EQUAÇOES DIFERENCIAIS

Prévia do material em texto

EM2120231TRANSFORMADAS (LAPLACE E FOURIER)
	 
		
	
		1.
		Marque a alternativa que apresenta a transformada de Laplace para função
f(t) = senh(2t)+cosh(2t).
	
	
	
	2s2+4
	
	
	
	2s2−4
	
	
	
	1s−2
	
	
	
	ss2−9
	
	
	
	2s+2
	
	Data Resp.: 21/06/2023 08:33:50
		Explicação: 
A resposta certa é:1s−2
		
	
	
	 
		
	
		2.
		Usando a transformada da integral de f(t), obtenha a transformada de Laplace de
f(t) = cos (8t) sabendo que a transformada de sen (8t) vale 8s2+64
		
	
	
	
	2s(s2−64)
	
	
	
	s(s2+64)
	
	
	
	s+1(s2+64)
	
	
	
	4(s2+64)
	
	
	
	s2(s2+64)
	
	Data Resp.: 21/06/2023 08:36:44
		Explicação: 
A resposta certa é:s+1(s2+64)
		
	
	
	EM2120122EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
	 
		
	
		3.
		Um objeto cai em queda livre a partir do repouso. O objeto tem uma massa de 10 kg. Considere a constante de resistência do ar de 0,5 Ns2/m e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2. Determine a velocidade máxima obtida pelo objeto:
	
	
	
	500 m/s
	
	
	200 m/s
	
	
	400 m/s
	
	
	100 m/s
	
	
	300 m/s
	Data Resp.: 21/06/2023 08:37:44
		Explicação: 
A resposta correta é: 200 m/s
	
	
	 
		
	
		4.
		Obtenha a solução particular da equação diferencial 2s′+4s−8e2x=0
, sabendo que o valor de s pata x=0 vale 2
		:
	
	
	
	s(x)=e2x−e−x
	
	
	
	s(x)=e2x+e−2x
	
	
	
	s(x)=e2x+2e−2x
	
	
	
	s(x)=e2x−2e−2x
	
	
	
	s(x)=ex+2e−x
	
	Data Resp.: 21/06/2023 08:40:55
		Explicação: 
A resposta correta é: s(x)=e2x+2e−2x
		
	
	
	EM2120123EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
	 
		
	
		5.
		Resolva a equação diferencial y′′−2y′=sen(4x)
 com y(0)=140 e y′(0)=95
		.
	
	
	
	y=e2x−1+140cos4x−120sen(4x)
	
	
	
	y=1+e2x−140cos4x+120sen(4x)
	
	
	
	y=1+e2x+120cos4x−120sen(4x)
	
	
	
	y=1−e2x−140cos4x−120sen(4x)
	
	
	
	y=e2x−1+120cos4x−140sen(4x)
	
	Data Resp.: 21/06/2023 08:45:07
		Explicação: 
A resposta correta é: y=e2x−1+140cos4x−120sen(4x)
		
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a solução particular da equação diferencial s′′−6s′+9s=0
 que atenda à condição inicial s(0)=2 e s′(0)=8
		.
	
	
	
	2cos(3x)+2sen(3x)
	
	
	
	4e3x−2
	
	
	
	2e3x+2ex
	
	
	
	xe3x(2+x)
	
	
	
	2e3x(1+x)
	
	Data Resp.: 21/06/2023 08:48:14
		Explicação: 
A resposta correta é: 2e3x(1+x)
		
	
	
	EM2120230SÉRIES
	 
		
	
		7.
		Marque a alternativa correta relacionada à série Σn1n+1(n+1)(n+8)
		
	
	
	
	É convergente com soma 111
	
	
	
	É convergente com soma 18
	
	
	
	É divergente
	
	
	É convergente com soma 110
	
	
	
	É convergente com soma 19
	
	Data Resp.: 21/06/2023 08:50:36
		Explicação: 
A resposta correta é: É convergente com soma 110
		
	
	
	 
		
	
		8.
		Marque a alternativa que apresenta a série de Maclaurin da função f(x)=ex
		.
	
	
	
	f(x)=1−x+x22!−x33!+x44!+...
	
	
	
	f(x)=1−x+x22−x33+x44+...
	
	
	
	f(x)=1+x+x22!+x33!+x44!+...
	
	
	
	f(x)=x+x23!+x34!+x45!+...
	
	
	
	f(x)=1+x+x22+x33+x44+...
	
	Data Resp.: 21/06/2023 08:52:16
		Explicação: 
A resposta correta é: f(x)=1+x+x22!+x33!+x44!+...
		
	
	
	EM2120232APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
	 
		
	
		9.
		Determine o valor da carga de um capacitor Q(t) em um circuito RLC sabendo que R = 20Ω , C = 2 10 ¿ 3 F, L = 1 H e v(t) = 12 sen(10t). Sabe-se que a carga e a corrente elétrica para t = 0 são nulas.
	
