Relatório 2 - Sistema massa-mola

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA EM ENERGIA E SUSTENTABILIDADE 
 
 
 
 
 
AUGUSTO GIBSON 
CHAYENNE FRANCYS 
WASHINGTON L. SANTANA
VAL MOREIRA 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO EXPERIMENTAL: SISTEMA MASSA-MOLA 
 
 
 
 
 
 
 
 
FEIRA DE SANTANA - BA 
2022 
 
 
AUGUSTO GIBSON 
CHAYENNE FRANCYS 
WASHINGTON L. SANTANA 
VAL MOREIRA 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO EXPERIMENTAL: SISTEMA MASSA-MOLA 
 
 
 
 
Relatório experimental apresentado ao curso de Bacharelado Interdisciplinar em Energia e Sustentabilidade como requisito para aprovação no componente curricular obrigatório Oscilações, Fluidos e Termodinâmica. 
Prof. Orientador: Dr. João Paulo. 
 
 
 
 
 
 
FEIRA DE SANTANA - BA 
2022 
RESUMO 
 
Relatório referente à aula prática de Oscilações, Fluidos e Termodinâmica que tem como objetivo estudar o modelo do movimento harmônico simples de um sistema massa-mola. O experimento configura-se com uma massa , ligada a uma mola de constante elástica , deslocada da sua posição de equilíbrio ao longo do comprimento da mola. Ao ser liberada, a massa oscila ao redor da sua posição de equilíbrio com período , sujeita à ação de uma força restauradora proporcional à elongação da mola. Com o uso do cronômetro digital, quatro massas e duas molas, valores de foram medidos. Assim, construímos o gráfico , passando pela origem e com as devidas unidades, que melhor representa os pontos experimentais; comparando com a equação do modelo teórico para , obtemos o valor de igual a 41,94±6,63 N/m para a mola menor e igual a 20,35±1,21 N\m para a mola maior. 
Palavras-chaves: Constante elástica. Deformação da mola. Lei de Hooke. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO	5 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA	6 
3. MATERIAIS E MÉTODOS	8 
4. PROCESSAMENTO DE DADOS	9 
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO	11 
6. CONCLUSÃO	13 
REFERÊNCIAS	13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
Qualquer movimento que se repete em intervalos de tempo iguais constitui um movimento periódico. O movimento oscilatório é um caso especial de movimento periódico; dizemos, então, que o movimento é oscilatório se ele for periódico e se o sentido do movimento, determinado, no caso unidimensional pelo sinal da velocidade, for invertido a intervalos de tempos regulares (Halliday; Resnick; Walker, 2009).
Oscilações são encontradas em todos os campos da física. Nussenzveig (2014) exemplifica situações nas quais podem ser encontrados sistemas físicos que sofrem oscilações. Nas palavras dele 
[...] Exemplos de sistemas mecânicos vibratórios incluem pêndulos, diapasões, cordas de instrumentos musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro. A corrente elétrica alternada de que nos servimos é oscilatória, e oscilações da corrente em circuitos elétricos têm inúmeras aplicações importantes. (NUSSENZVEIG, 2014, p. 59).
A forma mais simples de oscilação é o estudo do movimento harmônico simples (MHS). Vejamos: consideremos um sistema massa-mola, isto é, um sistema constituído por uma massa suspensa verticalmente por uma mola; quando a elongamos por um valor , mediante o deslocamento da extremidade da mola, uma força restauradora age procurando sempre trazer a mola para a sua posição de equilíbrio. 
Os corpos materiais exibem um MHS apenas para pequenos valores dos deslocamentos. Se aumentarmos o deslocamento do corpo, a força restauradora não tem um comportamento linear. Portanto, se passarmos do limite clássico de uma mola, ela não retornará à posição de equilíbrio: produzem-se deformações permanentes; podendo até ocorrer a ruptura do material, conforme a Figura 1. 
Figura 1: Relação entre a elongação e a força aplicada em um sistema massa-mola, enfatizando o limite elástico e o ponto de ruptura. 
Fonte: Marques (2011). 
Ainda pela Figura 1, podemos observar que dentro do limite elástico, há uma relação linear entre a força aplicada e a deformação da mola, linearidade esta que expressa uma relação conhecida como Lei de Hooke; desenvolvida pelo físico inglês Robert Hooke em meados do século XVII (Marechal, 2010). Lançando mão dessa lei, montamos um aparato experimental para obter a constante elástica num sistema massa-mola. 
Para que o experimento seja facilmente compreendido foi feita uma breve abordagem teórica sobre o modelo supracitado, explicando os desenvolvimentos fundamentais para a compreensão dos resultados obtidos. Na sequência, este relatório apresenta os materiais utilizados e os procedimentos experimentais realizados. A seguir, tem-se a análise dos dados obtidos com o experimento e, por fim, a conclusão. 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
Consideremos um sistema composto por uma massa presa a uma mola helicoidal, de massa desprezível, com constante elástica , conforme a Figura 2. A Figura 2 (b) representa uma situação de equilíbrio estável da massa , na qual agem a força restauradora da mola e a força peso , sendo nula a força resultante sobre o sistema. 
Figura 2: Em (a) ilustramos uma mola não alongada, pendurada por uma de suas extremidades. (b) mola alongada devido a um corpo de massa pendurado em sua outra extremidade. 
Fonte: Toginho Filho; Zapparoli; Pantoja, 2012.
A força elástica , de acordo com a Lei de Hooke, é expressa por
 , (1)
onde representa o módulo do deslocamento. O sinal negativo significa que a força elástica se opõe tanto a aumentos quanto a reduções dos deslocamentos. Assim, se designar a coordenada associada ao deslocamento a partir do ponto de equilíbrio, quando este for positivo, a força resulta negativa e, portanto, a força tem o sentido da origem (Marques, 2011). 
No entanto, para valores negativos da coordenada , a força tem sinal positivo e, de novo, apontando para a origem. O fato é que, independentemente de onde o corpo esteja, essa força procura sempre trazer o corpo em direção à origem, que é o ponto de equilíbrio; essa é uma tendência natural da mola, dentro do limite elástico. 
Se houver uma elongação inicial do sistema massa-mola de modo que este oscile livremente, sem amortecimentos, a equação de movimento pode ser escrita como segue 
Se a origem do referencial for definida na posição de equilíbrio do sistema massa-mola, a equação de movimento é escrita como:
A equação (3) é uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução geral é do tipo
com sendo a frequência angular do oscilador, a posição da massa em relação à origem do referencial em função do tempo , a amplitude da oscilação e é a fase inicial do movimento. 
Por sua vez, a frequência natural de oscilação do sistema é definida pelo número de oscilações por unidade de tempo. O período de oscilação do sistema é definido como o tempo de duração de uma única oscilação. A relação entre essas grandezas é escrita como 
A frequência natural do sistema está associada à frequência angular pela equação
Assim, temos 
Essa é a equação para obtida a partir do modelo teórico apresentado. 
MATERIAIS E MÉTODOS
 
