Rayleigh Ritz- Trabalho-COV740

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Com as equações dos momentos fletores nos domínios de integração, temos que:
＝((EI)) ――
d
d
2
x
2
v M ((x))
Integrando em relação a x:
Para x entre 0 e L/2: Para x entre L/2 e L:
＝⎛⎝EI1⎞⎠ ――
d
d
2
x
2
v1 ―
P
2
x ＝⎛⎝EI2⎞⎠ ――
d
d
2
x
2
v1 −――
PL
2
―
P
2
x
＝⎛⎝EI1⎞⎠
⌠
⎮
⎮
⌡
d――
d
d
2
x
2
v1 x +―
P
4
x
2
C1 ＝⎛⎝EI2⎞⎠
⌠
⎮
⎮
⌡
d――
d
d
2
x
2
v2 x +−――
PL
2
x ―
P
4
x
2
C3
＝⎛⎝EI1⎞⎠
⌠
⎮
⎮
⌡
d
⌠
⎮
⎮
⌡
d――
d
d
2
x
2
v1 x x ++―
P
12
x
3
C1x C2 ＝⎛⎝EI2⎞⎠
⌠
⎮
⎮
⌡
d
⌠
⎮
⎮
⌡
d――
d
d
2
x
2
v2 x x ++−――
PL
4
x
2 ―
P
12
x
3
C3x C4
＝v1 ((x)) ++―――
P
⋅12 ⎛⎝EI1⎞⎠
x
3
C1x C2 ＝v2 ((x)) ++−―――
PL
⋅4 ⎛⎝EI2⎞⎠
x
2 ―――
P
⋅12 ⎛⎝EI2⎞⎠
x
3
C3x C4
Aplicando as condições de contorno
Condição 1: Condição 2:＝v1 ((0)) 0 ＝v2 ((L)) 0
＝v1 ((0)) ++―――
P
⋅12 ⎛⎝EI1⎞⎠
03 C10 C2 ＝v2 ((L)) ++−―――
PL
⋅4 ⎛⎝EI2⎞⎠
L
2 ―――
P
⋅12 ⎛⎝EI2⎞⎠
L
3
C3L C4
＝C2 0 ＝v2 ((L)) ++−―――
PL
3
⋅4 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅12 ⎛⎝EI2⎞⎠
C3L C4
＝++―――
PL
3
⋅6 ⎛⎝EI2⎞⎠
C3L C4 0 EQ(1)
Aplicando as condições de continuidade e substituindo os valores de EI:
＝v1
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
v2
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝v1'
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
v2'
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝v1 ((x)) ++―――
P
⋅12 ⎛⎝EI1⎞⎠
x
3
C1x C2 ＝v1' ((x)) +―――
P
⋅4 ⎛⎝EI1⎞⎠
x
2
C1
＝v1
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+―――
P
⋅12 ⎛⎝EI1⎞⎠
――
L
3
8
――
C1L
2
＝v1'
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+―――
P
⋅4 ⎛⎝EI1⎞⎠
――
L
2
4
C1
＝v1
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI1⎞⎠
―
L
2
C1 ＝v1'
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+―――
PL
2
⋅16 ⎛⎝EI1⎞⎠
C1
＝v2 ++−―――
PL
⋅4 ⎛⎝EI2⎞⎠
x
2 ―――
P
⋅12 ⎛⎝EI2⎞⎠
x
3
C3x C4 ＝v2' ((x)) +−―――
PL
⋅2 ⎛⎝EI2⎞⎠
x ―――
P
⋅4 ⎛⎝EI2⎞⎠
x
2
C3
＝v2
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
++−―――
PL
3
⋅16 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI2⎞⎠
―
L
2
C3 C4 ＝v2'
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+−―――
PL
⋅2 ⎛⎝EI2⎞⎠
―
L
2
―――
P
⋅4 ⎛⎝EI2⎞⎠
――
L
2
4
C3
＝v2
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
++―――
5 PL3
⋅96 ⎛⎝EI2⎞⎠
―
L
2
C3 C4 ＝v2'
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+−―――
PL
2
⋅4 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
2
⋅16 ⎛⎝EI2⎞⎠
C3
＝+―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI1⎞⎠
―
L
2
C1 ++―――
5 PL3
⋅96 ⎛⎝EI2⎞⎠
―
L
2
C3 C4 ＝v2'
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+―――
3 PL2
⋅16 ⎛⎝EI2⎞⎠
C3
＝―
L
2
C1 ++−―――
5 PL3
⋅96 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI1⎞⎠
―
L
2
C3 C4 EQ(2) ＝+―――
PL
2
⋅16 ⎛⎝EI1⎞⎠
C1 +―――
3 PL2
⋅16 ⎛⎝EI2⎞⎠
C3
＝C1 +−―――
3 PL2
⋅16 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
2
⋅16 ⎛⎝EI1⎞⎠
C3 EQ(3)
Resolvendo as equações, temos que:
Da EQ(1): ＝C4 −−―――
PL
3
⋅6 ⎛⎝EI2⎞⎠
C3L EQ(4)
Substituindo a EQ(3) e EQ(4) na EQ(2):
Substituindo a EQ(3) e EQ(4) na EQ(2):
＝―
L
2
⎛
⎜
⎝
+−―――
3 PL2
⋅16 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
2
⋅16 ⎛⎝EI1⎞⎠
C3
⎞
⎟
⎠
−−+−―――
5 PL3