	
	
	0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t)
	
	
	e-10t[0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t)
	
	
	e-20t[0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t)
	
	
	e-10t[-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t)
	
	
	e-20t[-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t)
	Data Resp.: 21/06/2023 08:55:34
		Explicação: 
A resposta certa é: e-10t[0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t)
	
	
	 
		
	
		10.
		Um objeto com massa de 2 kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da resistência do ar é de k Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine o valor de k sabendo que ele atinge uma velocidade máxima de 80 m/s.
	
	
	
	0,50
	
	
	0,25
	
	
	1.00
	
	
	0,35
	
	
	0,15
	Data Resp.: 21/06/2023 08:56:45
		Explicação: 
A resposta certa é:0,25
	
	
	EM2120122 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
	 
		
	
		1.
		Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de terceira ordem e grau 2:
	
	
	
	s3−(st′′)2=2t′+3
	
	
	
	dxdz−x2=z(d2xdz2)3
	
	
	
	(3p+1)∂m∂p=2mp
	
	
	
	d2ydx2−(d3ydx3)2=dydx
	
	
	
	∂w∂x+∂2w∂x∂y=xy2
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:19:38
		Explicação: 
A resposta correta é: d2ydx2−(d3ydx3)2=dydx
		
	
	
	 
		
	
		2.
		Obtenha a solução particular para equação diferencial u+(2v+u)v′=0
 sabendo que v(1)=1
		:
	
	
	
	uv+v2−2=0
	
	
	
	uv+u2−2=0
	
	
	
	uv+2u2−4=0
	
	
	
	uv−2u2+1=0
	
	
	
	2uv+u2−3=0
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:19:43
		Explicação: 
A resposta correta é: uv+v2−2=0
		
	
	
	 
		
	
		3.
		Obtenha a solução geral da equação diferencial dydx=2yx
		:
	
	
	
	y=sen(x2)+k,k real
	
	
	
	y=kex2,k real
	
	
	
	y=x2+k,k real
	
	
	
	y=2ex2+k,k real
	
	
	
	y=kln(x2),k real
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:19:47
		Explicação: 
A resposta correta é: y=kex2,k real
		
	
	
	 
		
	
		4.
		Obtenha a solução da equação diferencial 6u2+4cos u−2v′=2
 que atenda av=2 para u=0
		:
	
	
	
	v(u)=3−u−2sen u+u3
	
	
	
	v(u)=2−u+2sen u+u3
	
	
	
	v(u)=1+u+cos u+u2
	
	
	
	v(u)=u+2cos u+u3
	
	
	
	v(u)=2−2u+2sen u+u2
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:19:51
		Explicação: 
A resposta correta é: v(u)=2−u+2sen u+u3
		
	
	
	 
		
	
		5.
		Obtenha a solução particular da equação diferencial 2s′+4s−8e2x=0
, sabendo que o valor de s pata x=0 vale 2
		:
	
	
	
	s(x)=e2x−2e−2x
	
	
	
	s(x)=e2x−e−x
	
	
	
	s(x)=ex+2e−x
	
	
	
	s(x)=e2x+2e−2x
	
	
	
	s(x)=e2x+e−2x
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:19:53
		Explicação: 
A resposta correta é: s(x)=e2x+2e−2x
		
	
	
	 
		
	
		6.
		Um objeto cai em queda livre a partir do repouso. O objeto tem uma massa de 10 kg. Considere a constante de resistência do ar de 0,5 Ns2/m e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2. Determine a velocidade máxima obtida pelo objeto:
	
	
	
	300 m/s
	
	
	400 m/s
	
	
	500 m/s
	
	
	100 m/s
	
	
	200 m/s
	Data Resp.: 04/07/2023 13:19:56
		Explicação: 
A resposta correta é: 200 m/s
	
	
	 
		
	
		7.
		Seja um circuito RL em série com resistência de 10Ω
e indutor de 1H. A tensão é fornecida por uma fonte contínua de 50V, que é ligada em t=0s
		. Determine a corrente máxima obtida no circuito:
	
	
	
	5A
	
	
	
	10A
	
	
	
	25A
	
	
	
	15A
	
	
	
	20A
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:19:58
		Explicação: 
A resposta correta é: 5A
		
	
	
	 
		
	
		8.
		Seja a equação diferencial u(x,z)x′′−2x′+2z2=z2v(x,z)
. Marque a alternativa que apresenta valores para u(x,z) e v(x,z)
		de forma que a equação diferencial seja de segunda ordem, linear e homogênea:
	
