ANÁLISE DE DESEMPENHO DE SISTEMA DE DOMÍNIO Z

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE DESEMPENHO DE SISTEMA DE DOMÍNIO Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
DJAMILE GUERREIRO DOS SANTOS 
MARIEL RODRIGUES FIUZA ALVES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR 
2022 
 
 
 
Sumário 
 
1. Desempenho do sistema de controle ......................................................................... 3 
2. O que deve ser analisado ............................................................................................ 3 
3. Descrição Matemática ................................................................................................ 4 
3.1 A transformada de Laplace pode ser mudada para transformada Z em três passos: 5 
3.2 Mudar de sistemas contínuo para discreto: ............................................................. 5 
3.3 Propriedades da Transformada Z ............................................................................ 6 
4. Exemplos práticos ....................................................................................................... 7 
4.1 Guiagem de um sistema interceptor ........................................................................ 7 
4.2 Controle de temperatura de uma autoclave ............................................................. 8 
5. Conclusão: ................................................................................................................... 8 
6. Referência .................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1. Desempenho do sistema de controle 
 
O controle estuda como agir sobre um dado sistema de modo a obter um resultado arbitrariamente 
especificado. O sistema de controle é o conjunto formado pelo sistema a ser controlado e o controlador. 
O sistema de controle pode envolver requisitos como: rapidez na resposta, exatidão, custo, segurança, 
conforto e simplicidade. 
A transformada-Z é uma ferramenta matemática de grande importância no tratamento e análise de sinais ou 
processos discretos. A Transformada Z é bastante utilizada para a análise de sistemas em tempo discreto. 
A transformada de Laplace aplicada em uma função discreta resulta como sendo uma séria infinita e não 
mais como uma relação polinomial. O uso da Transformada-Z fará uso de alguma propriedade destas séries, 
tais que estas possam “convergir” para uma relação algébrica conhecida e desta forma obtém-se novamente 
a representação dos sistemas discretos por uma relação polinomial na variável “z” 
A transformada dos Z permite a transformação de sinais no domínio do tempo discreto para o domínio Z, 
sendo usada em sinais discretos da mesma forma que a transformada de Laplace o é em sinais contínuos. 
 
 
Processo de formação de sinais discretos 
 
2. O que deve ser analisado 
 
O sinal de tempo discreto, obtido a partir de um contínuo, pode ser representado como uma sequência de 
impulsos com amplitudes iguais à do sinal de tempo contínuo nos instantes de amostragem. 
Pode ser aplicada no processamento digital de sinais, por exemplo, para obtenção do comportamento de 
sinais digitalizados e para a criação de filtros digitais. 
 
 
Também é possível aplicar tal transformada em equações diferença lineares, que quando convertidas para 
o domínio z tornam-se equações algébricas de mais fácil solução. Neste caso, a resposta final é obtida pela 
utilização da transformada Z inversa após os cálculos. Do mesmo modo, pode-se obter funções de 
transferência de sistemas em função da variável z, utilizadas para verificação da resposta do sistema a uma 
entrada arbitrária. A transformada Z é o equivalente para sinais e sistemas discretos da transformada de 
Laplace, usada no caso contínuo. 
X(z) será então uma sequência infinita de potências da variável “z”. Em muitos casos é possível se obter 
uma função explicita em “z” que representa tal série, utilizando-se propriedades de séries de potências, ou 
progressões aritméticas ou geométricas. A função assim obtida ´e chamada de função em “z”. 
A transformada-Z Inversa será sempre necessária quando se deseja analisar ou conhecer o comportamento 
de uma determinada função ou sinal no domínio do tempo - em geral no domínio do tempo discreto. 
Enquanto que a correspondência entre a transformada de Laplace F(s) e sua correspondente função temporal 
f(t) é única, o mesmo não acontece com a transformada-Z. Se a transformada-Z de uma função f(t) é F(z) , 
não necessariamente a transformada-Z Inversa de F(z) será a mesma f(t), pois o período de amostragem T0 
exerce grande influência nessa operação. Dois métodos mais usuais serão abordados a seguir. 
 