⋅96 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI1⎞⎠
―
L
2
C3 ―――
PL
3
⋅6 ⎛⎝EI2⎞⎠
C3L
＝+−―――
3 PL3
⋅32 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅32 ⎛⎝EI1⎞⎠
―
L
2
C3 −−+−―――
5 PL3
⋅96 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI1⎞⎠
―
L
2
C3 ―――
PL
3
⋅6 ⎛⎝EI2⎞⎠
C3L
＝+−―
L
2
C3 ―
L
2
C3 C3L +−−−―――
5 PL3
⋅96 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI1⎞⎠
―――
PL
3
⋅6 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
3 PL3
⋅32 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅32 ⎛⎝EI1⎞⎠
＝((L)) C3 +−―――
5 PL3
⋅24 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅48 ⎛⎝EI1⎞⎠
＝C3 +−―――
5 PL2
⋅24 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
2
⋅48 ⎛⎝EI1⎞⎠
＝C1 +−−―――
3 PL2
⋅16 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
2
⋅16 ⎛⎝EI1⎞⎠
―――
5 PL2
⋅24 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
2
⋅48 ⎛⎝EI1⎞⎠
＝C1 −−―――
PL
2
⋅48 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
2
⋅24 ⎛⎝EI1⎞⎠
＝C4 −−―――
PL
3
⋅6 ⎛⎝EI2⎞⎠
⎛
⎜
⎝
+−―――
5 PL2
⋅24 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
2
⋅48 ⎛⎝EI1⎞⎠
⎞
⎟
⎠
L
＝C4 −―――
PL
3
⋅24 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅48 ⎛⎝EI1⎞⎠
As equações dos delocamentos em y na viga são:
＝v1 ((x)) ++―――
P
⋅12 ⎛⎝EI1⎞⎠
x
3
C1x C2 ＝v2 ((x)) ++−―――
PL
⋅4 ⎛⎝EI2⎞⎠
x
2 ―――
P
⋅12 ⎛⎝EI2⎞⎠
x
3
C3x C4
Calculando em L/2
＝v1
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI1⎞⎠
⎛
⎜
⎝
−−―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅48 ⎛⎝EI1⎞⎠
⎞
⎟
⎠
＝v1
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−−―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI1⎞⎠
＝v1
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−―
1
2
⎛
⎜
⎝
+―――
PL
3
⋅48 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅48 ⎛⎝EI1⎞⎠
⎞
⎟
⎠
＝v2
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−++−−―――
PL
3
⋅16 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
5 PL3
⋅48 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI1⎞⎠
―――
PL
3
⋅24 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅48 ⎛⎝EI1⎞⎠
＝v2
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−−―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅96 ⎛⎝EI1⎞⎠
＝v2
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−―
1
2
⎛
⎜
⎝
+―――
PL
3
⋅48 ⎛⎝EI2⎞⎠
―――
PL
3
⋅48 ⎛⎝EI1⎞⎠
⎞
⎟
⎠
Substituindo os valores de P, L e EI:
＝＝v1
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
v2
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−―
1
2
⎛
⎜
⎝
+―――
10 103
⋅48 ((1))
―――
10 103
⋅48 ((2))
⎞
⎟
⎠
＝v
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
EXATO
−156.3
Resolvendo pelo método de Rayleigh-Ritz
Para solucionar o problema da descontinuidade do momento em L/2, serão adotadas duas funções 
aproximadoras:
v1 ((x)) ∀x⊆
⎛
⎜
⎝
,0 ―
L
2
⎞
⎟
⎠
v2 ((x)) ∀x⊆
⎛
⎜
⎝
,―
L
2
L
⎞
⎟
⎠
As condições de contorno do problema são:
＝v ((0)) 0 e ＝v ((L)) 0
As condições de continuidade do problema são:
＝v1
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
v2
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
e ＝v1'
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
v2'
