Matrizes e Determinantes

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matriz
A grosso modo, uma matriz é uma tabela de elementos 
(números, funções, etc.) dispostos ordenadamente em 
fi las horizontais (linhas) e fi las ver� cais (colunas).
MAT
c
Matemática C - Apostila 01 1
A grosso modo, uma matriz é uma tabela de elementos 
(números, funções, etc.) dispostos ordenadamente em 
fi las horizontais (linhas) e fi las ver� cais (colunas). c
TESTES
01. Ache as matrizes de:
a) M = (aij)2x2 tal que aij = i + j.
b) M = (aij)2 x 3 tal que aij = 2i – 4j.
c) M = (aij)2 x 2 tal que
 i + j se i ≠ j
aij = 
 i - j se i = j
Por que matrizes?
Tendo em vista a importância da resolução de sistemas 
lineares no dia a dia, uma maneira de estudá-las e obter 
algumas respostas mais rápidas sobre eles é fazendo o 
estudo da Teoria das Matrizes. Mas o que são matrizes?
Defi nição:
Uma matriz é um conjunto de números dispostos em uma 
tabela e distribuídos em linhas e colunas. Denotamos assim:
Amxn: A representa um matriz com m linhas e n colunas. 
Dizemos então que A tem ordem m x n.
aij: este representa um elemento genérico da matriz A, em 
particular, aij representa o elemento presente na linha i e 
coluna j. 
Note que, como A tem m linhas e n colunas, então temos 
que 1 < i < m e 1 < j < n.
Exemplos:
 , ordem 2x2.
, ordem 3x2.
 , ordem 1x4. 
Conhecida como matriz linha.
 , ordem 3x1. Conhecida como matriz coluna.
IGUALDADE DE MATRIZES
Dadas duas matrizes C e D de mesma ordem. Se tivermos 
cada elemento de C igual a cada elemento correspondente 
em D, dizemos que C e D são iguais.
Ex.:
C = D =-2 3 2 3 1 -8 - 1 -8
 2x2 2x2
-
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
matriz
2
matemÁtica C
APOSTILA 01
Matemática C - Apostila 01 
TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ
A matriz transposta de uma matriz A é denotada AT e é 
obtida trocando linhas por colunas.
Exemplos:
 , então 
 , então 
portanto:
aij = bji
TESTEs
02. Sendo A = 
então At = 3 X 4
-1 2 -2 3
-1 4 -0 7
-6 5 -5 6
3 X 3
1 2 x
y 5 3
7 z 6
03. Uma matriz M é chamada matriz simétrica se Mt = M. Ache 
os valores de x, y e z para que a matriz abaixo seja simétrica.
A =
Observe que, para ser simétrica, M deve ser quadrada (isto é, 
de ordem n x n) e aij = aji.
MATRIZ IDENTIDADE 
(OU UNIDADE)
Observação: (chamaremos de Diagonal Principal o 
conjunto dos elementos aij de uma matriz quadrada, em 
que i = j, formam uma diagonal).
Matriz identidade, I n x n ,é uma Matriz quadrada em que 
todos os elementos da diagonal principal são iguais a 
1(um) e todos os outros elementos são 0 (zero).
Ex:
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Multiplicação por número real
Multiplica-se cada elemento da matriz pelo número.
Exemplo:
TESTES
04. Sendo A = 
então 2.A: 3 X 2
-2 -3
-5 -7
-6 -1
05. A “oposta de uma matriz M” é representada por - M e defi nida 
por –M = -1. M . Calcule a oposta de:
M =
3 X 2
-2 -3
-4 -0
-5 -1
06. Uma matriz M é chamada antissimétrica se Mt = - M. Ache os 
valores de x, y e z para que a matriz abaixo seja antissimétrica.
M =
3 X 3
x -2 -y
z -0 4
z -4 -x
Adição e Subtração de 
Matrizes
Condição: As matrizes a serem somadas têm que ter a 
mesma ordem.
Procedimento: Somam-se ou subtraem-se os elementos 
de mesma posição.
=
2 x 2
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
3Matemática C - Apostila 01
matemÁtica c
apostila 01matriz
2 2 0 0
00
2 2 22 2 2x x x
-3 -3
0 04 4- =
TESTEs
TESTES
07. Calcule:
a)
2 X 3 2 X 3
1 2 0
3 7 -2 
- 2 -1 5
-2 2 -6
b)
2 X 2
2 X 2
08. Sendo A = e B = 
2 X 2
Encontre a matriz X tal que:
MULTIPLICAÇÃO
DE MATRIZ POR MATRIZ
Só é possível efetuar o produto A x B (nesta ordem), de 
duas matrizes A e B, se o número de colunas de A for 
igual ao número de linhas de B. A matriz resultante terá 
o mesmo número de linhas que A e o mesmo número de 
colunas que B. Ou seja:
Cada elemento da matriz C p x q é a soma dos produtos 
ordenados de uma linha da matriz A por uma coluna da 
matriz B.
1 1
2 22 2x x
2 2
4 43 3x =
71
3
1
3
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
1
1
2
2
2
4
2
4
3
3
4
4
2 22 2x x
10
2215=
Exemplo 1:
Exemplo 2 :
09. Complete:
a) A5 x 1 x B_x_ = C_x 3
b) A_x_ x B4 x 2 = C3 x_
10. A matriz nula é aquela cujos elementos são todos iguais a 
zero. Observe como o produto de duas matrizes não-nulas pode 
resultar na matriz nula.
2 X 22 X 2
Observação: 
Comutativo é quando A .B = B . A
Às vezes, A e B, podem comutar. Neste caso, dizemos 
que as matrizes A e B são comutativas.
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
matriz
4
matemÁtica C
APOSTILA 01
Matemática C - Apostila 01 
DETERMINANTES
A toda matriz quadrada (e só as matrizes quadradas) 
está associado um número chamado o seu determinante.
Veremos aqui regras para o cálculo deste número e 
algumas de suas propriedades mais importantes.
Determinantes 1 X 1
Se A = (-2)1x1 det A = -2 = -2 
Determinantes 2 X 2
Se A =
2 2
,det . .
x
a b a b
A a d b c
c d c d
 