 
 
3. Descrição Matemática 
 
A expressão abaixo é a transformada – Z da função degrau unitário. É possível relacionar a seguinte 
sequência de transformação entre a função temporal contínua e sua respectiva transformada-Z: 
 
 
Por meio da sequência das transformações indicadas será possível elaborar uma Tabela contendo as funções 
temporais usuais de Sistemas de Controle e suas respectivas transformadas de Laplace e Transformada-Z. 
 
 
 
 
 
 
3.1 A transformada de Laplace pode ser mudada para transformada Z em três 
passos: 
 
1.Mudar de sistemas contínuo para discreto; 
2.Reescrever o termo exponencial; 
3.Trocar as variáveis r e w por z; 
 
 
3.2 Mudar de sistemas contínuo para discreto: 
 
1. Trocar a variável t para a variável n; 
2. Trocar a integral para somatório; 
 
 
 
 
Sendo: 
sendo z ∈ C. Com z = rejω, pode-se escrever 
 
 
 
Para convergir é necessário: 
 
 
 
 
3.3 Propriedades da Transformada Z 
 
• Deslocamento no tempo 
 
 
 
• Linearidade 
 
 
 
• Convolução 
 
 
 
• Diferenciação no domínio Z 
 
 
 
• Mudança de escala no domínio Z 
 
 
 
• Inversão do eixo do tempo 
 
 
 
 
 
 
• Conjugação 
 
 
 
 
 
4. Exemplos práticos 
 
4.1 Guiagem de um sistema interceptor 
 
O sistema de guiagem direciona o voo de um míssil no espaço para interceptar o veículo aeroespacial 
inimigo. A defesa usa mísseis com o objetivo de interceptar e destruir o bombardeiro antes que ele lance as 
bombas. 
O radar detecta a posição do alvo e o rastreia, fornecendo informações discretas necessárias para a 
determinação das variações angulares e de deslocamento do alvo. Estas informações (dados) são enviadas 
interruptamente ao computador que estima (calcula) a trajetória do alvo. O radar também rastreia o míssil 
fornecendo informações discretas ao computador de calcula sua trajetória. O computador compara as duas 
trajetórias e determina a correção necessária na trajetória do míssil para produzir uma rota de colisão. As 
informações discretas sobre a correção da trajetória são enviadas ao míssil pelo rádio de comando. O 
sistema de controle do míssil (controlador digital) converte essas informações em deslocamentos mecânicos 
das suas superfícies de controle, modificando sua trajetória de voo, fazendo-se entrar na rota de colisão. 
 
 
 
 
 
4.2 Controle de temperatura de uma autoclave 
 
 
 
5. Conclusão: 
 
O sistema de controle é muito importante para evolução no mundo da engenharia. A transformada Z é uma 
ferramenta matemática de grande importância no tratamento e análise de sinais ou processos discretos. 
As transformadas Z têm grande importância nos métodos atuais de análise de sistemas de controle discreto, 
em processos de amostragem, no processamento de sinais digitais. 
O sistema de controle pode envolver requisitos como: rapidez na resposta, exatidão, custo, segurança, 
conforto e simplicidade, tornando o cotidiano industrial muito mais eficiente e de qualidade. 
 
 
6. Referência 
 
Introdução a sistemas discretos. Disponível em: 
Intro ao Ctrl Sis Discreto [UFMG, Lázaro,jun2008,rev1] [PDF] | Documents Community Sharing 
(xdocs.com.br). Acesso em: 09 de mai. 
TransformadaZ. Disponível em: 
an_sinais_cap6 (ubi.pt). Acesso em: 13 de mai. 
Transformadas de Laplace, Fourier e Z. Disponível em: 
 
 
Transformadas de Laplace, Fourier e Z (epxx.co). Acesso em 20 de mai. 
Ogata, Engenharia de controle moderno. Disponível em: 
pdfcoffee.com_ogata-engenharia-de-controle-moderno-5-ed-1-pdf-free.pdf. Acesso em 23 de mai.