	
	
	u(x,z)=z2 e v(x,z)=x3
	
	
	
	u(x,z)=x e v(x,z)=0
	
	
	
	u(x,z)=z2 e v(x,z)=z
	
	
	
	u(x,z)=x e v(x,z)=z
	
	
	
	u(x,z)=0 e v(x,z)=x3
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:20:01
		Explicação: 
A resposta correta é: u(x,z)=z2 e v(x,z)=x3
		
	
	
	 
		
	
		9.
		Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial parcial (EDP):
	
	
	
	xy′+y2=2x
	
	
	
	s2−st=2t+3
	
	
	
	4x−3y2=2
	
	
	
	dxdz−x2=zd2xdz2
	
	
	
	∂w∂x+∂2w∂x∂y=xy2Data Resp.: 04/07/2023 13:20:03
		Explicação: 
A resposta correta é: ∂w∂x+∂2w∂x∂y=xy2
		
	
	
	 
		
	
		10.
		Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial linear homogênea:
	
	
	
	y′′+xy−ln(y′)=2
	
	
	
	2s+3t=5ln(st)
	
	
	
	dydx−xy=3x2
	
	
	
	3vdudv+d2udv2=4u
	
	
	
	st′+2tt′′=3
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:20:07
		Explicação: 
A resposta correta é: 3vdudv+d2udv2=4u
		
	
	
	EM2120123 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
	 
		
	
		1.
		Determine a solução geral da equação diferencial d2udv−3dudv+2u=8
		.
	
	
	
	u=aev+bve−2v−2,a e b reais.
	
	
	
	u=ae−v+be−2v−2,a e b reais.
	
	
	
	u=aev+be2v+2,a e b reais.
	
	
	
	u=avev+be2v−2,a e b reais.
	
	
	
	u=aev+be2v−2,a e b reais.
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:22:50
		Explicação: 
A resposta correta é: u=aev+be2v+2,a e b reais.
		
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja a equação diferencial y′′+4y=0
. Sabe-se que as funções y=cos(2x) e y=3sen(2x) são soluções da equação dada. Determine uma solução que atenda a condição inicial de y(0)=1 e y′(0)=4
		.
	
	
	
	cosx+sen(x)
	
	
	
	cos(x)−2sen(2x)
	
	
	
	cos(2x)+2sen(2x)
	
	
	
	cos(2x)+2sen(x)
	
	
	
	−cos(2x)+3sen(2x)
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:22:52
		Explicação: 
A resposta correta é: cos(2x)+2sen(2x)
		
	
	
	 
		
	
		3.
		Resolva o problema de contorno que atenda à equação 16x′′+x=0
 e x(0)=4 e x(2π)=3
		.
	
	
	
	4ex4+3xex4
	
	
	
	4cos(x4)+3sen(x4)
	
	
	
	4excos(x4)+3exsen(x4)
	
	
	
	3ex3+2e−x3
	
	
	
	2cos(x4)−4sen(x4)
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:22:55
		Explicação: 
A respsota correta é: 4cos(x4)+3sen(x4)
		
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a solução da equação diferencial 2x2y′′+6xy′+2y=0
 para x>0
		.
	
	
	
	y=2ax−1xlnx, a e b reais.
	
	
	
	y=ax+bx, a e b reais.
	
	
	
	y=aln(x2)+bx, a e b reais.
	
	
	
	y=ax+bxlnx, a e b reais.
	
	
	
	y=aex+bxex, a e b reais.
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:22:58
		Explicação: 
A resposta correta é: y=ax+bxlnx, a e b reais.
		
	
	
	 
		
	
		5.
		Resolva a equação diferencial y′′−2y′=sen(4x)
 com y(0)=140 e y′(0)=95
		.
	
	
	
	y=1+e2x+120cos4x−120sen(4x)
	
	
	
	y=e2x−1+120cos4x−140sen(4x)
	
	
	
	y=1−e2x−140cos4x−120sen(4x)
	
	
	
	y=e2x−1+140cos4x−120sen(4x)
	
	
	
	y=1+e2x−140cos4x+120sen(4x)
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:23:00
		Explicação: 
A resposta correta é: y=e2x−1+140cos4x−120sen(4x)
		
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a solução particular da equação diferencial s′′−6s′+9s=0
 que atenda à condição inicial s(0)=2 e s′(0)=8
		.
	
	
	
	2e3x(1+x)
	
	
	
	xe3x(2+x)
	
	
	
	2e3x+2ex
	
	
	
	2cos(3x)+2sen(3x)
	
	
	
	4e3x−2
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:23:03
		Explicação: 
A resposta correta é: 2e3x(1+x)
		
	
	
	 
		
	
		7.
		Determine a solução geral da equação diferencial y′′+4y=10ex
		.
	
	
	
	y=acos(2x)+bsen(2x)+x2
	
	
	
	y=acos(2x)+bsen(2x)+2ex
	
	
	
	y=acos(2x)+bxsen(2x)+2x
	
	
	
	y=aex+bxe2x+2cos(2x)
	
	
	
	y=aexcos(2x)+bexsen(2x)+2ex
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:23:17
		Explicação: 
A resposta correta é: y=acos(2x)+bsen(2x)+2ex
		
	
	
	 
		
	
		8.
		Determine a solução geral da equação diferencial 2y′′−12y′+20y=0
		.
	
	
	
	axe3xcos(x)+bxe3xsen(x), a e b reais.
	