= = −  
Não confundir colchetes com barras!! 
atenção!
TESTES
12. Calcule:
a)
 
b)
3 -7
2 5
=
=
8 2
3 2
Determinantes 3 x 3
Para matrizes de ordem 3x3 calculamos o determinante 
utilizando da Regra de Sarrus. Passo a passo o processo 
fi ca da seguinte maneira:
1) Repetimos as 2 primeiras colunas.
2) Com sinal positivo, multiplicamos e somamos as 3 
diagonais da esquerda para direita.
3) Com sinal negativo, multiplicamos e somamos as 3 
diagonais da direita para a esquerda.
4) Soma-se tudo e obtemos o determinante.
Veja a versão genérica e o exemplo a seguir:
O determinante da seguinte matriz: 
1) Repetimos as duas primeiras colunas:
2) Multiplicamos como na imagem anterior para obter:
1.5.9 + 2.6.7 + 3.4.8 – 7.5.3 – 8.6.1 – 9.4.2 = 0
Portando, o determinante de é 0.
11. Compare o resultado a seguir com o anterior e observe que 
o produto das matrizes não é comutativo.
=
2 X 2 2 X 2
TESTES
13. Calcule: 3 2 -1
 4 5 0
-2 -3 2
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
5Matemática C - Apostila 01
matemÁtica c
apostila 01matriz
Determinantes de 
Qualquer Ordem Teorema 
de Laplace
Pierre Simon Laplace (23 de março de 1749 em Beaumont-
en-Auge, Normandia – 5 de março de 1827, em Paris) foi um 
matemático, astrônomo e físico francês. Foi chamado o "Newton
da França", sendo considerado o fundador da moderna teoria 
das probabilidades.
Laplace é conhecido principalmente por seu trabalho sobre as 
equações diferenciais, a Transformada de Laplace e a Equação 
de Laplace.
TESTES
15. Ache os cofatores pedidos abaixo:
Se A = , calcule:
a) C11 = 
b) C12 = 
c) C21 = 
d) C22 =
16. Se M = , calcule:
2 5
3 9
2 X 2
a) C32 = 
b) C13 =
14. Resolva a equação:
 1 x 2
 1 1 -1
 2 2 3
= 0
Para entender o determinante por Laplace é importante 
saber o que é o cofator utilizado nele:
O Cofator de um elemento da linha i e coluna j é dado 
pela seguinte fórmula:
Ci , j = (-1)i + j.det(Ai,j), onde Ai,j é a matriz A sem a linha i e 
sem a coluna j.
Como exemplo, note:
, calculamos o cofator do elemento da 
Tinha 2 e coluna 1, ou seja:
C2,1 = (-1)
2+1.det(A2,1)
Como dito, a matriz A2,1 é a matriz A sem a linha 2 e a 
coluna 1, ou seja:
, então det(A2,1) = = 2.0 – 3.5 = -15.
Logo, C2,1 = (-1)
2+1.det(A2,1) = (-1)
3.(-15) = (-1).(-15) = 15.
Agora, entendendo como é o cofator, o determinante será 
dado da seguinte forma: escolhida uma linha ou coluna, 
realiza-se a soma dos produtos dos elementos dessa linha 
ou coluna com seus devidos cofatores.
Veja o exemplo a seguir, onde foi escolhida a coluna 3:
 = 3.C1,3 + 1.C2,3 + 0.C3,3
= 3.(-1)1+3.det(A1,3) + 1.(-1)
2+3.det(A2,3 ) + 0 
= 3.1.3 + 1.(-1).9 
= 0 
Lembrando que:
 e 
Note também que, quanto maiszeros a linha ou coluna 
escolhida tiver, mais simples serão os cálculos. 
Outro detalhe importante é que o determinante pela 
fórmula de Laplace funciona em qualquer matriz 
quadrada, tendo em vista a simples Regra de Sarrus para 
matrizes 3x3, por mais que o exemplo apresentado tenha 
ordem 3x3, recomenda-se que seja utilizada a fórmula de 
Laplace para matrizes de ordem a partir de 4x4.
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
matriz
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APOSTILA 01
Matemática C - Apostila 01 
 12 - (-25) = 37= 2 -5 5 6
=
Observação: A regra de Chió nada mais é que o 
rebaixamento de ordem. 
TESTES
18. Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de 
bar em bar, tanto no sábado quando no domingo. As matrizes 
a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como 
