Gabarito 3 Mecanica Quantica

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11/05/2023, 20:43 Gabarito
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1
Considere um sistema de Sturm-Liouville dado por , com as condições
, , em que  e  são constantes dadas. A equação para
determinação dos autovalores é dada por:
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Justificativa da resposta:
A solução geral é:
                                                         (1)
Aplicando a condição , tem-se que , de modo que:
                                                                     (2)
A condição  conduz a:
y′′ + λy = 0
y(0) = 0 y′(L) + βy(L) = 0 β L
tg√λL = − √λ2β
tg√λL = − √λ
β
tg√λL = − 2√λ
β
tg√λL = − 3√λ2β
tg√λL = − 5√λ4β
y = Acos√λx + Bsen√λx
y(0) = 0 A = 0
y = Bsen√λx
y′(L) + βy(L) = 0
undefined Questão 1 de 10
Exercício - Formalismo da Mecânica Quântica e Postulados.
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                                                                   (3)
2
As autofunções e os autovalores do operador hermitiano  , em um estado
cíclico, são:
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Justificativa da resposta:
Considerando operador hermitiano aplicado a uma função cíclica  (ou
periódica) de período:
                                                               (1)
A equação de autovalores e autofunções é:
                                                                         (2)
                                                                      (3)
Cuja solução é:
tg√λL = − √λ
β
ŵ = i d
dϕ
1
√2π
e−2ibϕ, b = 0, ±1, ±2, ±3.. .
1
√2π
e2ibϕ, b = 0, ±1, ±2, ±3.. .
1
√4π
e−ibϕ/2, b = 0, ±1, ±2, ±3.. .
1
√4π
e−ibϕ/4, b = 0, ±1, ±2, ±3.. .
1
√2π
e−ibϕ, b = 0, ±1, ±2, ±3.. .
f = f(ϕ)
f(ϕ + 2π) = f(ϕ)
ŵf = wf
i d
dϕ
f = wf
undefined Questão 1 de 10
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                                                                      (4)
Utilizando a condição de normalização:
                                                       (5)
Então:
                                                                   (6)
Substituindo (6) em (1), temos:
          (7)
3
Para um operador diferencial de segunda ordem  que é autoadjunto, tem-se que:
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
f = Ae−iwϕ
A2
2π
∫
0
dϕ = 1 → A = 1
√2π
f = 1
√2π
e−ibϕ
1
√2π
e−ibϕe−ib2π = 1
√2π
e−ibϕ → e−ib2π = 1 em que b = 0, ±1, ±2, . . .
⌢
A
b
∫
a
[y2
⌢
A y1 − y1
⌢
A y2]dx
p
′
(y
′
1y2 − y1y
′
2)|
b
a
p(y
′′
1y2 − y1y
′
2)|
b
a
p(y
′
1y2 − y1y
′
2)|
b
a
p(y
′
1y2 − y1y
′′
2)|
b
a
p
′′
(y
′
1y2 − y1y
′
2)|
b
a
undefined Questão 1 de 10
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Justificativa da resposta:
Considere a condição de operador autoadjunto:
                                             (1)
                                          (2)
                                          (3)
Subtraindo (2) de (3), temos:
                  (4)
                                (5)
                                (6)
Substituindo as equações (5) e (6) em (4), temos
                                  (7)
                                          (8)
4
O vetor  normalizado é dado por:
A
⌢
A y =
⌢
A
¿
y = d
dx
[p(x) dy
dx
] + q(x)y(x)
y2
⌢
A y1 = y2
d
dx
[p(x) dy1
dx
] + y2q(x)y1(x)
y1
⌢
A y2 = y1 ddx [p(x)
dy2
dx ] + y1q(x)y2(x)
y2
⌢
A y1 − y1
⌢
A y2 = y2
d
dx
[p(x) dy1
dx
] + y2q(x)y1(x) − y1 ddx [p(x)
dy2
dx
] − y1q(x)y2(x)
y2
d
dx
[p(x) dy1
dx
] = d
dx
[y2p(x) dy1dx ] −
dy2
dx
p(x) dy1
dx
y1
d
dx
[p(x) dy2
dx
] = d
dx
[y1p(x) dy2dx ] −
dy1
dx
p(x) dy2
dx
y2
⌢
A y1 − y1
⌢
A y2 = ddx [y2p(x)
dy1
dx
− y1p(x)
dy2
dx
]
b
∫
a
y2
⌢
A y1 − y1
⌢
A y2dx = p(y
′
1y2 − y1y
′
2)|
b
a
|A) =
⎡⎢⎣ 12i√5⎤⎥⎦|Ã) = ⎡⎢⎣ 1√102i√10√ 25 ⎤⎥⎦undefined Questão 1 de 10Exercício - Formalismo da Mecânica Quântica e Postulados.
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B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Justificativa da resposta:
Resolvendo, temos:
                                                               (1)
e
|Ã) =
⎡⎢⎣ 1√102i√10√ 34 ⎤⎥⎦|Ã) = ⎡⎢⎣ 1√102i√10√ 23 ⎤⎥⎦|Ã) = ⎡⎢⎣ 1√102i√10√ 12 ⎤⎥⎦|Ã) = ⎡⎢⎣ 1√102i√10√ 13 ⎤⎥⎦||A)| = √10undefined Questão 1 de 10Exercício - Formalismo da Mecânica Quântica e Postulados.