	
	
	ae3xcos(x)+be3xsen(x), a e b reais.
	
	
	
	ae−3xcos(x)+be−3xsen(x), a e b reais.
	
	
	
	axexcos(x)+bxexsen(x), a e b reais.
	
	
	
	aexcos(3x)+bexsen(3x), a e b reais.
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:23:06
		Explicação: 
A resposta correta é: ae3xcos(x)+be3xsen(x), a e b reais.
		
	
	
	 
		
	
		9.
		Determine quais os intervalos no qual podemos garantir que a equação diferencial y′′+4x2y′+4y=cosx
		 tenha solução única para um problema de valor inicial.
	
	
	
	x≥0
	
	
	
	x>0
	
	
	
	x<0
	
	
	
	x≤0
	
	
	
	−∞<x<∞
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:23:09
		Explicação: 
A resposta correta é: −∞<x<∞
		
	
	
	 
		
	
		10.
		Resolva a equação diferencial y′′+4y′+13y=0
		.
	
	
	
	acos(3x)+bsen(3x), a e b reais.
	
	
	
	acos(2x)+bsen(2x), a e b reais.
	
	
	
	ae−2x+bxe−2x, a e b reais.
	
	
	
	ae−3x+be−2x, a e b reais.
	
	
	
	ae−2xcos(3x)+be−2xsen(3x), a e b reais.
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:23:12
		Explicação: 
A resposta correta é: ae−2xcos(3x)+be−2xsen(3x), a e b reais.
		
	
	EM2120230 - SÉRIES
	 
		
	
		1.
		Marque a alternativa correta em relação às séries Σ∞1(8n2+51+16n2)n
		.
	
	
	
	É absolutamente convergente.
	
	
	É divergente.
	
	
	Nada se pode concluir quanto à sua convergência.
	
	
	É condicionalmente convergente.
	
	
	É convergente porém não é absolutamente convergente.
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:08
		Explicação: 
A resposta correta é: É absolutamente convergente.
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o terceiro termo da série numérica associado à sequência an=2n3n−1−2
, se iniciando para n=1
		.
	
	
	
	87
	
	
	
	1121
	
	
	
	297
	
	
	
	35
	
	
	
	353
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:11
		Explicação: 
A resposta correta é: 297
		
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a soma da série associada à sequência an=3n−15n−1
. A série se inicia para n=1
		
	
	
	
	112
	
	
	
	32
	
	
	
	72
	
	
	
	92
	
	
	
	52
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:13
		Explicação: 
A resposta correta é: 52
		
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência Σ∞1(x+4)k(k+1)!
		
	
	
	
	0 e [12]
	
	
	
	12 e (−12,12]
	
	
	
	1 e (−12,12]
	
	
	
	∞ e (−∞,∞)
	
	
	
	12 e (−1,12]
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:16
		Explicação: 
A resposta correta é: ∞ e (−∞,∞)
		
	
	
	 
		
	
		5.
		Marque a alternativa que apresenta a série de Maclaurin da função f(x)=ex
		.
	
	
	
	f(x)=1−x+x22−x33+x44+...
	
	
	
	f(x)=x+x23!+x34!+x45!+...
	
	
	
	f(x)=1−x+x22!−x33!+x44!+...
	
	
	
	f(x)=1+x+x22!+x33!+x44!+...
	
	
	
	f(x)=1+x+x22+x33+x44+...
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:18
		Explicação: 
A resposta correta é: f(x)=1+x+x22!+x33!+x44!+...
		
	
	
	 
		
	
		6.
		Marque a alternativa correta relacionada à série Σn1n+1(n+1)(n+8)
		
	
	
	
	É convergente com soma 18
	
	
	
	É convergente com soma 19
	
	
	
	É convergente com soma 111
	
	
	
	É convergente com soma 110
	
	
	
	É divergente
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:22
		Explicação: 
A resposta correta é: É convergente com soma 110
		
	
	
	 
		
	
		7.
		Marque a alternativa correta em relação às séries sn=Σ∞1n3+2n√n7+1
 e tn=Σ∞145n−1
		.
	
	
	
	Ambas são divergentes.
	
	
	Não é possível analisar a convergência das séries.
	
	
	Ambas são convergentes.
	
	
	A série sn
é divergente e tn
	é convergente.
	
	
	A série sn
é convergente e tn
	é divergente.
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:27
		Explicação: 
A resposta correta é: A série sn
é divergente e tn
		é convergente.
	
