Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02) - Avaliação II

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Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02) 
Avaliação Individual I (Objetiva) - (Cód.:765519) 
 
1 Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na direção e sentido 
em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, 
logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a força é um exemplo de grandeza vetorial. Para 
descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que ela é aplicada. Com relação ao vetor 
resultado (R) da operação -u + 2v, sendo u = (-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir: 
 
I- R = (-3,0,6). 
II- R = (-1,6,-6). 
III- R = (-1,-6,6). 
IV- R = (3,0,6). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
A) Somente a opção III está correta. 
B) Somente a opção I está correta. 
C) Somente a opção II está correta. 
D) Somente a opção IV está correta. 
 
 
2 A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e 
multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para 
definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e 
uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. A respeito 
das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar 
( ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares 
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço 
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
A) V - F - V - F. 
B) V - V - F - F. 
C) F - V - V - F. 
D) V - V - V - F. 
 
 
3 Uma transformação linear pode ser compreendida e associada ao estudo de funções, que normalmente já 
conhecemos desde o Ensino Médio. Isto se deve ao fato de uma transformação linear ligar dois conjuntos através de 
uma lei de formação. A grande diferença é que uma transformação opera com vetores e não com números reais como 
de costume. Baseado na transformação linear de R³ em R³ dada por T(x,y,z) = (x + y, 2x, y - z), classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Uma base para a imagem desta transformação é [(1,2,0),(1,0,1),(0,0,1)]. 
( ) A sua imagem tem dimensão 2. 
( ) O núcleo da transformação possui apenas o vetor nulo. 
( ) A dimensão do domínio da transformação é 3. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
A) V - F - V - V. 
B) F - V - F - V. 
C) V - V - F - V. 
D) V - V - F - F. 
 
4 Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma direção. Ao 
trabalhar com a noção de espaço vetorial, duas retas são paralelas se existe um plano que as contém, e se essas retas 
não se tocam. Assim, elas estão na mesma direção mesmo que estejam em sentidos opostos. Para vetores, o princípio 
é basicamente o mesmo. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir: 
 
I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos. 
II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos. 
III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos. 
IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
A) As sentenças II e III estão corretas. 
B) As sentenças I e IV estão corretas. 
C) Somente a sentença I está correta. 
D) As sentenças I e III estão corretas. 
 
5 Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva 
as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de 
aplicação linear ou mapa linear. A respeito das transformações lineares, analise as opções a seguir: 
 
I- T(x,y) = (x² , y²). 
II- T (x,y) = (2x + 1, x + y). 
III- T (x,y) = (2x + y, x - y). 
IV- T (x,y) = (x, x - y). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
A) As opções III e IV estão corretas. 
B) As opções II e III estão corretas. 
C) As opções I e II estão corretas. 
D) Somente a opção IV está correta. 
 
6 A matriz a seguir permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma Transformação Linear. Assinale a 
alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 2x2: 
 
A) Os autovalores associados são 1 e -1. 
B) Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear. 
C) Os autovalores associados são 0 e 2. 
D) Os autovalores associados são 5 e 3. 
 
7 A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado. Fisicamente, o 
módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema. Sendo assim, 
assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (-2,4): 
 
A) Raiz de 20. 
B) 4. 
C) 2. 
D) Raiz de 10. 
 
8 Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem, 
juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, 
considere T, um operador linear de R³ em R³: T(x,y,z) = (z, x - y, -z) Assinale a alternativa CORRETA que melhor 
apresenta a dimensão da Imagem deste operador: 
 
A) 1. 
B) 0. 
C) 2. 
D) 3. 
 
9 No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se relacioná-la com a quantidade 
de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse conceito são puramente utilizadas na matemática, nas 
provas de teoremas e propriedades. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n². 
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3. 
( ) A dimensão do R² é igual a 2. 
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
A) V - F - V - V. 
B) F - F - V - V. 
C) F - V - F - V. 
D) V - F - F - F. 
 
 
10 No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação linear é o conjunto de todos os 
vetores do contradomínio que são imagens de pelo menos um vetor o espaço vetorial de saída. A respeito da base 
para a imagem da transformação T(x,y) = (x+y, x), analise as opções a seguir: 
 
I- [(1,1),(1,0)]. 
II- [(1,1),(0,1)]. 
III- [(0,1),(1,0)]. 
IV- [(1,1)]. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
A) Somente a opção IV está correta. 
B) Somente a opção II está correta. 
C) Somente a opção I está correta. 
D) Somente a opção III está correta.