a despesa foi dividida:
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada 
elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, 
sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o 
número 3. Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele 
próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (Primeira 
linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fi m de semana? Justifi que.
b) Quantos chopes Cláudio fi cou devendo para Antônio?
19. Se A é uma matriz quadrada, defi ne-se o traço de A como a 
soma dos elementos da diagonal principal de A, onde a diagonal 
principal é o conjunto de todos os elementos aij da matriz A, tais 
que i = j. Nestas condições, o traço da matriz A = (aij)3 x 3, onde 
aij= 2i – 3j é igual a:
a) 6
b) 4
c) –2
d) – 4
e) – 6
20. (UFPR) Considere as matrizes:
sabendo que a matriz B é igual à matriz C, calcule o determinante 
da matriz A.
17. Calcule os determinantes:
Observação:
A alternativa (c) mostra que: se todos os elementos de uma 
linha (ou coluna) de uma matriz quadrada forem iguais a 
zero, o determinante da matriz será zero.
REGRA DE CHIÓ
Veremos agora um método mais interessante para 
resolução de determinantes:
Podemos calcular um determinante de ordem n recaindo 
num único determinante de ordem ( n - 1 ).
Para isso, é necessário que a matriz apresente um 
elemento aij = 1. Nesse caso, aplicamos a seguinte regra, 
conhecida como regra de Chió.
1ª) Eliminamos a linha e a coluna que se cruzam no 
elemento aij = 1.
2ª) De cada elemento restante subtraímos o produto dos 
dois elementos encontrados traçando, a partir dele, as 
perpendiculares à linha e à coluna eliminadas.
3ª) O determinante inicial é igual ao determinante assim 
obtido, multiplicado por (-1)i + j 
Exemplo:
 (-1)1+1 . 12-10 15-20 11- 6 18-12 =
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
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matemÁtica c
apostila 01matriz
25. (MED. JUNDIAÍ) A matriz transposta da matriz quadrada 
 A = (aij) de ordem 2, defi nida por aij = i + 2 é:
26. (PUC) Da equação matricial
Calcule x, y, z e t:
x 1
1 2
2 y
0 -1
3 2
z t
+ =
27. Dadas as matrizes,
verifi que que: (A . B . C)t = (Ct . Bt . At)
28. Sejam as matrizes:
a) Determine de que tipo é A . B
b) Seja cij o elemento da i – ésima linha e j – ésima coluna do 
produto A . B , então encontre o elemento c21.
21. Sejam as matrizes
Então a matriz oposta de A, indicada por – A é:
22. Sabendo que a matriz A é simétrica,
1 2 y
3 - x y 3
2 z - 1 x
A=
ou seja A = AT, então, a respeito dos valores de x, y e z, é correto 
afi rmar que:
01) x = 1 , y = 2 , z = 4
02) x = 2 , y = 1 , z = 4
04) y = 2x e z = y2
08) logy z = 2
16) x, y e z, nesta ordem, formam uma progressão geométrica 
de razão 2.
32) x, y e z, nesta ordem, formam uma progressão aritmética 
de razão 2.
23. Se a matriz
4 + a a12 a13
 a b + 2 a23
 b c 2c - 8
M=
É antissimétrica, ou seja M = -MT , então pode se afi rmar que:
01) a12 = - 4
02) a13 = - 2
04) a13 = 2
08) a23 = 2
16) a23 = - 4
32) a12 = 4
24. (VUNESP) Determine a matriz real quadrada de ordem 2, 
defi nida por:
matriz
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APOSTILA 01
Matemática C - Apostila 01 
 2 3 6
 4 x 0
 -2 0 -2
29. Resolva a equação matricial:
 1 0
 0 2 B =
30. Consideramos An = A . A . A ... 
 n vezes
Dada a matriz:
 Calcular a matriz Bn
31. (FEI – SP) As matrizes
Logo o valor de a é:
a) 1
b) 0
c) 2
d) -1
e) 3
32. (AMAN) O valor de x em: , = 64 é:
a) 4
b) 5
c) -4