	
	 
		
	
		8.
		Marque a alternativa correta em relação à série Σ∞131+5n
		.
	
	
	
	É convergente com soma no intervalo (12,34)
	
	
	
	É convergente com soma no intervalo (16,13)
	
	
	
	É convergente com soma no intervalo (14,34)
	
	
	
	É divergente
	
	
	É convergente com soma no intervalo (14,13)
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:29
		Explicação: 
A resposta correta é: É convergente com soma no intervalo (12,34)
		
	
	
	 
		
	
		9.
		Marque a alternativa correta em relação àsséries sn=Σ∞1(k+1)k+1(k+1)!
 e tn=Σ∞13k+2k+1!
		.
	
	
	
	Não é possível analisar a convergência das séries.
	
	
	Ambas são divergentes.
	
	
	A série sn
é divergente e tn
	é convergente.
	
	
	A série sn
é convergente e tn
	é divergente.
	
	
	Ambas são convergentes.
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:32
		Explicação: 
A resposta correta é: A série sn
é divergente e tn
		é convergente.
	
	
	 
		
	
		10.
		Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência Σ∞1(x−5)k(k+1)!
		
	
	
	
	1 e (1,5)
	
	
	
	0 e [5]
	
	
	
	∞ e [5]
	
	
	
	∞ e (−∞,∞)
	
	
	
	0 e [−5]
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:35
		Explicação: 
A resposta correta é: 0 e [5]
		
	
	EM2120230 - SÉRIES
	 
		
	
		1.
		Marque a alternativa correta em relação às séries Σ∞1(8n2+51+16n2)n
		.
	
	
	
	É absolutamente convergente.
	
	
	É divergente.
	
	
	Nada se pode concluir quanto à sua convergência.
	
	
	É condicionalmente convergente.
	
	
	É convergente porém não é absolutamente convergente.
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:08
		Explicação: 
A resposta correta é: É absolutamente convergente.
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o terceiro termo da série numérica associado à sequência an=2n3n−1−2
, se iniciando para n=1
		.
	
	
	
	87
	
	
	
	1121
	
	
	
	297
	
	
	
	35
	
	
	
	353
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:11
		Explicação: 
A resposta correta é: 297
		
	
	
	 
		
	
		3.
		Determine a soma da série associada à sequência an=3n−15n−1
. A série se inicia para n=1
		
	
	
	
	112
	
	
	
	32
	
	
	
	72
	
	
	
	92
	
	
	
	52
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:13
		Explicação: 
A resposta correta é: 52
		
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência Σ∞1(x+4)k(k+1)!
		
	
	
	
	0 e [12]
	
	
	
	12 e (−12,12]
	
	
	
	1 e (−12,12]
	
	
	
	∞ e (−∞,∞)
	
	
	
	12 e (−1,12]
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:16
		Explicação: 
A resposta correta é: ∞ e (−∞,∞)
		
	
	
	 
		
	
		5.
		Marque a alternativa que apresenta a série de Maclaurin da função f(x)=ex
		.
	
	
	
	f(x)=1−x+x22−x33+x44+...
	
	
	
	f(x)=x+x23!+x34!+x45!+...
	
	
	
	f(x)=1−x+x22!−x33!+x44!+...
	
	
	
	f(x)=1+x+x22!+x33!+x44!+...
	
	
	
	f(x)=1+x+x22+x33+x44+...
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:18
		Explicação: 
A resposta correta é: f(x)=1+x+x22!+x33!+x44!+...
		
	
	
	 
		
	
		6.
		Marque a alternativa correta relacionada à série Σn1n+1(n+1)(n+8)
		
	
	
	
	É convergente com soma 18
	
	
	
	É convergente com soma 19
	
	
	
	É convergente com soma 111
	
	
	
	É convergente com soma 110
	
	
	
	É divergente
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:22
		Explicação: 
A resposta correta é: É convergente com soma 110
		
	
	
	 
		
	
		7.
		Marque a alternativa correta em relação às séries sn=Σ∞1n3+2n√n7+1
 e tn=Σ∞145n−1
		.
	
	
	
	Ambas são divergentes.
	
	
	Não é possível analisar a convergência das séries.
	
	
	Ambas são convergentes.
	
	
	A série sn
é divergente e tn
	é convergente.
	
	
	A série sn
é convergente e tn
	é divergente.
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:27
		Explicação: 
A resposta correta é: A série sn
é divergente e tn
		é convergente.
	