Para a realização deste experimento, foram utilizados os seguintes materiais: 
· Duas molas helicoidais; 
· Um conjunto de massas acopláveis; 
· Uma régua milimetrada;
· Uma balança digital. 
Durante a realização do experimento foram executadas as seguintes etapas: 
1. Com o auxílio da balança digital medimos a massa dos quatro discos utilizados para o desenvolvimento do experimento; desconsideramos a massa do suporte e das molas, pois são muito pequenas comparada as massas dos discos;
2. Dispomos do aparato experimental, como o ilustrado na Figura 3, onde a mola se encontra suspensa a certa altura da mesa e atada a esta se encontra uma haste de suporte para os discos massivos.
3. Para cada massa adicionada ao suporte, usando a régua, puxamos a massa com um deslocamento aproximado de 1 cm, medida a partir da sua posição de equilíbrio;
4. Após a soltura da massa, a partir da posição de deformação, o cronômetro foi ativado e registramos o período de 10 oscilações completas. Repetimos o processo 10 vezes para cada mola e cada massa. 
Figura3: Conjunto Lei de Hooke e MHS da marca Cidepe. 
Fonte: Disponível em: <www.cidepe.com.br>.
PROCESSAMENTO DE DADOS 
Os dados obtidos foram organizados nas tabelas abaixo, os valores da média 𝑥̅ e do desvio padrão σ foram calculados a partir das seguintes fórmulas: 
𝑥1 +𝑥2 +⋯+𝑥𝑛
𝑥̅ = , 
𝑛
.
	Massas
 
	
	 
	58,00
	 
	81,76 
	 
	105,59 
	 
	129,40 
Tabela 1: Valores das massas dos discos usados no experimento. 
	Medições 
 
	 
	
	 
	
