GRA1594 CÁLCULO APLICADO _ VÁRIAS VARIÁVEIS_Prova_N2

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13/12/2021 05:35 GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551-212-9 - 202120.ead-17340.01
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Usuário ERICO VINICIUS CAVALCANTI
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551-212-9 -
202120.ead-17340.01
Teste 20212 - PROVA N2 (A5)
Iniciado 08/12/21 15:16
Enviado 08/12/21 15:54
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Pergunta 1
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da resposta:
Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de
primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma 
 . O nome separável vem do fato de que a equação pode
ser separada em uma função de e uma função de . A solução de tal equação
é obtida ao integrarmos ambos os lados da igualdade.
 
 Dado que é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde
à solução da equação diferencial separável .
 
 
 
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma
equação separável. Separando as variáveis e , podemos reescrever a equação
como . Integrando ambos os lados da
igualdade, temos 
, onde 
.
Pergunta 2
O cálculo de uma integral dupla pode ser expresso “como uma integral iterada,
cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais unidimensionais”.
Considerando uma função de duas variáveis integrável no retângulo 
 , temos que a integral 
 é resolvida primeiro integrando
1 em 1 pontos
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da resposta:
com relação a de a e depois em relação a de até . Da mesma
forma, podemos calcular .
 
 
 STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 2, p. 882.
 
 Com relação às integrais iteradas, analise as afirmativas a seguir:
 
1. 
2. 
3. 
4. 
 
 Está correto o que se afirma em:
I e II, apenas.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a afirmativa I é correta, visto que,
integrando primeiro com relação a de a e, em seguida, integrando em
relação a de até , temos o resultado da integral dada: 
. A afirmativa II é verdadeira, já que, integrando primeiro com relação a de a 
 e, em seguida, integrando em relação a de até , temos o resultado da
integral dada: 
Pergunta 3
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da resposta:
Na física, a integral da função velocidade resulta na função posição .
Considere uma partícula, em trajetória retilínea, que obedece a função de
velocidade , em que a unidade de medida da velocidade 
 equivale a metros por segundo e a unidade de medida do tempo corresponde
a segundos. Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta a função de
posição da partícula, sabendo que a posição inicial desta é de 4 m, isto é, 
 .
Resposta correta. A alternativa está correta. Note que, dentre as alternativas,
apenas a função satisfaz a condição e 
Veja a seguir.
 
- Se , então e (opção correta).
 
- Se , então e 
 
- Se , então e 
 
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- Se , então e 
- Se , então e e 
Pergunta 4
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da resposta:
Analise a figura a seguir:
 
 
Figura: Semicircunferência no primeiro quadrante.
 Fonte: Elaborada pela autora.
 
 A figura apresenta uma semicircunferência localizada no primeiro quadrante do
plano cartesiano. Essa pode ser expressa em coordenadas polares como 
 , com . Supondo uma lâmina com o formato da região
acima, a medida da densidade de massa por unidade de área em qualquer
ponto é proporcional à medida de sua distância até a origem, isto é, ,
onde é uma constante. Assinale a alternativa que corresponde à massa da
lâmina descrita acima considerando e e sabendo que 
 .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, dados e , temos
que e . Então, a região de integração é 
 e a massa corresponde à integral 
.
Pergunta 5
Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma 
 , onde e são funções contínuas em um dado intervalo. A
solução geral para equações diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela
expressão .
 
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da resposta:
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência,
assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):
 
 
I. A solução geral da equação é .
II. A solução geral da equação é .
 
III. A solução geral da equação é .
 
IV. A solução geral da equação é .
 
 
 É correto o que se afirma em:
 
 
I, II e IV, apenas.
I, II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o método de solução para
uma equação diferencial linear, temos:
Afirmativa I: correta. Temos que e , assim,
 
.
 
 Afirmativa II: correta. Dividindo toda a equação por , temos que e 
, assim, 
.
 
 Afirmativa IV: correta. Temos que e , assim, 
, onde .
Pergunta 6
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos
a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade
verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como
solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma
condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial.
 
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e
assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
 I. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial
dada.
 II. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial
dada.
 