	
	 
		
	
		8.
		Marque a alternativa correta em relação à série Σ∞131+5n
		.
	
	
	
	É convergente com soma no intervalo (12,34)
	
	
	
	É convergente com soma no intervalo (16,13)
	
	
	
	É convergente com soma no intervalo (14,34)
	
	
	
	É divergente
	
	
	É convergente com soma no intervalo (14,13)
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:29
		Explicação: 
A resposta correta é: É convergente com soma no intervalo (12,34)
		
	
	
	 
		
	
		9.
		Marque a alternativa correta em relação às séries sn=Σ∞1(k+1)k+1(k+1)!
 e tn=Σ∞13k+2k+1!
		.
	
	
	
	Não é possível analisar a convergência das séries.
	
	
	Ambas são divergentes.
	
	
	A série sn
é divergente e tn
	é convergente.
	
	
	A série sn
é convergente e tn
	é divergente.
	
	
	Ambas são convergentes.
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:32
		Explicação: 
A resposta correta é: A série sn
é divergente e tn
		é convergente.
	
	
	 
		
	
		10.
		Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência Σ∞1(x−5)k(k+1)!
		
	
	
	
	1 e (1,5)
	
	
	
	0 e [5]
	
	
	
	∞ e [5]
	
	
	
	∞ e (−∞,∞)
	
	
	
	0 e [−5]
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:24:35
		Explicação: 
A resposta correta é: 0 e [5]
		
	
	EM2120232 - APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
	 
		
	
		1.
		Um objeto com massa de 5 kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da resistência do ar é de 0,5 Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a expressão da velocidade em função do tempo obtida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da gravidade como 10 m/s2.
	
	
	
	v(t)=50(1-e-0,2t)m/s 
	
	
	v(t)=50(1-e-0,1t)m/s 
	
	
	v(t)=150(1-e-0,2t)m/s 
	
	
	v(t)=150(1-e-0,1t)m/s 
	
	
	v(t)=100(1-e-0,1t)m/s 
	Data Resp.: 04/07/2023 13:32:23
		Explicação: 
A resposta certa é:v(t)=100(1-e-0,1t)m/s 
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o valor da carga de um capacitor Q(t) em um circuito RLC sabendo que R = 20Ω , C = 2 10 ¿ 3 F, L = 1 H e v(t) = 12 sen(10t). Sabe-se que a carga e a corrente elétrica para t = 0 são nulas.
	
	
	
	e-20t[-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t)
	
	
	e-10t[-0,012cos(20t)+0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)-0,024 sen(10t)
	
	
	e-20t[0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t)
	
	
	e-10t[0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t)
	
	
	0,012cos(20t)-0,006 sen(20t)]+0,012cos(10t)+0,024 sen(10t)
	Data Resp.: 04/07/2023 13:32:27
		Explicação: 
A resposta certa é: e-10t[0,012cos20t-0,006 sen20t]+0,012cos10t+0,024 sen(10t)
	
	
	 
		
	
		3.
		Um objeto com massa de 2 kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da resistência do ar é de k Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine o valor de k sabendo que ele atinge uma velocidade máxima de 80 m/s.
	
	
	
	0,25
	
	
	0,15
	
	
	0,50
	
	
	1.00
	
	
	0,35
	Data Resp.: 04/07/2023 13:32:30
		Explicação: 
A resposta certa é:0,25
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja um circuito RC em série com resistência de 100Ω e capacitor de 1F. A tensão é fornecida por meio de uma fonte contínua de 50V ligada em t = 0s. Determine a corrente no capacitor após 2 s.
	
	
	
	0,5 e -150
	
	
	
	0,25 e -150
	
	
	
	0,25 e -1
	
	
	0,25 e-1100
	
	
	
	0,5 e -1100
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:32:32
		Explicação: 
A resposta certa é:0,25 e -150
		
	
	
	 
		
	
		5.
		Uma esfera com 200 C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a 1000 C. Sabendo que a constante de tempo de aquecimento vale 10 seg., determine a temperatura da esfera, em 0C, após 10 seg.
	
	
	
	Entre 80 e 90
	
	
	Entre 100 e 110
	
	
	Entre 60 e 70
	
	
	Entre 70 e 80
	
	
	Entre 90 e 100
	Data Resp.: 04/07/2023 13:32:35
		Explicação: 
A resposta certa é:Entre 70 e 80
	
	
	 
		
	
		6.
		Você foi incumbido de delimitar um terreno retangular de 300 m2 usando muros externos e divisórias internas como mostrado na figura abaixo.
 
Fonte: YDUQS, 2023.
 
Sabendo-se que o preço do muro é de R$ 10,00/m e o preço das divisórias é de R$ 5,00/m, determine as dimensões do terreno de modo que o custo total seja o menor possível.
	
	
	
	x=10√10m e y=10√10m.
	
	
	
	x=5√10m e y=6√10m.
	
	
	
	x=5√6m e y=10√6m.
	
	
	
	x=6√10m e y=6√10m.
	
