2022 Matemática - Ex 4

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Conforme nos explica Thomas (2008), ao estudarmos a história da matemática — especialmente a história do cálculo diferencial e integral —, percebemos que os primeiros conceitos relacionados ao cálculo surgiram em estudos da física. Por exemplo, as integrais de funções de uma variável real são amplamente utilizadas para o cálculo da velocidade de um corpo, a partir de sua aceleração em determinado intervalo de tempo.
THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Pearson, 2008. v. 1.
Assim, considerando que a aceleração de determinada partícula é dada pela função , assinale a alternativa a seguir que representa sua velocidade aproximada no intervalo .
a.
150 m/s.
b.
115,13 m/s.
Resposta incorreta: para encontrar a velocidade desse corpo, inicialmente, precisamos definir a função primitiva de  no intervalo dado. Assim, teremos . Para resolver a integral, devemos utilizar o método de integração por partes, logo:
Portanto, a velocidade da partícula é de aproximadamente 90,38 m/s.
c.
90,38 m/s.
d.
65,37 m/s.
e.
24,75 m/s.
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A resposta correta é: 90,38 m/s.
Questão 2
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
De acordo com Fernandes (2014), o conceito de integral foi desenvolvido, entre outros motivos, pela necessidade de se determinar a área de uma região curva não simétrica. No entanto, dada a complexidade desse tipo de cálculo, uma série de métodos que visam facilitar os processos matemáticos foram criados, como a mudança de variável.
FERNANDES, D. B. (org.). Cálculo diferencial. São Paulo: Pearson Education Brasil, 2014.
Sobre a integral da função , analise as afirmativas a seguir.
I. A função primitiva de  pode ser obtida por meio da mudança de variáveis, tomando .
II. Resolvida a integral imediata, tomamos o resultado e o retornamos à variável original.
III. A função primitiva de  é igual a .
IV. A função primitiva de  é igual a .
Está correto o que se afirma em:
a.
II e III.
b.
III e IV.
Resposta incorreta: considerando que a função  é relativamente complexa com relação a outras funções, para que ela seja resolvida, podemos fazer uso de um método específico, como o da mudança de variáveis, considerando . Logo, temos que:
.
c.
II, III e IV.
d.
I e IV.
e.
I, II e III.
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A resposta correta é: I, II e III.
Questão 3
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
Uma das aplicações da integral definida é o cálculo de áreas no plano cartesiano, a partir de uma função conhecida. De acordo com Fernandes (2014), tal aplicação tem ampla usabilidade, por exemplo, em projetos de engenharia. Além do cálculo de áreas sob curvas, podemos usar a primitiva de uma função para determinar o comprimento de arcos e volumes, calcular o trabalho realizado por uma força, um momento, centros de massa e momento de inércia, além de várias outras aplicações importantes.
FERNANDES, D. B. (org.). Cálculo diferencial. São Paulo: Pearson Education Brasil, 2014.
Nesse contexto, considere o gráfico exposto na sequência.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
Com base na figura anterior e sabendo que , assinale a alternativa a seguir que representa a área destacada.
a.
.
Resposta incorreta: lembre-se de que se trata de uma integral definida entre 3 e 6, assim, temos .
b.
c.
.
d.
.
e.
.
Feedback
A resposta correta é: 
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
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Texto da questão
O processo de integração, a depender dos recursos a serem integrados, poderá ser imediato. Contudo, na maioria dos casos, faz-se necessário o uso de técnicas de integração que tornam certas funções anteriormente integradas mais complexas e simples.
Assim sendo, com base nessas análises técnicas e em nossos estudos sobre a integral imediata, assinale a alternativa a seguir que representa o resultado da integral .
a.
.
b.
.
c.
.
d.
.
Resposta correta: no caso em questão, devemos fazer o cálculo da integral por meio do método da substituição ou mudança de variável. Ao realizarmos tal substituição, teremos uma função mais simples para calcular a primitiva. Além disso, após os cálculos, não podemos nos esquecer de retornar à variável anterior para que o resultado, de fato, esteja completo e correto. Sendo assim, conseguimos o valor de .
e.
.
Feedback
A resposta correta é: .
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
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Texto da questão
Os métodos de integração, além de facilitarem os cálculos de algumas funções primitivas, podem permitir que os estudantes, por exemplo, entendam erros de interpretação e construam determinados conceitos de modo mais consistente, agindo como sujeitos ativos do processo de aprendizagem.
Nesse sentido, com base em nossos estudos sobre as integrais exponenciais, considerando a função , assinale a alternativa a seguir que representa sua primitiva.
a.
.
b.
.
Resposta correta: a integral pode ser resolvida por meio da integração por partes, mas, antes disso, precisamos remover a constante: . Feito esse processo, consideramos  e . Depois, efetuamos as substituições adequadas.
c.
.
d.
.
e.
.
Feedback
A resposta correta é: .
Questão 6
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
O cálculo da integral de uma função, por meio de sua definição formal, nem sempre é simples e prático, uma vez que envolve o cálculo e a análise de sua antiderivada. Para minimizar a dificuldade e, de alguma forma, tornar a determinação das funções primitivas mais rápida, utilizamos regras de integração, como substituição, integração por partes, entre outras.