d) -5
e) n.d.a.
33. A, B e C são matrizes quadradas de ordem 3 e I é a matriz 
identidade de mesma ordem. Assinale a alternativa correta:
a) (A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2
b) B.C = C.B
c) (A + B)(A – B) = A2 – B2
d) C.I.A = C.A
e) I.A = I
34. (UEPI) Considere as matrizes:
1)A = (aij), 4x7, dada por aij = i – j;
2)B = (bij),7x9, dada por bij = i;
3)C = (cij), C = A.B;
Sobre o elemento c63 é correto afi rmar que:
a) c63 = -112
b) c63 = -18
c) c63 = -9
d) c63 = 112
e) não existe.
35. (UF Juiz de Fora-MG) Considerando a equação matricial a 
seguir onde a, b e c são números reais, podemos afi rmar:
a) c + b = 4
b) a é um número positivo.
c) Não existem números reais a, b e c que satisfaçam à equação 
matricial dada.
d) c não é um número inteiro.
e) n.d.a.
36. (Fempar) Considere as matrizes
Se AB + 2C = D, então x.y é igual a:
a) 1
b) -2
c) -1
d) 0
e) 2
37. (Fempar) Se 
O valor do determinante da diferença entre AB e (AB)t será:
a) -55
b) 25
c) -80
d) -30
e) 4
38.(UFV) Dada a matriz: , determine:
a) A2
b) A.At
c) 2A + 3At
9Matemática C - Apostila 01
matemÁtica c
apostila 01matriz
 a b
 0 b 
 b 0
 a a 
47. (CEFET – PR) O determinante do produto matricial abaixo, 
tem por valor:
a) a2 . b2
b) a . b
c) – ab2
d) – a2b2
e) – a2b
48. (AMAN – RJ) A solução da equação abaixo é:
a) – 1
b) 0
c) 1
d) 4
e) n.d.a.
 1 1 0
 x 0 2
 1 1 2
+ 2 = 0
39.(UEL) Considere as matrizes M e M2 representadas a seguir.
Conclui-se que o número real a pode ser:
a) 2√3
b) 2√2
c) 2
d) -√2
e) -√3
40. (UEL) Sobre as sentenças:
I. O produto de matrizes (A3x2).(B2x1) é uma matriz 3x1.
II. O produto de matrizes (A5x4).(B5x2) é uma matriz 4x2.
III. O produto de matrizes (A2x3).(B3x2) é uma matriz quadrada 2x2.
É verdade que:
a) Somente I é falsa.
b) Somente II é falsa.
c) Somente III é falsa.
d) Somente I e III são falsas.
e) Todas são falsas.
41. (Mackenzie) Sejam as matrizes a seguir:
Se C = A.B, então c22 vale:
a) 3
b) 14
c) 39
d) 84
e) 258
42. (UEL) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3x4 e pxq. 
Se a matriz A.B é 3x5, então é verdade que:
a) p = 5 e q = 5.
b) p = 4 e q = 5.
c) p = 3 e q = 5.
d) p = 3 e q = 4.
e) p = 3 e q = 3.
43. (PUC-RJ) Calcule a vigésima potência da matriz:
 x2 3 
 x 2
 x 4 
 1 1+ = 0
44. Seja a equação matricial:
45. (UFRGS) Se A = , então A2 é a matriz.
46. A equação abaixo:
Tem por solução: 
matriz
10
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Matemática C - Apostila 01 
Para os casos específi cos abaixo usamos Vandermonde:
Exemplo 1:
D =
222
111
000
cba
cba
cba
 =
222 cba
cba
111
D = (b - a) x (c - a) x (c - b)
Exemplo 2:
 1 1 1
D = 2 4 5
 4 16 25
D = (4 - 2) x (5 - 2) x (5 - 4)
D = 2 x 3 x 1
D = 6
Exemplo 3: 
 a0 b0 c0 d0
 D = a1 b1 c1 d1 =
 a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
D = (b - a) x (c - a) x (c - b) x (d - a) x (d - b) x (d - c)
Exemplo 4:
 1 1 1 1
 D = 2 3 4 6 =
 4 9 16 36
 8 27 64 216
D = (3 - 2) x (4 – 2) x (4 – 3) x (6 – 2) x (6 – 3) x (6 – 4)
D = 1 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2
D = 48
Determinantes Triangulares 
Principais
São aqueles nos quais todos os elementos acima ou 
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
Seu valor é sempre o produto dos elementos da diagonal 
principal.
TESTES
A Inversa deuma Matriz
Olhemos a questão da inversa de uma matriz sob três 
aspectos:
- a defi nição do conceito de inversa;
- a existência da inversa de uma matriz;
- o cálculo da inversa.
49. Ache os Determinantes:
 1 1 1
a) 0 4 5 = 
 