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
Passo 1) Como primeira aproximação serão utilizados dois polinômios de segundo grau:
＝v1
((1)) ((x)) ++a0 a1x a2x
2 e ＝v2
((1)) ((x)) ++a3 a4x a5x
2
Passo 2) Aplicar as condições de contorno nos polinômios
Condição 1: Condição 2:＝v1
((1)) ((0)) 0 ＝v2
((1)) ((L)) 0
＝v1
((1)) ((x)) ++a0 a1x a2x
2 ＝v2
((1)) ((x)) ++a3 a4x a5x
2
＝v1
((1)) ((0)) ++a0 a10 a20
2 ＝＝v2
((1)) ((x)) ++a3 a4L a5L
2 0
＝v1
((1)) ((0)) a0 ＝a3 −−a4L a5L
2
＝a0 0 Então:
Então: ＝v2
((1)) ((x)) ++−−a4L a5L
2
a4x a5x
2
＝v1
((1)) ((x)) +a1x a2x
2 ＝v2
((1)) ((x)) +a4 (( −x L)) a5 ⎛⎝ −x
2
L
2 ⎞⎠
Passo 3) Aplicar as condições de continuidade polinômios
Condição 1: ＝v1
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
v2
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝v1
((1)) ((x)) +a1x a2x
2 ＝v2
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−−――
a4L
2
―――
3 a5 L
2
4
＝v1
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+――
a1L
2
――
a2L
2
4 ＝+――
a1L
2
――
a2L
2
4
−−――
a4L
2
―――
3 a5 L
2
4
＝v2
((1)) ((x)) +a4 (( −x L)) a5 ⎛⎝ −x
2
L
2 ⎞⎠
＝+――
a1L
2
――
a4L
2
−−―――
3 a5 L
2
4
――
a2L
2
4
＝v2
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+a4
⎛
⎜
⎝
−―
L
2
L
⎞
⎟
⎠
a5
⎛
⎜
⎝
−――
L
2
4
L
2
⎞
⎟
⎠ ＝―
L
2
⎛⎝ +a1 a4⎞⎠ ⋅−――
L
2
4
⎛⎝ +3 a5 a2⎞⎠
＝v2
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+a4
⎛
⎜
⎝
−―
L
2
⎞
⎟
⎠
a5
⎛
⎜
⎝
−――
3 L2
4
⎞
⎟
⎠
＝+a1 a4 ⋅−―
L
2
⎛⎝ +3 a5 a2⎞⎠ EQ(5)
Condição 2: ＝v1'
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
v2'
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝v1
((1)) ' ((x)) +a1 2 a2x ＝v2
((1)) ' ((x)) +a4 2 a5x ＝+a1 a2L +a4 a5L
＝v1
((1)) '
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+a1 2 ――
a2L
2
＝v2
((1)) '
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+a4 2 ――
a5L
2
＝−a1 a4 −a5L a2L EQ(6)
＝v1
((1)) '
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+a1 a2L ＝v2
((1)) '
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+a4 a5L
Somando as EQ(6) e EQ(5):
＝a4 ++−a5L a2L a1
EQ(5) ＝+a1 a4 ⋅−―
L
2
⎛⎝ +3 a5 a2⎞⎠
＝a4 −−+−a5L a2L ――
a5L
4
――
3 a2L
4EQ(6) ＝−a1 a4 −a5L a2L
＝2 a1 −+−−―――
3 a5 L
2
――
a2 L
2
a5L a2L ＝a4 +−――
5 a5L
4
――
a2L
4
＝2 a1 −a5
⎛
⎜
⎝
−L ――
3 L
2
⎞
⎟
⎠
a2
⎛
⎜
⎝
+L ―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝a1 −−――
a5L
4
――
3 a2L
4
Passo 4) Substituir os coeficientes nos polinômios
＝a0 0 ＝a3 −−a4L a5L
2 ＝a3 +−――
a2L
2
4
――
a5L
2
4
＝a1 −−――
3 a2L
4
――
a5L
4
＝a3 −−L
⎛
⎜
⎝
+−――
5 a5L
4
――
a2L
4
⎞
⎟
⎠
a5L
2
＝a4 −――
a2L
4
――
5 a5L
4
＝a3 −−―――
5 a5L
2
4
――
a2L
2
4
a5L
2
Substituindo:
＝v1
((1)) ((x)) ++a0 a1x a2x
2
＝v1
((1)) ((x)) +x
⎛
⎜
⎝
−−――
3 a2L
4
――
a5L
4
⎞
⎟
⎠
a2x
2
＝v1
((1)) ((x)) −−a2x
2 ――
3 a2L
4
x ――
a5L
4
x ∀x⊆
⎛
⎜
⎝
,0 ―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝v2
((1)) ((x)) ++a3 a4x a5x
2
＝v2
((1)) ((x)) +++−――
a2L
2
4
――
a5L
2
4
x
⎛
⎜
⎝
−――
a2L
4
――
5 a5L
4
⎞
⎟
⎠
a5x
2
＝v2
((1)) ((x)) +−−+a5x
2 ――
a2L
4
x ――
5 a5L
4
x ――
a2L
2
4
――
a5L
2
4
∀x⊆
⎛
⎜
⎝
,―
L
2
L
⎞
⎟
⎠
Passo 5) Derivar os polinômios
＝v1
((1)) ((x)) −−a2x
2 ――
3 a2L
4
x ――
a5L
4
x ＝v2
((1)) ((x)) ++−+a5x
2 ――
a2L
4
x ――
5 a5L
4
x −――
a2L
2
4
――
