COORDENADAS POLARES

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COORDENADAS POLARES
Coordenadas polares são um sistema de coordenadas bidimensional que usa um ângulo e uma distância para localizar um ponto no plano. Em vez de usar as coordenadas cartesianas (x, y), que medem as distâncias horizontais e verticais a partir da origem, as coordenadas polares usam o par (r, θ), onde r é a distância do ponto à origem e θ é o ângulo formado pelo segmento que liga o ponto à origem e o eixo x positivo. As coordenadas polares são úteis para representar curvas simétricas ou que têm relação com círculos ou ângulos.
Para converter coordenadas polares em cartesianas, usamos as seguintes fórmulas:
x = r cos θ
y = r sen θ
Para converter coordenadas cartesianas em polares, usamos as seguintes fórmulas:
r = √(x² + y²)
θ = arctg (y/x)
Exercícios resolvidos:
1) Dado o ponto P(2, π/6) em coordenadas polares, determine suas coordenadas cartesianas.
Resolução:
Usando as fórmulas de conversão, temos:
x = 2 cos (π/6) = 2 √3 / 2 = √3
y = 2 sen (π/6) = 2 / 2 = 1
Portanto, as coordenadas cartesianas do ponto P são (√3, 1).
2) Dado o ponto Q(-3, 4) em coordenadas cartesianas, determine suas coordenadas polares.
Resolução:
Usando as fórmulas de conversão, temos:
r = √((-3)² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
θ = arctg (4/-3) = -0.9273 rad
Portanto, as coordenadas polares do ponto Q são (5, -0.9273).
3) Determine a equação em coordenadas polares da reta y = x.
Resolução:
Substituindo y por r sen θ e x por r cos θ na equação da reta, temos:
r sen θ = r cos θ
Dividindo ambos os lados por r, obtemos:
sen θ = cos θ
Aplicando a função inversa do seno em ambos os lados, obtemos:
θ = π/4
Portanto, a equação em coordenadas polares da reta y = x é θ = π/4.
Referências bibliográficas:
- Anton, H.; Rorres, C. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
- Stewart, J. Cálculo. Vol. 2. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
- Lima, E. L.; Carvalho, P. C. P.; Wagner, E.; Morgado, A. C. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
- Iezzi, G.; Dolce, O.; Degenszajn, D.; Périgo, R.; Murakami, C.; Machado, A. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Analítica. Vol. 7. São Paulo: Atual Editora, 2004.