	
	
	x=6√10m e y=5√6m.Data Resp.: 04/07/2023 13:32:39
		Explicação: 
Área do terreno:
Aret. =xy=300m2
Sabe-se que, pela figura, serão necessários 2x+y metros de divisórias e 2x+2y metros de muro. Assim, o custo total será:
C=5(2x+y)+10(2x+2y)=10x+5y+20x+200y=30x+25y
Usando a equação da área para isolar o y em função do x :
y=300x
Voltando na equação e custo:
C=30x+25y=30x+25(300x)=30x+7500x
Derivando o custo para obter o custo mínimo:
C′=30+7500x2=30x2+7500x2
Verificando os pontos críticos, fazendo C′=0
30x2+7500x2=030x2+7500=0→x2=250→x=√250=5√10
Analisando o sinal da derivada:
Quando x<5√10:C′<0
Quando x>5√10:C′>0
portanto x=5√10
é um mínimo da função.
Voltando na equação da área e substituindo o valor de x
encontrado para determinar o valor de y
5√10⋅y=300y=3005√10=60√10=60√1010=6√10
As dimensões para minimizar o custo em delimitar o terreno são:
x=5√10m e y=6√10m.
		
	
	
	 
		
	
		7.
		Deseja-se construir uma janela normanda, para isso coloca-se um semicírculo em cima de uma janela retangular, conforme esquematizada na figura abaixo. Encontre as dimensões da janela de área máxima, sabendo-se que seu perímetro é de 5 m.
Fonte: YDUQS, 2023.
	
	
	
	x=54+πm e y=104+πm.
	
	
	
	x=14+πm e y=14+πm.
	
	
	
	x=204+πm e y=54+πm.
	
	
	
	x=102+πm e y=52+πm.
	
	
	
	x=104+πm e y=54+πm.
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:32:56
		Explicação: 
Para encontrar a área máxima, vamos dividir em duas áreas diferentes, do retângulo e do semicírculo:
Aret. =xyAsem. =πr22
Sabemos que r=x2, logo
Asem. =π(x2)22=πx28
Área total da janela:
Atotal =Aret. +Asem. =xy+πx28
Determinando a relação entre as variáveis a partir do perímetro que vale 5m :
2y+x+2πr2=5
2y+x+πr=5
Substituindo o r por x2, temos:
2y+x+πx2=5
Isolando y :
2y=5−x−πx2=10−2x−πx2y=10−2x−πx4=10−x(2+π)4
Substituindo y, na equação de área total, temos:
Atotal =xy+πx28=x(10−x(2+π)4)+πx28=10x−x2(2+π)4+πx28Atotal =20x−x2(2+π)+πx28=20x−4x2−πx28Atotal =5x2−−x22−πx28
Agora derivando para encontrar o seu máximo:
A′total =52−x−πx4=10−4x−πx4=10−x(4+π)4
Igualando a zero, temos:
A′total =010−x(4+π)4=010−x(4+π)=0x(4+π)=10x=104+π
Agora precisamos descobrir se o ponto encontrado é o máximo da função. Analisando o sinal da derivada perto de x=104+π′, temos:
- Antes de x=104+π:A′total >0
- Depois de x=104+π:A′total <0
Logo, x=104+π
é um ponto de máximo local.
Também precisamos do valor de y
quando x=104+π. Sabemos que
y=10−x(2+π)4
Substituindo o valor de x que encontramos
y=10−104+π⋅(2+π)4=10(4+π)−10⋅(2+π)4+π4=40+10π−20+10π4+π4
y=204+π4=204(4+π)=54+π
Assim, as dimensões para a janela de área máxima devem ser:
x=104+πm
e
y=54+πm
		
	
	
	 
		
	
		8.
		O peso de um astronauta pode ser monitorado por meio da expressão W=100(52005200+x)2
, onde W é o peso (kg) e x é a distância até o nível do mar (km). Determine o valor da variação do peso com o tempo, em kg/s, para uma velocidade de 1,2Km/s e altura de 2000Km
		.
	
	
	
	-0,018.
	
	
	0,018.
	
	
	0,019.
	
	
	-0,017.
	
	
	0.
	Data Resp.: 04/07/2023 13:33:03
		Explicação: 
Velocidade: dxdt
Precisamos encontrar uma relação para dWdt :
dWdt=dWdxdxdt
Determinando dWdx :
dWdx=ddx[100(52005200+x)2]=100⋅ddx[(52005200+x)2] Chamando de 52005200+x=u;dWdx=100⋅ddx[u2]=100⋅ddu[u2]dudx
Aplicando regra do quociente para determinar dudx :
g(x)=5200→g′(x)=0h(x)=5200+x→h′(x)=1dudx=g′(x)h(x)−g′(x)h′(x)[h(x)]2=0⋅5200+x−5200⋅1[5200+x]2=−5200[5200+x]2
dudx=−5200[5200+x]2
Voltando a dWdx :
dWdx=100⋅ddx[u2]=100⋅ddu[u2]dudx=100⋅2u⋅dudxdWdx=100⋅2(52005200+x)⋅(−5200[5200+x]2)
dWdt=−200(5200)2(5200+x)3dxdt
Como dxdt=v=1,2Km/srx=2000Km, temos:
dWdt=−200(5200)2(5200+x)3dxdt=−200(5200)2(5200+2000)3⋅1,2=−0,017kg/sdWdt=−0,017kg/s
		