a5L
2
4
＝v1
((1)) ' ((x)) −−2 a2x ――
3 a2L
4
――
a5L
4
＝v2
((1)) ' ((x)) −+2 a5x ――
a2L
4
――
5 a5L
4
＝v1
((1)) ' ' ((x)) 2 a2 ＝v2
((1)) '' ((x)) 2 a5
Passo 6) Substituir as funções no funcional da energia potencial total ( )Π
＝Π −
⌠
⎮
⎮
⎮⌡
d
0
L
―
1
2
EI
⎛
⎜
⎜⎝
――
d
d
2
x
2
v ((x))
⎞
⎟
⎟⎠
2
x Pv
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
Subdividindo o domínio de integração:
Subdividindo o domínio deintegração:
＝Π
((1)) −+
⌠
⎮
⎮
⎮⌡
d
0
0.5 L
―
1
2
EI1
⎛
⎜
⎜⎝
――
d
d
2
x
2
v1
((1)) ((x))
⎞
⎟
⎟⎠
2
x
⌠
⎮
⎮
⎮⌡
d
0.5 L
L
―
1
2
EI2
⎛
⎜
⎜⎝
――
d
d
2
x
2
v2
((1)) ((x))
⎞
⎟
⎟⎠
2
x Pv1
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝v1
((1)) ((x)) −−a2x
2 ――
3 a2L
4
x ――
a5L
4
x
＝v1
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−−――
a2L
2
4
―――
3 a2L
2
8
――
a5L
2
8
＝v1
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−a2
⎛
⎜
⎝
−――
L
2
4
――
3 L2
8
⎞
⎟
⎠
――
a5L
2
8
＝v1
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−−a2 ――
L
2
8
a5 ――
L
2
8
＝Π
((1)) −+
⌠
⎮
⎮⌡
d
0
0.5 L
―
1
2
EI1 ⎛⎝2 a2⎞⎠
2
x
⌠
⎮
⎮⌡
d
0.5 L
L
―
1
2
EI2 ⎛⎝2 a5⎞⎠
2
x ――
PL
2
4
a2
＝Π
((1)) −+
⌠
⎮
⎮⌡
d
0
0.5 L
―
1
2
EI14 a2
2
x
⌠
⎮
⎮⌡
d
0.5 L
L
―
1
2
EI24 a5
2
x P
⎛
⎜
⎝
−−a2 ――
L
2
8
a5 ――
L
2
8
⎞
⎟
⎠
＝Π
((1)) +++2 EI1 a2
2 ⌠
⌡ d
0
0.5 L
1 x 2 EI2 a5
2 ⌠
⌡ d
0.5 L
L
1 x Pa2 ――
L
2
8
Pa5 ――
L
2
8
＝Π
((1)) +++2 EI1 a2
2 ⎛
⎜
⎝
−―
L
2
0
⎞
⎟
⎠
2 EI2 a5
2 ⎛
⎜
⎝
−L ―
L
2
⎞
⎟
⎠
Pa2 ――
L
2
8
Pa5 ――
L
2
8
＝Π
((1)) +++EI1 a2
2
L EI2 a5
2
L Pa2 ――
L
2
8
Pa5 ――
L
2
8
Passo 7) Substituir os valores de EI no funcional da energia potencial total
Sabendo que e então:＝EI1 2 ＝EI2 1
＝Π
((1)) +++2 a2
2
L a5
2
L Pa2 ――
L
2
8
Pa5 ――
L
2
8
Passo 8) Minimizando o funcional da energia potencial total ( )＝δΠ
((1)) 0
＝――
δΠ
((1))
δa2
0 ＝――
δΠ
((1))
δa5
0
＝――
δΠ
((1))
δa2
+4 a2 L ――
PL
2
8
＝――
δΠ
((1))
δa5
+2 a5 L ――
PL
2
8
＝+4 a2 L ――
PL
2
8
0 ＝2 a5 L −――
PL
2
8
＝4 a2 L −――
PL
2
8
＝a5 −――
PL
16
＝a2 −――
PL
32
Passo 9) Substituir os novos coeficientes obtidos nos polinômios
＝v1
((1)) ((x)) ++−――
PL
32
x
2 ―――
3 PL2
128
x ――
PL
2
64
x ∀x⊆
⎛
⎜
⎝
,0 ―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝v2
((1)) ((x)) +−+−−――
PL
16
x
2 ――
PL
2
128
x ―――
5 PL2
160
x ――
a2L
2
4
――
a5L
2
4
∀x⊆
⎛
⎜
⎝
,―
L
2
L
⎞
⎟
⎠
Passo 10) Calcular o deslocamento em L/2 e comparar com o resultado exato
＝v1
((1)) ((x)) ++−――
PL
32
x
2 ―――
3 PL2
128
x ――
PL
2
64
x
＝v1
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
++−――
PL
32
――
L
2
4
―――
3 PL2
128
―
L
2
――
PL
2
64
―
L
2
＝v1
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
++−――
PL
3
128
―――
3 PL3
256
――
PL
3
128
＝v1
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
―――
3 PL3
256
Sabendo que e então:＝P 10 ＝L 10
＝v1
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
117.2
Comparando o valor do deslocamento obtido com o polinômio aproximador de segundo grau com a 
resposta exata, observa-se que ainda estamos longe do resultado exato.
＝v1
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
117.2 ＝v
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
EXATO
156.3
Para uma segunda aproximação, serão utilizdos polinômios de quarto grau.
