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(variaˆncia dentro). Essa variac¸a˜o pode ser medida por meio das somas de
quadrados definidas para cada um dos seguintes componentes:
SQTotal =
I∑
i=1
J∑
j=1
y2ij − C, em que C =
(
IP
i=1
JP
j=1
yij)
2
IJ ,
SQTrat =
IP
i=1
y2i.
J − C,
e a soma de quadrados dos res´ıduos pode ser obtida por diferenc¸a:
SQRes = SQTotal− SQTrat.
A SQTrat tambe´m e´ chamada de variac¸a˜o Entre, que e´ a variac¸a˜o existente entre
os diferentes tratamentos e a SQRes e´ chamada de variac¸a˜o Dentro que e´ func¸a˜o das
diferenc¸as existentes entre as repetic¸o˜es de um mesmo tratamento.
116 Ana´lise de Variaˆncia Anjos, A. dos
Essas somas de quadrados podem ser organizadas em uma tabela, denominada tabela
da ana´lise de variaˆncia, como apresentado na Tabela 7.1.
Para testar a hipo´tese H0, utiliza-se o teste F apresentado na tabela da Ana´lise
de Variaˆncia (Tabela 7.1). Conve´m lembrar que esse teste e´ va´lido se os pressupostos
assumidos para os erros do modelo estiverem satisfeitos.
Tabela 7.1: Tabela da ana´lise de variaˆncia.
Causas de Graus de Soma de Quadrados F calculado
Variac¸a˜o Liberdade Quadrados Me´dios
Tratamentos I-1 SQTrat QMTrat QMTrat/QMRes
Res´ıduo I(J-1) SQRes QMRes
Total IJ-1 SQTotal
em que QMTrat=SQTrat/(I-1) e QMRes=SQRes/(I(J-1)).
Pode-se mostrar que o quociente QMTrat/QMRes tem distribuic¸a˜o F com (I − 1)
e I(J − 1) graus de liberdade, supondo que yij sejam varia´veis aleato´rias independentes,
todos os tratamentos teˆm variaˆncias iguais a σ2 e Yij ∼ N(µi, σ2). Por esses motivos, os
pressupostos da ANOVA devem ser testados ou avaliados em qualquer ana´lise.
Se Fcalculado>Ftabelado, rejeitamos a hipo´tese de nulidade H0, ou seja, existem
evideˆncias de diferenc¸a significativa entre pelo menos um par de me´dias de tratamentos,
ao n´ıvel α de significaˆncia escolhido. Caso contra´rio, na˜o rejeita-se a hipo´tese de nulidade
H0, ou seja, na˜o ha´ evideˆncias de diferenc¸a significativa entre tratamentos, ao n´ıvel α de
significaˆncia escolhido.
Outra maneira de avaliar a significaˆncia da estat´ıstica F e´ utilizando o p-valor. Se
o p-valor< α, rejeitamos a hipo´tese de nulidade H0. Caso contra´rio, na˜o se rejeitamos a
hipo´tese de nulidade H0, ou seja, na˜o ha´ evideˆncias de diferenc¸as significativas entre os
tratamentos, ao n´ıvel α de significaˆncia escolhido.
7.2.7 Delineamento experimental
Quando as unidades experimentais sa˜o homogeˆneas, ou seja, as parcelas sa˜o uni-
formes, os tratamentos podem ser sorteados nas unidades experimentais sem qualquer
restric¸a˜o. Nessa situac¸a˜o, o delineamento experimental e´ chamado de delineamento com-
pletamente casualizado (DCC). Neste caso, todos os tratamentos teˆm a mesma chance de
serem aplicados em qualquer unidade experimental ou parcela. Nesse texto, abordaremos
apenas esse tipo de delineamento que e´ o caso mais simples da ANOVA.
7.3 Ana´lise de Variaˆncia
Exemplo 7.1. Considere o seguinte experimento que foi conduzido, considerando um de-
lineamento inteiramente casualizado. Foram comparados 4 tratamentos (tipos de cultivo:
7.3. Ana´lise de Variaˆncia 117
A´gar (A), Ca´ssia (C), Guar (G), Leucena (L)). Mediu-se o crescimento, em gramas, de
explantes de morango (Tabela 7.2).
Tabela 7.2: Crescimento de explantes de morangos em gramas.
Trat. Repetic¸o˜es Total
I II III IV V VI VII VIII
A 0.1958 0.1301 0.1806 0.1545 0.1252 0.1882 0.2211 0.1734 1,3689
G 0.3627 0.4841 0.4119 0.4457 0.4755 0.5174 0.4173 0.4001 3,5147
L 0.1621 0.1150 0.2011 0.2123 0.1475 0.1922 0.1802 0.2248 1,4352
C 0.2841 0.3099 0.2922 0.1505 0.2345 0.1652 0.1379 0.1960 1,7703
Total 8,0891
Para este experimento, consideramos o modelo:
yij = µ+ τi + ǫij em que ǫij
IID∼ N(0, σ2)
i = 1, 2, . . . , 4 tratamentos;
j = 1, 2, . . . , 8 repetic¸o˜es;
yij e´ o peso em gramas correspondente ao i-e´simo tratamento na j-e´sima unidade experi-
mental;
τi e´ o efeito do i-e´simo tratamento;
ǫij e´ o erro experimental associado ao i-e´simo tratamento e a j-e´sima repetic¸a˜o.