 0 0 25
b)
6000
1500
2430
7532
− =
Definição
Dada uma matriz A = ( aij)n x n tal que det A ≠ 0, sua 
inversa é a matriz A-1 tal que:
A . A-1 = A-1 . A = In
TESTES
50. Verifi que que se A = 




43
32 então A-1 = 




−
−
23
34
Observe na defi nição que uma matriz A só tem inversa 
se seu determinante for diferente de zero. E a afi rmação 
recíproca é verdadeira, ou seja:
A-1 existe det A ≠ 0
 2 0 0
c) 5 3 0 =
 
 6 8 8
d) Para todo n.det. In = 
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
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apostila 01matriz
Cálculo da Inversa de 
Matrizes 2 x 2
Se A = 




dc
ba e det A ≠ 0, então: 
Regra para inverter matrizes 2x2:
1) Troca-se os elementos da diagonal principal;
2) Inverte o sinal dos elementos da diagonal secundária;
3) Divide todos os elementos da matriz pelo determinante 
da matriz original.
Ou seja,
A-1 = 












−
−
Adet
a
Adet
c
Adet
b
Adet
d
TESTES
51. Calcule:
a) A = 




− 25
31 , então A-1 =
Cálculo da Inversa de Matrizes
n x n (n > 2)
bij det M
Cofator
=
aij
Dada um matriz M = (aij)nx n , não singular, o elemento 
bij de M
-1 = (bij)nxn é dado por:
TESTES
52. Calcule os elementos da 3ª coluna de M-1 sabendo que 
M = 








120
302
201
.
 
