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Exercícios resolvidos (exemplos) 
 
Exemplo 2: Obter o diagrama de momento fletor e as reações de apoio 
do pórtico abaixo, conforme mostra a Figura 1. 
Dados: 
E J = 0,0001 KNm2. 
 
Figura 1 – Pórtico hiperestático. 
 
1º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
No sistema principal, temos que calcular o número total de 
deslocabilidades (di + de) para a estrutura hiperestática. Colocar nomes 
nas barras, nomes nos apoios e numerar as placas e os apoios adicionais. 
 
 
 
 
Figura 2 – Sistema principal com as placas, nomes nas barras e apoios. 
 
Nó A  não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há 
deslocabilidade interna. Não há deslocamento linear em A; 
Nó B não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há 
deslocabilidade interna. Há deslocamento horizontal em B; 
Nó D  precisa de placa, para saber a rotação em D. Não precisa de apoio 
adicional, pois não há deslocamento linear (o apoio C evita o deslocamento 
horizontal na barra 3 e 4); 
Nó E  precisa de placa, para saber a rotação em E. Não precisa de apoio 
adicional, pois não há deslocamento linear na barra 4 (o apoio C evita o 
deslocamento horizontal na barra 3 e 4); 
Nó C  não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há 
deslocabilidade interna. Não há deslocamento linear em C. 
 
Colocar placa e apoio adicional: 
de = 0 (apoio adicional) 
di = 2 (placas) 
d = de + di = 2 
 
Logo o sistema será: 
 
10 +11 Δ1 +12 Δ2 = 0 
20 +21 Δ1 +22 Δ2 = 0 
 
2º Passo: Estado 0 (só carga): 
 
Barra 1 = 0 
 
Barra 2: apoio e engaste 
 
 
Cálculo do momento fletor em E, da barra 2. 
Usando a tabela de momento de engastamento perfeito (tabela 1). 
Terceira coluna: 
 
Carga momento de 21 kNm 
𝑀𝐸 = −
𝑀
2
(
3𝑎2
𝑙2
− 1) = − 
21
2
(
3𝑥22
72
− 1) 
 
Carga pontual de 3 kN 
𝑀𝐸 = +
𝑃𝑎𝑏
2𝑙2
(𝑙 + 𝑎) = +
3𝑥2𝑥5
2𝑥72
(7 + 5) 
Virando a barra 
para 
visualizar melhor 
 
 
𝑀𝐸 = 11,60 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 3: engaste e engaste 
 
 
Cálculo dos momentos fletores em D e E. 
Usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1). 
Primeira coluna: 
 
Carga distribuída de 2 kN/m 
𝑀𝐷 = +
𝑞𝑐
12𝑙2
(12𝑎𝑏2 + 𝑐2(𝑙 − 3𝑏)) = +
2𝑥3
12𝑥52
(12𝑥1,5𝑥3,52 + 32(5 − 3𝑥3,5))
= 3,42 𝑘𝑁𝑚 
 
𝑀𝐸 = −
𝑞𝑐
12𝑙2
(12𝑎2𝑏 + 𝑐2(𝑙 − 3𝑎)) = +
2𝑥3
12𝑥52
(12𝑥1,52𝑥3,5 + 32(5 − 3𝑥1,5))
= −1,98 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 4: engaste e apoio 
 
 
Cálculo do momento fletor em E. 
 
Usando a tabela de momento de engastamento perfeito (tabela 1). 
Segunda coluna: 
 
Carga distribuída de 31 kN/m 
𝑀𝐸 = +
𝑞𝑏𝑐
8𝑙2
(4𝑎(𝑏 + 𝑙) − 𝑐2) = +
31𝑥3𝑥4
8𝑥52
(4𝑥2(3 + 5) − 42) = 89,28 𝑘𝑁𝑚 
 
 
Somando os momentos fletores das placas 1 e 2: 
  10 = 3,42 + 0 = 3,42 kNm 
  20 = -1,98 + 11,60 + 89,28 = 98,90 kNm 
 
 
3º Passo: Estado 1 (rotação da placa 1 => Δ1): 
Cálculo da rigidez da placa 1. 
Rotacionando a placa 1, trabalha-se com as barras 1 e 3. 
 
 
 
Barra 1: apoio e engaste 
 
Trabalhando com a rigidez relativa: 
𝐾𝐷 = 
45
𝑙
=
45
7
= 6,43 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 3: engaste e engaste 
 
𝐾𝐷 = 
60
𝑙
=
60
5
= 12 𝑘𝑁𝑚 
𝐾𝐸 = 
30
𝑙
=
30
5
= 6 𝑘𝑁𝑚 
 
Somando os momentos fletores das placas 1 e 2: 
  11 = 6,43 + 12 = 18,43 kNm 
 
  21 = 6 kNm 
 
 
 
4º Passo: Estado 2 (rotação da placa 2 => Δ2): 
Cálculo da rigidez da placa 2. 
Rotacionando a placa 2, trabalha-se com as barras 2, 3 e 4. 
 