	
	
	 
		
	
		9.
		Um circuito RLC é formado por uma fonte de tensão de 1,5V
, um resistor de 20Ω, um capacitor de 10−3F e um indutor de 0,1H
		todos conectados em série. Determine a corrente que circula pelo circuito em todo tempo, se inicialmente o capacitor estiver totalmente descarregado e não flui corrente sobre o circuito.
	
	
	
	i(t)=15e−100tA.
	
	
	
	i(t)=0,015e−100tA.
	
	
	
	i(t)=150e−100tA.
	
	
	
	i(t)=0,15e−100tA.
	
	
	
	i(t)=1,5e−100tA.
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:33:09
		Explicação: 
A equação para um circuito RLC é dada por:
Ldidt+Ri+qC=V(t)→0,1didt+20i+10−3q=1,5
Rearranjando:
d2qdt2+200dqdt+104q=15
Para resolver, vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar. Primeiramente determinaremos a solução geral da equação homogênea associada e posteriormente a solução particular dessa EDO não-homogênea.
Neste caso, temos que a equação homogênea associada é:
d2qdt2+200dqdt+104q=0
Com as condições iniciais q(0)=0C e i(0)=0A. A equação característica é r2+200r+104=0
As raízes são: r′=r′′=−100.
Como as raízes são iguais, a solução geral da equação homogênea fica
qh(t)=C1e−100t+C2e−100t
Por outro lado, uma solução particular é
qp(t)=1510000=0,0015
A carga é dada por:
q(t)=qp(t)+qh(t)→q(t)=0,0015+C1e−100t+C2e−100t
Derivando a carga em relação ao tempo para se obter a corrente no circuito:
i(t)=−100C1e−100t+C2e−100t−100C2e−100t
Usando as condições iniciais, q(0)=0C
e i(0)=0A, obtemos as equações:
0,0015+C1=0−100C1+C2=0
De onde, temos C1=−0,0015 e C2=−0,15
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a corrente é:
i(t)=−100(−0,0015)e−100t+(−0,15)e−100t−100(−0,15)e−100ti(t)=0,15e−100t−0,15e−100t+15e−100ti(t)=15e−100tA
		
	
	
	 
		
	
		10.
		Um circuito em série consiste em um indutor de 0,25H
, um resistor de 40Ω, um capacitor de 4×10−4F e uma força eletromotriz dada por V(t)=5sen100tV. Se a corrente inicial e a carga inicial no capacitor são ambos zeros, determinar a carga no capacitor para qualquer tempo t>0
		.
	
	
	
	q(t)=e−80t(1600cos60x+1800sen60x)−1800cos100t
	
	
	
	q(t)=e−20t(1800cos60x+1600sen60x)−1800cos100t
	
	
	
	q(t)=e−80t(1800cos60x+1600sen60x)−1800cos10t
	
	
	
	q(t)=e−80t(1800cos60x+1600sen60x)−1800cos100t
	
	
	
	q(t)=e−80t(180cos60x+160sen60x)−180cos100t
	
	Data Resp.: 04/07/2023 13:33:15
		Explicação: 
A equação para um circuito RLC é dada por:
Ldidt+Ri+qC=V(t)→0,25didt+40i+q4x10−4=5sen100tV
Rearranjando após multiplicar os membros por 4 :
d2qdt2+160dqdt+10000q=20sen100t
Note que se trata de uma EDO linear de segunda ordem não-homogênea de coeficientes.
A equação característica da equação homogênea associada é
r2+160r+10000=0
As raízes são: r′=−80+60i e r′′=−80−60i.
Como tem raízes complexas conjugadas, a solução geral será da forma
y(x)=eax(C1cosbx+C2senbx)
Logo,
qh(t)=e−80t(C1cos60x+C2sen60x)
Usando o método dos coeficientes a determinar, chega-se à solução particular:
qp(t)=−1800cos100t
A solução dessa EDO é
q(t)=qp(t)+qh(t)→q(t)=e−80t(C1cos60x+C2sen60x)−1800cos100t
Das condições iniciais q(0)=0C e i(0)=0A segue que
C1−1800=0−80C1+60C2=0
De onde, temos C1=1800 e C2=1600
.
Então substituindo os valores encontrados, temos que a que a carga é:
q(t)=e−80t(C1cos60x+C2sen60x)−1800cos100tq(t)=e−80t(1800cos60x+1600sen60x)−1800cos100t