As hipo´teses testadas neste experimento sa˜o:
H0 : τ1 = τ2 = τ3 = τ4
H1 : τi 6= τi′ para pelo menos um par, com i 6= i′.
Ca´lculos para a Ana´lise de Variaˆncia
Tem-se que:
I∑
i=1
J∑
j=1
yij = 0, 1958 + 0, 1301 + . . .+ 0.1960 = 8, 0891.
I∑
i=1
J∑
j=1
y2ij = 0, 1958
2 + 0, 13012 + . . .+ 0.19602 = 2, 4952.
Graus de liberdade de tratamentos= I − 1 = 4− 1 = 3.
Graus de liberdade do res´ıduo= I(J − 1) = 4(8 − 1) = 28.
Graus de liberdade total= IJ − 1 = 4× 8− 1 = 31.
As somas de quadrados sa˜o obtidas da seguinte forma:
1. SQTotal=
I∑
i=1
J∑
j=1
y2ij −
(
IP
i=1
JP
j=1
yij)2
IJ = 2, 4952 − (8,0891)
2
32 = 0, 4504
118 Ana´lise de Variaˆncia Anjos, A. dos
Obs: A expressa˜o
(
IP
i=1
JP
j=1
yij)2
IJ e´ referenciada em alguns textos como fator de correc¸a˜o
da soma de quadrados.
2. SQTrat=
IP
i=1
y2i.
J −
(
IP
i=1
JP
j=1
yij)2
IJ =
1,36892+1,77032+3,51472+1,43522
8 − (8,0891)
2
32 = 0, 3828.
3. A Soma de Quadrados dos res´ıduos e´ obtida por diferenc¸a:
SQRes=SQTotal-SQTrat= 0, 4504 − 0, 3828 = 0, 0676.
Os quadrados me´dios sa˜o obtidos pela divisa˜o da soma de quadrados, pelos seus respectivos
graus de Liberdade. Assim,
QMTrat=SQTrat/(I-1)=0,3828/3=0,1276 e
QMRes=SQRes/I(J-1)=0,0676/28=0,002414.
O teste F e´ o quociente entre o QMTrat e o QMRes. Logo,
Fcalculado=QMTrat/QMRes=0,1276/0,002414= 52,8583.
O Fcalculado e´ comparado com o Ftabelado, com 3 e 28 graus de liberdade, na tabela de
F (Tabela ):
Ftabelado a 1%=2,95
Ftabelado a 5%=4,57.
Efetuados os ca´lculos, podemos resumi-los na tabela da ana´lise de variaˆncia apre-
sentada a seguir:
Tabela 7.3: Ana´lise de variaˆncia do exemplo 7.1.
Causas de GL Soma de Quadrados F calculado
Variac¸a˜o Quadrados Me´dios
Tratamentos 4-1=3 0,3828 0,1276 52,8583∗∗
Res´ıduo 4(8-1)=28 0,0676 0,002414
Total 4×8-1=31 0,4504
∗∗ Significativo ao n´ıvel de 1% de probabilidade
Conclusa˜o da ana´lise de variaˆncia: de acordo com o teste F, foram encontradas evi-
deˆncias de diferenc¸as significativas, ao n´ıvel de 1% de probabilidade, entre os tratamentos,
com relac¸a˜o ao crescimento. Rejeitamos, portanto, a hipo´tese de nulidade H0. Deve exis-
tir, pelo menos, um contraste significativo entre as me´dias de tratamentos, com relac¸a˜o ao
crescimento me´dio.
O procedimento seguinte, quando de interesse do pesquisador, e´ o de comparar as
me´dias de tratamentos utilizando algum teste de comparac¸a˜o de me´dias ou contrastes para
identificar qual ou quais tratamentos e´ ou sa˜o diferente(s).
7.4 Teste de Tukey para Comparac¸a˜o de Me´dias
7.4. Teste de Tukey para Comparac¸a˜o de Me´dias 119
Apo´s concluirmos que existe diferenc¸a significativa entre tratamentos, por meio do
teste F, podemos estar interessados em avaliar a magnitude destas diferenc¸as utilizando
um teste de comparac¸o˜es mu´ltiplas. Sera´ utilizado o teste de Tukey.
O teste de Tukey permite testar qualquer contraste, sempre, entre duas me´dias de
tratamentos, ou seja, na˜o permite comparar grupos entre si.
O teste baseia-se na Diferenc¸a Mı´nima Significativa (DMS) ∆. A estat´ıstica do teste
e´ dada da seguinte forma:
∆ = q
√
QMRes
r
, (7.2)
em que q e´ a amplitude total studentizada, tabelada (tabela 7), QMRes e´ o quadrado me´dio
do res´ıduo, e r e´ o nu´mero de repetic¸o˜es. O valor de q depende do nu´mero de tratamentos
e do nu´mero de graus de liberdade do res´ıduo. Tambe´m, em um teste de comparac¸o˜es
de me´dias, deve-se determinar um n´ıvel de significaˆncia α para o teste. Normalmente,
utiliza-se o n´ıvel de 5% ou 1% de significaˆncia.
Como o teste de Tukey e´, de certa forma, independente do teste F, e´ poss´ıvel que,
mesmo