Passo 1) Como segunda aproximação serão utilizados dois polinômios de quarto grau:
＝v1
((2)) ((x)) ++++a0 a1x a2x
2
a3x
3
a4x
4 e ＝v2
((2)) ((x)) ++++a5 a6x a7x
2
a8x
3
a9x
4
Passo 2) Aplicar as condições de contorno nos polinômios
Condição 1: Condição 2:＝v1
((2)) ((0)) 0 ＝v2
((2)) ((L)) 0
＝v1
((2)) ((x)) ++++a0 a1x a2x
2
a3x
3
a4x
4 ＝v2
((2)) ((x)) ++++a5 a6x a7x
2
a8x
3
a9x
4
＝v1
((2)) ((0)) ++++a0 a10 a20
2
a30
3
a40
4 ＝v2
((2)) ((L)) ++++a5 a6L a7L
2
a8L
3
a9L
4
＝v1
((2)) ((0)) a0 ＝++++a5 a6L a7L
2
a8L
3
a9L
4 0
＝a0 0 ＝a5 −−−−a6L a7L
2
a8L
3
a9L
4
Então:
＝v1
((2)) ((x)) +++a1x a2x
2
a3x
3
a4x
4
＝v2
((2)) ((x)) −−−−+++a6x a7x
2
a8x
3
a9x
4
a6L a7L
2
a8L
3
a9L
4
Passo 3) Aplicar as condições de continuidade polinômios
Condição 1: ＝v1
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
v2
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝v1
((2))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+++⋅a1 ―
L
2
⋅a2 ――
L
2
4
⋅a3 ――
L
3
8
⋅a4 ――
L
4
16
＝v2
((2))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−−−−+++⋅a6 ―
L
2
⋅a7 ――
L
2
4
⋅a8 ――
L
3
8
⋅a9 ――
L
4
16
a6L a7L
2
a8L
3
a9L
4
＝v2
((2))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−−−⋅−a6 ―
L
2
⋅a7 ――
3 L2
4
⋅a8 ――
7 L3
8
⋅a9 ―――
15 L4
16
＝+++⋅a1 ―
L
2
⋅a2 ――
L
2
4
⋅a3 ――
L
3
8
⋅a4 ――
L
4
16
−−−⋅−a6 ―
L
2
⋅a7 ――
3 L2
4
⋅a8 ――
7 L3
8
⋅a9 ―――
15 L4
16
＝⋅a1 ―
L
2
−−−−−−⋅−a6 ―
L
2
⋅a7 ――
3 L2
4
⋅a8 ――
7 L3
8
⋅a9 ―――
15 L4
16
⋅a2 ――
L
2
4
⋅a3 ――
L
3
8
⋅a4 ――
L
4
16
＝⋅a1 8 L −−−−−−⋅−a6 8 L ⋅a7 12 L
2 ⋅a8 14 L
3 ⋅a9 15 L
4 ⋅4 a2 L
2 ⋅2 a3 L
3 ⋅a4 L
4
＝a1 −−−−−−−a6 a7 ――
3 L
2
⋅a8 ――
7 L2
4
⋅a9 ―――
15 L3
8
⋅a2 ―
L
2
⋅a3 ――
L
2
4
⋅a4 ――
L
3
8
EQ(7)
Condição 2: ＝v1'
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
v2'
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝v1
((2)) ((x)) +++a1x a2x
2
a3x
3
a4x
4
＝v1
((2)) ' ((x)) +++a1 2 a2x 3 a3x
2 4 a4x
3
＝v1
((2)) '
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+++a1 a2L ⋅a3 ――
3 L2
4
⋅a4 ――
L
3
2
＝v2
((2)) ((x)) −−−−+++a6x a7x
2
a8x
3
a9x
4
a6L a7L
2
a8L
3
a9L
4
＝v2
((2)) ' ((x)) +++a6 2 a7x 3 a8x
2 4 a9x
3
＝v2
((2)) '
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+++a6 ⋅a7 L ⋅a8 ――
3 L2
4
⋅a9 ――
L
3
2
＝+++a1 a2L ⋅a3 ――
3 L2
4
⋅a4 ――
L
3
2
+++a6 ⋅a7 L ⋅a8 ――
3 L2
4
⋅a9 ――
L
3
2
＝a6 −−−+++a1 a2L ⋅a3 ――
3 L2
4
⋅a4 ――
L
3
2
⋅a7 L ⋅a8 ――
3 L2
4
⋅a9 ――
L
3
2
＝a6 +++−−−−−−−a6 a7 ――
3 L
2
⋅a8 ――
7 L2
4
⋅a9 ―――
15 L3
8
⋅a2 ―
L
2
⋅a3 ――
L
2
4
⋅a4 ――
L
3
8
a2L ⋅a3 ――
3 L2
4
⋅a4 ――
L
3
2
−−⋅−a7 L ⋅a8 ――
3 L2
4
⋅a9 ――
L
3
2
＝2 a6 −−−++⋅a2 ―
L
2
⋅a3 ――
L
2
2
⋅a4 ――
3 L3
8
a7 ――
5 L
2
⋅a8 ――
5 L2
2
⋅a9 ―――
19 L3
8
＝a6 −−−++⋅a2 ―