Nesse contexto, considerando tais regras de integração e nossos estudos a respeito de cada um delas, assinale a alternativa a seguir que, adequadamente, representa o resultado de .
a.
.
b.
.
c.
.
Resposta incorreta: lembre-se de que a integral em questão pode ser calculada a partir da regra da substituição. Para isso, fazemos . Logo, temos que . Portanto, o resultado seria .
d.
.
e.
.
Feedback
A resposta correta é: .
Questão 7
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
Thomas (2008) menciona que a principal relação existente entre a derivada de uma função e sua integral é que, para o cálculo da integral, podemos fazer uso de todas as regras de derivação já conhecidas. Com isso, obtemos as chamadas integrais imediatas. Desse modo, uma forma de confirmar se o resultado da integral está correto é aplicar a derivada no resultado e confirmar se retornamos à função original. Se sim, está correto.
THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Pearson, 2008. v. 1.
Com base nisso e em nossos estudos sobre integrais indefinidas e derivadas, assinale a alternativa a seguir que represente o resultado de .
a.
.
b.
.
c.
.
d.
.
Resposta incorreta: apesar de a variável estar em , não temos, necessariamente, uma substituição de variável. Logo, precisamos resolver a integral utilizando as regras simples para determinação da integração imediata. Dessa maneira, chegamos ao resultado de .
e.
.
Feedback
A resposta correta é: .
Questão 8
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
Em administração de empresas, em especial no que tange à economia, a análise matemática dos fenômenos tem grande aplicabilidade. No que diz respeito ao lucro ou custo, o custo marginal tem o objetivo de servir como um parâmetro para os gestores na tomada de decisões, sendo que a integração de funções ajuda nesse sentido.
Vejamos o seguinte caso: a função custo marginal de determinado produto em uma empresa é dada por , sendo  a quantidade produzida com um valor maior ou igual a zero, e  dado em R$ 1.000,00/unidade.
Com base nessas informações e em nossos estudos sobre custo marginal e integrais, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
I. (   ) O custo do produto poderá ser obtido por meio da integral da função .
II. (   ) O custo do produto pode ser descrito por meio da função .
III. (   ) O custo do produto pode ser descrito por meio da função .
IV. (   ) O custo marginal para produção de 100 unidades do produto é de R$ 3,00 por item.
V. (   ) O custo para produção de 150 unidadesdo produto é de R$ 4,50 por item.
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta.
a.
V, V, F, V, F.
b.
F, F, V, F, V.
c.
V, F, V, V, V.
d.
V, V, F, V, V.
Resposta incorreta: considerando que  é a função custo marginal, para determinarmos o custo, faz-se necessário calcular a sua integral. Assim, temos que . Lembre-se, ainda, de que, para analisar as afirmativas que tratam do custo marginal, precisamos substituir 100 e 150 na função custo marginal.
e.
F, V, F, V, F.
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A resposta correta é: V, V, F, V, F.
Questão 9
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
Imaginemos o seguinte caso: determinada construtora, a partir de estudos técnicos de seus engenheiros e gestores, constatou que o custo marginal — em R$ 1.000,00 por unidade — para a construção de apartamentos é representado pela função matemática .
Assim, sabendo que, para essa construtora, o custo na produção de um apartamento é de R$ 41 mil, assinale a alternativa a seguir, considerando o custo marginal conhecido, que representa o custo na produção de 36 apartamentos.
a.
R$ 42.056,67.
b.
R$ 62.056,67.
Resposta incorreta: o enunciado nos dá o custo marginal da construtora, assim, para solucionarmos o que nos foi pedido, precisamos, inicialmente, encontrar a função custo. Para isso, fazemos com que . Sabendo que o custo de um apartamento é R$ 41 mil, podemos determinar o valor da constante C: . Logo, temos que a função custo da construtora é descrita da seguinte maneira: . Agora, basta substituirmos  pela quantidade de apartamentos desejada, em que teremos . Portanto, encontramos o valor de R$ 42.056,67.
c.
R$ 52.056,67.
d.
R$ 43.056,00.
e.
R$ 62.000,00.
Feedback
A resposta correta é: R$ 42.056,67.
Questão 10
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
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Texto da questão
Imagine a seguinte situação: determinada empresa programou o esvaziamento do seu reservatório de óleo para limpeza. Os técnicos da organização constaram que a velocidade do escoamento pode ser dada por meio da função . Considerando que a ocupação desse reservatório pode ser analisada a partir da integral da função, podemos, a partir de , conhecer o escoamento (em ) do reservatório em vários intervalos de tempo.
Assim sendo, com base no case apresentado, assinale a alternativa a respeito que traz a vazão do óleo do reservatório após o intervalo de uma a cinco horas.
a.
14 l.
b.
12 l.
c.
5,33 l.
d.
6 l.
Resposta incorreta: a ocupação do reservatório será dada por . Substituindo os valores em litros, teremos: . Isto é, 5,33 l.
e.
10 l.
Feedback
A resposta correta é: 5,33 l.