta, entre os valores conhecidos e as variáveis de entrada e de saída desejáveis, o torque do
motor, que é uma variável e precisa ser substituída por valores conhecidos ou escrito em função das variáveis de entrada ou de saída.
Sendo assim, vale destacar que o torque pode ser escrito em função do momento de inércia da armadura e o amortecimento viscoso na
armadura, sendo matematicamente representado da seguinte maneira:
TM(S) = JMS
2 + DMS ΘM(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo as substituições:
RA + LAS TM(S)
KT
+ KBSΘM(S) = EA(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ra + Las Jms
2 + Dms
kt
θm(s) + kbsθm(s) = Ea(s)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
RA + LAS JMS
2 + DMS
KT
+ KBS ΘM(S) = EA(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
( )
( )( )
[ ( )( ) ]
Dessa maneira, a função de transferência que relaciona a tensão de alimentação do circuito
Ea(s)
e o movimento angular do motor
θm(s)
pode ser definida como:
ΘM(S)
EA(S)
=
1
RA+LAS JMS
2 +DMS
KT
+ KBS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Algumas simplificações podem ser feitas, dependendo das características do motor. Por exemplo, se a resistência da armadura for
muito maior do que sua indutância, pode-se fazer a aproximação:
RA + LAS ≅ RA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CIRCUITOS ANÁLOGOS
A analogia entre sistemas pode ser uma ferramenta bastante útil para o desenvolvimento das funções de transferência de sistemas mais
complexos.
CIRCUITOS ANÁLOGOS EM SÉRIE
A tabela seguir mostra a analogia que pode ser feita entre componentes de um sistema mecânico e de um sistema elétrico com
componentes conectados em série:
Componente mecânico Componente elétrico
( )
( )
[ ( ) ( ) ]
( )
Tabela: Analogia entre componentes mecânicos e elétricos – série.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Assim, uma comparação entre sistemas pode ser feita e um circuito análogo pode ser desenvolvida:
Entenda a analogia entre sistemas:
MECÂNICO
ELÉTRICO – SÉRIE
ANÁLOGO ELETROMECÂNICO
CIRCUITOS ANÁLOGOS EM PARALELO
A tabela a seguir mostra a analogia que pode ser feita entre componentes de um sistema mecânico e de um sistema elétrico com
componentes conectados em paralelo:Componente mecânico Componente elétrico
Tabela: Analogia entre componentes mecânicos e elétricos – paralelo.
Elaborada por Raphael de Souza dos Santos.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Assim, uma comparação entre sistemas pode ser feita e um circuito análogo pode ser desenvolvido:
Entenda a analogia entre sistemas:
MECÂNICO
ELÉTRICO - PARALELO
ANÁLOGO ELETROMECÂNICO
VEM QUE EU TE EXPLICO!
Função de transferência de sistemas mecânicos lineares ou de translação (Os elementos mecânicos e a resistência ao movimento -
impedância)
Sistemas eletromecânicos (A analogia entre circuitos elétricos e sistemas mecânicos)
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste conteúdo, foram estudados cuidadosamente os detalhes pertinentes à elaboração da função de transferência de sistemas físicos.
Durante o estudo, os conceitos de polos e zeros foram abordados, e a sua importância para a estabilidade dos sistemas foi discutida e
ilustrada graficamente. Além disso, foram abordadas as definições das funções de transferência de sistemas elétricos e de sistemas
mecânicos, o detalhamento necessário para a representação de um circuito elétrico e de um sistema por meio de equações.
O conteúdo apresentou por meio de aplicações e exemplos a importância da utilização da transformada de Laplace como ferramenta
para a simplificação matemática das equações diferenciais que descrevem os sistemas.
Por fim, com o objetivo de fornecer uma ferramenta adicional para o desenvolvimento das funções de transferência dos sistemas
mecânicos, foram vistas as analogias entre sistemas elétricos e mecânicos.
 PODCAST
Agora, o especialista Raphael de Souza dos Santos encerra o tema falando sobre os principais tópicos abordados.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
D’AZZO, J. J.; HOUPIS, C. H. Análise e projeto de sistemas de controle lineares. Rio de Janeiro: Guanabara dois, 1984.
DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Sistemas de controle moderno; 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; EMAMI-NAEINI, As. Sistemas de controle para engenharia. Porto Alegre: Bookman, 2013.
GOLNARAGHI, F.; KUO, B. C. Automatic control systems. Nova York: McGraw-Hill Education, 2017.
NISE, N. S.; SILVA, F. R. da. Engenharia de sistemas de controle. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. São Paulo: Pearson, 5. ed., 2010.
CONCLUSÃO
EXPLORE+
Saiba mais sobre o desenvolvimento de outros tipos de circuitos elétricos ou sistemas mecânicos nos livros Engenharia de
controle moderno, de Katsuhiko Ogata e Engenharia de sistemas de controle, de Norman S. Nise.
Saber mais sobre a transformada de Laplace lendo o artigo Transformada de Laplace: uma obra de engenharia de Tonidandel,
de Danny Augusto Vieira e Araújo e Antônio Emílio Angueth de., publicado pela Revista Brasileira de Ensino da Física, volume 34,
em 2012.
CONTEUDISTA
Raphael de Souza dos Santos