L
4
⋅a3 ――
L
2
4
⋅a4 ――
3 L3
16
a7 ――
5 L
4
⋅a8 ――
5 L2
4
⋅a9 ―――
19 L3
16
EQ(8)
Substituindo a EQ(8) na EQ(7):
＝a1 −−−+++−−⋅−a2 ―
L
4
⋅a3 ――
L
2
4
⋅a4 ――
3 L3
16
a7 ――
5 L
4
⋅a8 ――
5 L2
4
⋅a9 ―――
19 L3
16
a7 ――
3 L
2
⋅a8 ――
7 L2
4
⋅a9 ―――
15 L3
8
−−⋅−a2 ―
L
2
⋅a3 ――
L
2
4
⋅a4 ――
L
3
8
＝a1 −−−−−⋅−a2 ――
3 L
4
⋅a3 ――
L
2
2
⋅a4 ――
5 L3
16
a7 ―
L
4
⋅a8 ――
L
2
2
⋅a9 ―――
11 L3
16
Passo 4) Substituir os coeficientes nos polinômios
＝v1
((2)) ((x)) +++a1x a2x
2
a3x
3
a4x
4
∀x⊆
⎛
⎜
⎝
,0 ―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝v1
((2)) ((x)) +++
⎛
⎜
⎝
−−−−−⋅−a2 ――
3 L
4
⋅a3 ――
L
2
2
⋅a4 ――
5 L3
16
a7 ―
L
4
⋅a8 ――
L
2
2
⋅a9 ―――
11 L3
16
⎞
⎟
⎠
x a2x
2
a3x
3
a4x
4
＝v2
((2)) ((x)) −−−−+++a6x a7x
2
a8x
3
a9x
4
a6L a7L
2
a8L
3
a9L
4
∀x⊆
⎛
⎜
⎝
,―
L
2
L
⎞
⎟
⎠
＝v2
((2)) ((x)) +++
⎛
⎜
⎝
−−−++⋅a2 ―
L
4
⋅a3 ――
L
2
4
⋅a4 ――
3 L3
16
a7 ――
5 L
4
⋅a8 ――
5 L2
4
⋅a9 ―――
19 L3
16
⎞
⎟
⎠
x a7x
2
a8x
3
a9x
4
−−−−
⎛
⎜
⎝
−−−++⋅a2 ―
L
4
⋅a3 ――
L
2
4
⋅a4 ――
3 L3
16
a7 ――
5 L
4
⋅a8 ――
5 L2
4
⋅a9 ―――
19 L3
16
⎞
⎟
⎠
L a7L
2
a8L
3
a9L
4
Passo 5) Derivar os polinômios
＝v1
((2)) ((x)) +++
⎛
⎜
⎝
−−−−−⋅−a2 ――
3 L
4
⋅a3 ――
L
2
2
⋅a4 ――
5 L3
16
a7 ―
L
4
⋅a8 ――
L
2
2
⋅a9 ―――
11 L3
16
⎞
⎟
⎠
x a2x
2
a3x
3
a4x
4
＝v1
((2)) ' ((x)) +++
⎛
⎜
⎝
−−−−−⋅−a2 ――
3 L
4
⋅a3 ――
L
2
2
⋅a4 ――
5 L3
16
a7 ―
L
4
⋅a8 ――
L
2
2
⋅a9 ―――
11 L3
16
⎞
⎟
⎠
2 a2x 3 a3x
2 4 a4x
3
＝v1
((2)) '' ((x)) ++2 a2 6 a3x 12 a4x
2
＝v2
((2)) ((x)) +++
⎛
⎜
⎝
−−−++⋅a2 ―
L
4
⋅a3 ――
L
2
4
⋅a4 ――
3 L3
16
a7 ――
5 L
4
⋅a8 ――
5 L2
4
⋅a9 ―――
19 L3
16
⎞
⎟
⎠
x a7x
2
a8x
3
a9x
4
−−−−
⎛
⎜
⎝
−−−++⋅a2 ―
L
4
⋅a3 ――
L
2
4
⋅a4 ――
3 L3
16
a7 ――
5 L
4
⋅a8 ――
5 L2
4
⋅a9 ―――
19 L3
16
⎞
⎟
⎠
L a7L
2
a8L
3
a9L
4
＝v2
((2)) ' ((x)) +++
⎛
⎜
⎝
−−−++⋅a2 ―
L
4
⋅a3 ――
L
2
4
⋅a4 ――
3 L3
16
a7 ――
5 L
4
⋅a8 ――
5 L2
4
⋅a9 ―――
19 L3
16
⎞
⎟
⎠
2 a7x 3 a8x
2 4 a9x
3
＝v2
((2)) '' ((x)) ++2 a7 6 a8x 12 a9x
2
Passo 6) Substituir as funções no funcional da energia potencial total
＝Π −
⌠
⎮
⎮
⎮⌡
d
0
L
―
1
2
EI
⎛
⎜
⎜⎝
――
d
d
2
x
2
v ((x))
⎞
⎟
⎟⎠
2
x Pv
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
Subdividindo o domínio de integração:
＝Π
((2)) −+
⌠
⎮
⎮
⎮⌡
d
0
0.5 L
―
1
2
EI1
⎛
⎜
⎜⎝
――
d
d
2
x
2
v1
((2)) ((x))
⎞
⎟
⎟⎠
2
x
⌠
⎮
⎮
⎮⌡
d
0.5 L
L
―
1
2
EI2
⎛
⎜
⎜⎝
――
d
d
2
x
2
v2
((2)) ((x))
⎞
⎟
⎟⎠
2
x Pv1
((2))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝v1
((2)) ((x)) +++
⎛
⎜
⎝
−−−−−⋅−a2 ――
3 L
4
⋅a3 ――
L
2
2
⋅a4 ――
5 L3
16
a7 ―
L
4
⋅a8 ――
L
2
2
⋅a9 ―――
11 L3
16
⎞
⎟
⎠
x a2x
2
a3x
3
a4x
4
＝v1
((2))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+++
⎛
⎜
⎝
−−−−−⋅−a2 ――
3 L
4
⋅a3 ――
L
2
2
⋅a4 ――
5 L3
16
a7 ―
L
4
⋅a8 ――
L
2
2
⋅a9 ―――
11 L3
16
⎞
⎟
⎠
―
L
2
⋅a2 ――