 
Barra 2: apoio e engaste 
 
 
Trabalhando com a rigidez relativa: 
 
𝐾𝐸 = 
45
𝑙
=
45
7
= 6,43 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 3: engaste e engaste 
 
Trabalhando com a rigidez relativa: 
 
𝐾𝐸 = 
60
𝑙
=
60
5
= 12 𝑘𝑁𝑚 
𝐾𝐷 = 
30
𝑙
=
30
5
= 6 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 4: engaste e apoio 
 
Trabalhando com a rigidez relativa: 
 
𝐾𝐸 = 
45
𝑙
=
45
5
= 9 𝑘𝑁𝑚 
 
Somando os momentos fletores das placas 1 e 2: 
  12 = 6 kNm 
  22 = 12 + 6,43 + 9 = 27,43 kNm 
 
 
 
5º Passo: Sistema 
10 +11 Δ1 +12 Δ2 = 0 
20 +21 Δ1 +22 Δ2 = 0 
4,42 +18,43 Δ1 + 6 Δ2 = 0 
98,90 +6 Δ1 + 27,43 Δ2 = 0 
Δ1 = 1,06401 
Δ2 = -3,83828 
 
 
6º Passo: Superposição 
M = M0 + M1 Δ1 + M2 Δ2 
𝑀𝐷
1 = 0 + 6,43 𝑥(1,06401) + 0 𝑥 (−3,83828) = 6,84 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐷
3 = 3,42 + 12 𝑥(1,06401) + 6 𝑥 (−3,83828) = −6,84 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐸
2 = 11,60 + 0 𝑥(1,06401) + 6,43 𝑥 (−3,83828) = −13,07 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐸
3 = −1,98 + 6 𝑥(1,06401) + 12 𝑥 (−3,83828) = −41,66 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐸
4 = 89,28 + 0 𝑥(1,06401) + 9 𝑥 (−3,83828) = 54,73 𝑘𝑁𝑚 
 
 
 
Figura 3 – Pórtico com diagrama de momentos fletores (kNm) e as reações de apoio. 
 
 
Exemplo 3: Obter os diagramas dos esforços seccionais e as reações de 
apoio do pórtico abaixo, conforme mostra a Figura 4. 
Dados: 
E = 2,0 x 107 kN/m2 
J = 0,03 m4. 
 
Figura 4 – Pórtico hiperestático. 
 
1º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
No sistema principal, temos que calcular o número total de 
deslocabilidades (di + de) para a estrutura hiperestática. Colocar nomes 
nas barras, nomes nos apoios e numerar as placas e os apoios adicionais. 
 
 
 
 
Figura 5 – Sistema principal com as placas, nomes nas barras e apoios. 
 
Nó A  não precisa de placa pois, o engaste não sofre deformação; 
Nó B  precisa de placa, para saber a rotação em B e não há 
deslocamento linear em B (pois a barra AB está sem deslocamento devido ao 
engaste em A); 
Nó C  não precisa de placa, pois apoio de 1º e 2º gênero não há 
deslocabilidade interna. Não há deslocamento linear em C. 
 
Colocar placa e apoio adicional: 
de = 0 (apoio adicional) 
di = 1 (placa) 
d = de + di = 1 
 
Logo o sistema será: 
10 +11 Δ1 = 0 
 
2º Passo: Estado 0 (só carga): 
 
Barra 1: engaste e engaste 
 
 
 
Cálculo dos momentos fletores em A e B. 
Usando a tabela de Momento de engastamento perfeito (tabela 1). 
Primeira coluna: 
 
Carga distribuída de 50 kN/m 
𝑀𝐴 = +
𝑞𝑙2
12
= +
50 𝑥 42
12
= 66,67 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐵 = −
𝑞𝑙2
12
= −
50 𝑥 42
12
= − 66,67 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 2: engaste e apoio 
 
 
Cálculo do momento fletor em B. 
Usando a tabela de momento de engastamento perfeito (tabela 1). 
 
Segunda coluna: 
 
Carga distribuída de 50 kN/m 
𝑀𝐵 = + 
𝑞𝑙2
8
= +
50 𝑥 32
8
= 56,25 𝑘𝑁𝑚 
 
Carga pontual de 110 kN 
𝑀𝐵 = − 
3
16
𝑃𝑙 = −
3
16
110 𝑥 4 = −82,5 𝑘𝑁𝑚 
 
Somando os dois valores de momento em B  56,25 – 82,5 = -26,25 kNm 
 
Somando os momentos fletores da placa 1: 
  10 = -66,67 + -26,25 = -92,92 kNm 
 
 
3º Passo: Estado 1 (rotação da placa 1 => Δ1): 
Cálculo da rigidez da placa 1. 
Rotacionando a placa 1, trabalha-se com as barras 1 e 2. 
 
 
 
Barra 1: engaste e engaste 
 
 
𝐾𝐵 = 
4𝐸𝐽
𝑙
=
4𝑥2,0𝑥107 𝑥 0,03
4
= 600000 𝑘𝑁𝑚 
𝐾𝐴 = 
2𝐸𝐽
𝑙
=
2𝑥2,0𝑥107 𝑥 0,03
4
= 300000 𝑘𝑁𝑚 
 
Barra 2: engaste e apoio 
 
 
𝐾𝐵 = 
3𝐸𝐽
𝑙
=
4𝑥2,0𝑥107 𝑥 0,03
5
= 360000 𝑘𝑁𝑚 
 
 
Somando os momentos fletores das placas 1: 
  11 = 600000 + 360000 = 960000 kNm 
 
 
5º Passo: Sistema 
10 +11 Δ1 +12 Δ2 = 0 
-92,92 +960000 Δ1 = 0 
Δ1 = 9,68 x 10-5 
 
 
 
6º Passo: Superposição 
M = M0 + M1 Δ1 
𝑀𝐴
1 = 66,67 + 300000 𝑥(9,68 x 10−5) = 95,71 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐵
1 = −66,67 + 600000 𝑥(9,68 x 10−5) = −8,59 𝑘𝑁𝑚 
𝑀𝐵
2 = −26,25 + 360000 𝑥(9,68 x 10−5) = 8,59 𝑘𝑁𝑚 
 
 
Figura 6 – Pórtico com diagrama de momentos fletores (kNm) e as reações de apoio. 
 
 
 
Figura 7 – Pórtico com diagrama de esforço normal e as reações de apoio. 
 
 
Figura 8 – Pórtico com diagrama de esforço cortante e as reações de apoio.