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da resposta:
III. ( ) Para , temos que é solução da equação
diferencial dada.
 IV. ( ) Para , temos que é solução da equação
diferencial dada.
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
 
V, V, V, F.
V, V, V, F.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial,
temos que sua solução geral é: 
. Assim:
 Afirmativa I: Verdadeira. Para , temos que 
. Portanto, é solução da
equação diferencial dada.
 Afirmativa II: Verdadeira. Para , temos que 
. Portanto, é solução da
equação diferencial dada.
 Afirmativa III: Verdadeira. Para temos que 
. Portanto, é solução
da equação diferencial dada.
Pergunta 7
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da resposta:
A função custo é o custo da produção de unidades de certo produto e
sua derivada é a função custo marginal . Já a função custo médio é a razão da
função custo com a quantidade de unidades produzidas, ou seja, .
Considere a função custo de produção de certa
mercadoria. Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta a produção que
minimizará o custo médio.
400 unidades.
400 unidades.Resposta correta. A alternativa está correta. Queremos minimizar a função custo
médio, ou seja, . Derivando a função custo médio,
temos que e seu ponto crítico é , pois 
. Para verificar se é um valor mínimo, precisamos saber qual
é o valor da derivada segunda nesse ponto. Assim, temos que e 
, portanto é um valor de mínimo.
Pergunta 8
Dado um cilindro circular reto de raio e altura , sua área de superfície total 
 é a soma da área da superfície lateral com a área da tampa e da base, ou
1 em 1 pontos
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Comentário
da resposta:
seja, . Já o seu volume é dado como o produto da área da
base com a altura, isto é, . Considere uma lata fechada com a forma de
um cilindro circular reto. Se o volume da lata é de , assinale a alternativa
que apresenta o valor da altura e do raio para que seja usada a menor
quantidade de material em sua fabricação.
h = 6 cm, r = 3 cm.
h = 6 cm, r = 3 cm.
Resposta correta. A alternativa está correta. Ao analisar cada alternativa,
depreende-se que as dimensões da lata devem ser h = 6 cm, r = 3 cm, pois é a
única alternativa que satisfaz a função volume com a menor área possível,
conforme verificado a seguir.
Se h = 6 cm, r = 3 cm, então e 
 (opção correta).
 
Se h = 5 cm, r = 3 cm, então e 
Se h = 4 cm, r = 4 cm, então e 
Se h = 9 cm, r = 3 cm, então e 
Se h = 8 cm, r = 5 cm, então e 
Pergunta 9
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Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Suponha uma distribuição contínua de massa ocupando uma região do plano 
 , suponha, também, que a medida da densidade de área dessa distribuição
no ponto seja medida em , onde é contínua em . O
momento de inércia em torno do eixo , denotado por , dessa distribuição de
massa será determinado por . Assinale a alternativa
que corresponde ao momento de inércia da região limitada pelas curvas 
 , e no primeiro quadrante e com densidade :
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois, como estamos
limitados ao primeiro quadrante e os parâmetros da variável dependem da
variável , temos que . Dado ,
calculamos o momento de inércia , primeiro integrando com relação a , logo, 
.
Pergunta 10
Analise as figuras a seguir:
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13/12/2021 05:35 GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551-212-9 - 202120.ead-17340.01
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Segunda-feira, 13 de Dezembro de 2021 05h33min48s BRT
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Comentário
da resposta:
 
Fonte: Stewart (2016, p. 897).
 
 
 Além de regiões retangulares, podemos usar a integração dupla para integrar
uma função sobre uma região de forma mais geral. Essa região pode
ser classificada em diferentes tipos. “Uma região plana é dita do tipo I se for a
região entre o gráfico de duas funções contínuas de , ou seja, 
 , onde e são contínuas em [a,b]”.
 
 STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 2, p. 896.
 
 Assinale a alternativa que corresponde ao valor da integral dupla 
 , onde é a região do tipo I limitada pelas parábolas 
 e .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois as parábolas se interceptam
quando . Nesse intervalo de , temos que 
. Assim, a região , do tipo I, pode ser expressa como 
. Resolvendo a integral, obtemos 
.