L
2
4
⋅a3 ――
L
3
8
⋅a4 ――
L
4
16
＝v1
((2))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−−−+−+−+⋅−a2 ――
3 L2
8
⋅a2 ――
L
2
4
⋅a3 ――
L
3
4
⋅a3 ――
L
3
8
⋅a4 ――
5 L4
32
⋅a4 ――
L
4
16
a7 ――
L
2
8
⋅a8 ――
L
34
⋅a9 ―――
11 L4
32
＝v1
((2))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−−−−−⋅−a2 ――
L
2
8
⋅a3 ――
L
3
8
⋅a4 ――
3 L4
32
a7 ――
L
2
8
⋅a8 ――
L
3
4
⋅a9 ―――
11 L4
32
＝Π
((2)) −+
⌠
⎮
⎮⌡
d
0
0.5 L
―
1
2
EI1
⎛⎝v1
((2)) '' ((x))⎞⎠
2
x
⌠
⎮
⎮⌡
d
0.5 L
L
―
1
2
EI2
⎛⎝v2
((2)) '' ((x))⎞⎠
2
x Pv1
((2))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝Π
((2)) −+
⌠
⎮
⎮⌡
d
0
0.5 L
―
1
2
EI1
⎛⎝ ++2 a2 6 a3x 12 a4x
2 ⎞⎠
2
x
⌠
⎮
⎮⌡
d
0.5 L
L
―
1
2
EI2
⎛⎝ ++2 a7 6 a8x 12 a9x
2 ⎞⎠
2
x Pv1
((2))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
Passo 7) Substituir os valores de EI no funcional da energia potencial total e resolvendo as integrais
Sabendo que e então:＝EI1 2 ＝EI2 1
＝Π
((2)) ⌠
⎮⌡
d
0
0.5 L
⎛⎝ +++++4 a2
2 ⋅36 a3
2
x
2 ⋅⋅144 a4
2
x
4 ⋅⋅⋅24 a2 a3 x ⋅⋅⋅48 a2 a4 x
2 ⋅⋅⋅144 a3 a4 x
3 ⎞⎠ x
−+―
1
2
⌠
⎮⌡
d
0.5 L
L
⎛⎝ +++++4 a7
2 ⋅36 a8
2
x
2 ⋅⋅144 a9
2
x
4 ⋅⋅⋅24 a7 a8 x ⋅⋅⋅48 a7 a9 x
2 ⋅⋅⋅144 a8 a9 x
3 ⎞⎠ x Pv1
((2))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝
⌠
⎮⌡
d
0
0.5 L
⎛⎝ +++++4 a2
2 ⋅36 a3
2
x
2 ⋅⋅144 a4
2
x
4 ⋅⋅⋅24 a2 a3 x ⋅⋅⋅48 a2 a4 x
2 ⋅⋅⋅144 a3 a4 x
3 ⎞⎠ x
＝
⎛
⎜
⎝
+++++4 a2
2
x ⋅12 a3
2
x
3 ⋅⋅――
144
5
a4
2
x
5 ⋅⋅⋅12 a2 a3 x
2 ⋅⋅⋅16 a2 a4 x
3 ⋅⋅⋅36 a3 a4 x
4 ⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
−―
L
2
0
⎞
⎟
⎠
＝ +++++2 a2
2
L ⋅―
3
2
a3
2
L
3 ⋅⋅―
9
10
a4
2
L
5 ⋅⋅⋅3 a2 a3 L
2 ⋅⋅⋅2 a2 a4 L
3 ⋅⋅⋅―
9
4
a3 a4 L
4
L
＝―
1
2
⌠
⎮⌡
d
0.5 L
L
⎛⎝ +++++4 a7
2 ⋅36 a8
2
x
2 ⋅⋅144 a9
2
x
4 ⋅⋅⋅24 a7 a8 x ⋅⋅⋅48 a7 a9 x
2 ⋅⋅⋅144 a8 a9 x
3 ⎞⎠ x
＝
⎛
⎜
⎝
+++++2 a7
2
x ⋅6 a8
2
x
3 ⋅⋅―
72
5
a9
2
x
5 ⋅⋅⋅6 a7 a8 x
2 ⋅⋅⋅8 a7 a9 x
3 ⋅⋅⋅18 a8 a9 x
4 ⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
−L ――
L
((2))
⎞
⎟
⎠
＝
⎛
⎜
⎝
+++++2 a7
2
L ⋅6 a8
2
L
3 ⋅⋅―
72
5
a9
2
L
5 ⋅⋅⋅6 a7 a8 L
2 ⋅⋅⋅8 a7 a9 L
3 ⋅⋅⋅18 a8 a9 L
4 ⎞
⎟
⎠
−
⎛
⎜
⎝
+++++a7
2
L ⋅―
3
4
a8
2
L
3 ⋅⋅―
9
20
a9
2
L
5 ⋅⋅⋅―
3
2
a7 a8 L
2 ⋅⋅a7 a9 L
3 ⋅⋅⋅―
9
8
a8 a9 L
4 ⎞
⎟
⎠
＝ +++++a7
2
L ⋅―
21
4
a8
2
L
3 ⋅⋅――
279
20
a9
2
L
5 ⋅⋅⋅―
9
2
a7 a8 L
2 ⋅⋅⋅7 a7 a9 L
3 ⋅⋅⋅――
135
8
a8 a9 L
4
＝Π
((2)) +++++2 a2
2
L ⋅―
3
2
a3
2
L
3 ⋅⋅―
9
10
a4
2
L
5 ⋅⋅⋅3 a2 a3 L
2 ⋅⋅⋅2 a2 a4 L
3 ⋅⋅⋅―
9
4
a3 a4 L
4
++++++a7
2
L ⋅―
21
4
a8
2
L
3 ⋅⋅――
279
20
a9
2
L
5 ⋅⋅⋅―
9
2
a7 a8 L
2 ⋅⋅⋅7 a7 a9 L
3 ⋅⋅⋅――
135
8
a8 a9 L
4
++++++ ⋅a2 ――
PL
2
8
⋅a3 ――
PL
3
8
⋅a4 ―――
3 PL4
32
a7 ――
PL
2
8
⋅a8 ――
PL
3
4
⋅a9 ―――
11 PL4
32
Passo 8) Minimizando o funcional da energia potencial total ( ) e substituindo os valores de 
L e P.