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                                                       (2)
5
A medida da posição de um próton tem a acurácia de . A incerteza na posição do
próton após um instante  é:
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Justificativa da resposta:
Temos:
                                                              (1)
Em que:
                                                                      (2)
|Ã) = |A)||A)| =
⎡⎢⎣ 1√102i√10√ 12 ⎤⎥⎦ Δx0tΔx ≥ ht32πmpΔx0Δx ≥ ht24πmpΔx0Δx ≥ ht16πmpΔx0Δx ≥ ht8πmpΔx0
Δx ≥ ht4πmpΔx0
Δx ≥ h4πΔx0
Δp = mpΔvundefined Questão 1 de 10
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Em que  é a velocidade da partícula e  é a massa do próton. Substituindo
a equação (2) em (1), temos:
                                                           (3)
Considerando que:
                                                                 (4)
Substituindo a equação (3) em (4), obtemos:
                                                      (5)
6
O produto interno  entre os dois vetores  e é dado
por:
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Justificativa da resposta:
Δv mp
Δv ≥ h4πmpΔx0
Δx = tΔv
Δx = tΔv ≥ ht4πmpΔx0
(ϕ1|ϕ2) |ϕ1) =
⎡⎢⎣ 23i5⎤⎥⎦ |ϕ2) = ⎡⎢⎣−5i2i ⎤⎥⎦10i−10i11i−11i12i
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Se , então , em que o  é o transposto
conjugado de . Logo:
                                                           (1)
7
Uma função , em termos das funções normalizadas, no
intervalo \(0, é igual a:
A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: D
Gabarito comentado
Justificativa da resposta:
Considerando:
                                                              (1)
|ϕ1) =
⎡⎢⎣ 23i5⎤⎥⎦ (ϕ1| = [2 − 3i5] bra(ϕ1||ϕ1)(ϕ1|ϕ2) = −11if(x) = Acos√λx + Bsen√λxf(x) = ∑∞n=1 √λn2√λnL−sen2√λnL {∫ L0 f(x)sen√λnxdx}sen√λnxf(x) = ∑∞n=1 2√λn2√λnL−sen2√λnL {∫ L0 f(x)sen√λnxdx}sen√λnxf(x) = ∑∞n=1 3√λn2√λnL−sen2√λnL {∫ L0 f(x)sen√λnxdx}sen√λnx
f(x) = ∑∞n=1
4√λn
2√λnL−sen2√λnL
{∫ L0 f(x)sen√λnxdx}sen√λnx
f(x) = ∑∞n=1
5√λn
2√λnL−sen2√λnL
{∫ L0 f(x)sen√λnxdx}sen√λnx
f(x) =
∞
∑
n=1
cnϕn(x)
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Então:
                      (2)
Substituindo (2) em (1), temos:
                     (3)
8
Para qual faixa de  a função  está no espaço de Hilbert no intervalo (0,1)?
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Justificativa da resposta:
O espaço de Hilbert é caracterizado pelo espaço das funções de quadrado
somável. Então, considerando:
                                                                      (1)
Em que , temos:
cn = ∫
L
0 f(x)ϕn(x)dx = √
4√λn
2√λnL−sen2√λnL
∫ L0 f(x)sen√λnxdx
f(x) = ∑∞n=1
4√λn
2√λnL−sen2√λnL
{∫ L0 f(x)sen√λnxdx}sen√λnx
w y = xw
{w ∈ R|(−∞, −1/2) ou (−1/2, +∞)}
{w ∈ R|(−∞, −1/2) e (−1/2, +∞)}
{w ∈ R|(−∞, 0) ou (0, +∞)}
{w ∈ R|(−∞, 0) e (0, +∞)}
{w ∈ R|(−∞, 1) ou [0, +∞)}
∫ y2dx < ∞
y = xw
undefined Questão 1 de 10
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                                                  (2)
O denominador tem que ser diferente de zero, então:
                                                           (3)
Logo, para satisfazer o espaço de Hilbert, a função  tem um valor de  no
intervalo .
9
Os respectivos autovalores e autovetores do operador  são:
A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: D
Gabarito comentado
Justificativa da resposta:
1
∫
0
x2wdx = x
2w+1
2w+1
1
0
= 12w+1∣2w + 1 ≠ 0 → w ≠ − 12 y w{w ∈ R|(−∞, −1/2) ou (−1/2, +∞)} B̂ = [ ]1 23 26, 9, [ ]e[ ]−35 125, 10, [ ]e[ ]−34 22
4, 11, [ ]e[ ]−3
1
1
1
4, −1, [ ]e[ ]2
3
1
−1
2, 13, [ ]e[ ]−3
3
1
2
undefined Questão 1 de 10
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Resolvendo, temos:
                                                        (1)
                                                          (2)
                                                        (3)
                                                 (4)
                                                (5)
10
Um átomo de hidrogênio com raio de . A menor energia que um elétron em
orbita no átomo pode ter é:
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Justificativa da resposta:
Determinando o momento linear , temos:
[ ] = 01 − λ 2
3 2 − λ
λ2 − 3λ − 4 = 0
λ1 = 4 e λ2 = −1
[ ][ ] = λ1[ ] → [ ]
1 2
3 2
x
y
x
y
2
3
[ ][ ] = λ2[ ] → [ ]
1 2
3 2
x
y
x
y
1
−1
5, 3x10−11m
(8, 6x10−21/16π2)J
(8, 6x10−20/16π2)J
(8, 6x10−19/16π2)J
(8, 6x10−18/16π2)J
(8, 6x10−17/16π2)J
Δp
undefined Questão 1 de 10
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                                           (1)
A energia cinética é:
                                                     (2)
Δp = h4πΔx  (1, 25x10
−23/4π)J. s/m
T = p
2
2m  (8, 6x10
−17/16π2)J
undefined Questão 1 de 10
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