	1 
	2,51
	2,91 
	3,08 
	3,38
	2 
	2,79 
	2,82 
	3,14
	3,53 
	3 
	2,85 
	2,73 
	3,17 
	3,32 
	4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
Média 
Desvio Padrão 
	2,63 
2,53 
2,82 
2,69 
2,89 
2,89
2,64
2,72
0,14
	2,91
2,88 
2,98 
2,86 
2,85 
2,73 
2,88 
2,85
0,08
	3,11 
3,07 
3,01 
3,03 
3,26 
3,29 
3,13
3,13
0,09 
	3,32 
3,29 
3,20 
3,29 
3,35
3,38
3,33
3,34
0,08
Tabela 2: Valores do período de oscilação para cada disco massivo usando a mola menor.
	Medições 
 
	 
	 
	 
	 
	1 
	3,32
	3,88 
	4,58 
	4,92
	2 
	3,20 
	4,02 
	4,51
	5,01 
	3 
	3,17 
	3,92 
	4,54 
	4,98 
	4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
Média 
Desvio Padrão 
	3,23 
3,38 
3,38 
3,33 
3,35 
3,33
3,32
3,30
0,07
	3,95
3,94 
4,08 
3,95 
4,08 
4,01 
3,92 
3,97
0,07
	4,51 
4,45 
4,48 
4,64 
4,64
4,45 
4,57
4,54
0,07
	4,86 
5,13 
4,98 
5,07 
5,13
5,07
5,07
5,02
0,09
Tabela 3: Valores do período de oscilação para cada disco massivo usando a mola maior.
RESULTADOS E DISCUSSÃO 
Lançando mão das Tabelas 1 a 3, foi possível plotar o gráfico com o uso do software Origin. 
Gráfico 1: Gráfico do período médio de oscilação em função da massa, usando a mola maior. 
Fonte: (acervo dos autores, 2022). 
Gráfico 2: Gráfico do período médio de oscilação em função da massa, usando a mola menor. 
Fonte: (acervo dos autores, 2022). 
 É necessária uma conveniente transformação nos eixos dos gráficos 1 e 2. Dessa maneira, plotamos mais um gráfico e, desta vez, tendo conhecimento da maneira como se comporta o período de um sistema massa-mola em função da massa (7), plotamos o gráfico (𝑇2×), visando obter uma função linearizada. 
Gráfico 3: Gráfico do período médio de oscilação ao quadrado em função da massa, usando a mola maior.
Fonte: (acervo dos autores, 2022). 
 
Gráfico 4: Gráfico do período médio de oscilação ao quadrado em função da massa, usando a mola menor.
Fonte: (acervo dos autores, 2022). 
Com a equação (7) conhecemos, a priori, o tipo da função que relaciona as grandezas envolvidas, assim usaremos o método da anamorfose. Onde os gráficos 3 e 4 têm natureza linear, conforme O previsto. Assim, usando o coeficiente angular da reta 𝛼, temos 
 (8)
Com os valores de 𝛼 podemos encontrar e o erro da constante elástica será obtido através da equação da propagação de erros porque trata-se de uma medida indireta. Desse modo, temos = 41,94±6,63 N/m para a massa menor e =20,35±1,21 N/m para massa maior. 
CONCLUSÃO 
Na física experimental, os valores encontrados são aproximados. Assim, parte da discrepância entre o valor previsto e o obtido no experimento, deu-se por uma questão intrínseca que vem da limitação dos aparelhos utilizados na sua determinação. Os valores da constante elástica = 41,94±6,63 N/m para a massa menor e =20,35±1,21 N/m para massa maior. Concluímos que o sistema massa-mola é um dos tipos mais simples de osciladores harmônicos e admitindo a margem de erro é confiável e viável a utilização do mesmo encontrar a constante de elasticidade de uma mola.
REFERÊNCIAS 
Doca, Ricardo Helou. Física, 1/ Ricardo Helou Doca, Gualter José Biscuola, Newton Villas Bôas. –1. ed. –São Paulo: Saraiva, 2010. 
MARQUES, Gil da Costa. Movimento Harmônico Simples (MHS), módulo 1 USP. São Paulo, 2011. 
PELA, Ronaldo Rodrigues. Mecânica II, apostila de FIS-26 do ITA. São Paulo, 2013. 
ALONSO, Marcelo; FINN, Edward. Física 1: um curso universitário. Vol. 1 – São Paulo: Edgard Blücher, 1972. 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. Vol. 2. 8 ed. – São Paulo: Livros Técnicos e Científicos Editora, 2009. 
LUCIE, Pierre. Física Básica – Rio de Janeiro: Campus, 1979.