＝δΠ
((2)) 0
＝――
δΠ
((2))
δa2
0
＝――
δΠ
((2))
δa2
+++4 a2 L ⋅⋅3 a3 L
2 ⋅⋅2 a4 L
3 ――
PL
2
8
＝+++40 a2 ⋅300 a3 ⋅2000 a4 125 0
＝――
δΠ
((2))
δa3
0
＝――
δΠ
((2))
δa3
+++⋅3 a3 L
3 ⋅⋅3 a2 L
2 ⋅⋅―
9
4
a4 L
4 ――
PL
3
8
＝+++3000 a3 ⋅300 a2 ⋅22500 a4 1250 0
＝――
δΠ
((2))
δa4
0
＝――
δΠ
((2))
δa4
+++⋅⋅―
9
5
a4 L
5 ⋅⋅2 a2 L
3 ⋅⋅―
9
4
a3 L
4 ―――
3 PL4
32
＝+++⋅180000 a4 ⋅2000 a2 ⋅22500 a3 9375 0
＝――
δΠ
((2))
δa7
0
＝――
δΠ
((2))
δa7
+++2 a7 L ⋅⋅―
9
2
a8 L
2 ⋅⋅7 a9 L
3 ――
PL
2
8
＝+++20 a7 ⋅450 a8 ⋅7000 a9 125 0
＝――
δΠ
((2))
δa8
0
＝――
δΠ
((2))
δa8
+++⋅―
21
2
a8 L
3 ⋅⋅―
9
2
a7 L
2 ⋅⋅――
135
8
a9 L
4 ――
PL
3
4
＝+++10500 a8 ⋅450 a7 ⋅168750 a9 2500 0
＝――
δΠ
((2))
δa9
0
＝――
δΠ
((2))
δa9
+++⋅⋅――
279
10
a9 L
5 ⋅⋅7 a7 L
3 ⋅⋅――
135
8
a8 L
4 ―――
11 PL4
32
＝+++⋅2790000 a9 ⋅7000 a7 ⋅168750 a8 34375 0
Calculando os coeficientes chegamos através do sistema de equações, temos:
＝+++40 a2 ⋅300 a3 ⋅2000 a4 125 0 ＝a2 0
＝+++3000 a3 ⋅300 a2 ⋅22500 a4 1250 0 ＝a3 ――
−5
12
＝+++⋅180000 a4 ⋅2000 a2 ⋅22500 a3 9375 0 ＝a4 0
＝+++20 a7 ⋅450 a8 ⋅7000 a9 125 0 ＝a7 −25
＝+++10500 a8 ⋅450 a7 ⋅168750 a9 2500 0 ＝a8 ―
5
6
＝+++⋅2790000 a9 ⋅7000 a7 ⋅168750 a8 34375 0 ＝a9 0
＝a6 −−−++⋅a2 ―
L
4
⋅a3 ――
L
2
4
⋅a4 ――
3 L3
16
a7 ――
5 L
4
⋅a8 ――
5 L2
4
⋅a9 ―――
19 L3
16
＝a6 197.91
＝a5 −−−−a6L a7L
2
a8L
3
a9L
4 ＝a5 −312.43
＝a1 −−−−−−−a6 a7 ――
3 L
2
⋅a8 ――
7 L2
4
⋅a9 ―――
15 L3
8
⋅a2 ―
L
2
⋅a3 ――
L
2
4
⋅a4 ――
L
3
8
＝a1 41.67
Passo 9) Substituir os novos coeficientes obtidos nos polinômios
＝v1
((2)) ((x)) ++++a0 a1x a2x
2
a3x
3
a4x
4
＝v1
((2)) ((x)) −41.67 x ―
5
12
x
3
∀x⊆
⎛
⎜
⎝
,0 ―
L
2
⎞
⎟
⎠
＝v2
((2)) ((x)) ++++a5 a6x a7x
2
a8x
3
a9x
4
＝v2
((2)) ((x)) +−+−312.43 197.91 x 25 x
2 ―
5
6
x
3
∀x⊆
⎛
⎜
⎝
,―
L
2
L
⎞
⎟
⎠
Passo 10) Calcular o deslocamento em L e comparar com o resultado exato
＝v2
((1)) ((x)) −41.67 x ―
5
12
x
3
∀x⊆
⎛
⎜
⎝
,―
L
2
L
⎞
⎟
⎠
＝v2
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
−41.67 5 ―
5
12
53
＝v2
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
156.3
＝v2
((2)) ((x)) +−+−312.43 197.91 x 25 x
2 ―
5
6
x
3
＝v2
((2))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
+−+−312.43 197.91 5 25 52 ―
5
6
53
＝v2
((2))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
156.3
Comparando o valor do deslocamento obtido com o polinômio aproximador de quarto grau com a 
resposta exata, observa-se que os valores convergiram.
＝v2
((1))
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
156.3 ＝v
⎛
⎜
⎝
―
L
2
⎞
⎟
⎠
EXATO
156.3
	pag1-trab
	COV740 2023 Trabalho 1 Higor Pereira de Oliveira.pdf