53. Sendo A, B e C matrizes n x n, com A e B inversíveis, 
resolva as seguintes equações matriciais:
a) A . X = B
b) A . X + B = C
c) A . X . B = C
d) B . X . A = C
Propriedades dos 
Determinantes
EQUAÇÃO SUPER IMPORTANTE
det A -1 = 
Adet
1
I) O determinante do produto de duas matrizes quadradas, 
de mesma ordem, é igual ao produto dos determinantes 
das matrizes. Isto é:
det (A . B) = det A . det B
TESTES
54. Sabendo que A = 








− 600
290
532
 , calcule det A-1
55. Sendo A = 




45
32 e sabendo que det (A.B) = 35, 
calcule det B
Trocar Linhas por Colunas
II) Um determinante não se altera se trocarmos, 
ordenadamente, as linhas pelas colunas. Isto é:
 
Det ( At) = det A
Exemplo:
A = 





43
21
 
AT =
Verifi camos que realmente Det ( At) = det A
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
matriz
12
matemÁtica C
APOSTILA 01
Matemática C - Apostila 01 
Teorema de Jacobi
III) Um determinante não se altera se trocarmos uma linha 
qualquer pela soma dela com o produto da outra linha por 
um número K ∈ |R. O mesmo resultado vale para colunas
 1 2 3
Teste em sala: 0 5 2 
 10 20 31
Observação: Toda matriz quadrada que tenha duas linhas 
ou colunas iguais tem determinante nulo.
Ex:
 
 2 3
 2 3
Observação: Toda matriz quadrada que tenha duas linhas 
(ou colunas) proporcionais tem determinante nulo.
Ex: 1 2
 3 6
Transformações que 
alteram um Determinante
Trocar Posições de Linhas ou 
Colunas
IV) Ao trocar a posição de duas linhas (ou duas colunas) 
entre si de um determinante, este terá seu sinal trocado.
TESTES
56. Calcule e compare
a) - 1 3 5
-2 0 1 =
-3 0 2
b) - 3 -1 5
-0 -2 1 =
-0 -3 2
Multiplicar uma linha ou uma 
Coluna por um Número
V) Quando se multiplica (ou se divide) uma (única) linha 
ou coluna de uma matriz por um número o determinante 
fi ca multiplica (ou dividido) por este número.
TESTES
57. Calcule o determinante abaixo e compare com o exercício 
08-b.
 6 -2 10
 0 -2 1 = 
 0 -3 2
08. Se 1 2 3 x y z 
58. Se 6 9 12 = -12, então, 2 3 4 =
08. Se x y z 1 2 3
Observe que do exercício anterior tiramos a seguinte proprie-
dade:
Se A = (ai j)n x n e K E IR, então:
det (K . A) = Kn . det (a)
Em um breve resumo, para facilitar o cálculo de 
determinantes, existem as seguintes propriedades:
1) Determinante da matriz inversa:
2) Determinante nulos:
2.1. Se uma matriz tem uma linha ou coluna somente com 
zeros, seu determinante é zero.
2.2. Se uma tem 2 linhas ou 2 colunas iguais ou 
proporcionais, seu determinante é zero.
3) Quando o determinante não se altera:
3.1. det(AT) = det(A)
3.2. Se multiplicarmos uma linha por um número e somar 
isso a outra linha, determinante não se altera.
4) Quando o determinante se altera:
4.1. Se trocarmos posições de linhas ou trocarmos a 
posição de colunas, para cada troca, o determinante 
inverte seu sinal.
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
MIDIA2
Realce
13Matemática C - Apostila 01
matemÁtica c
apostila 01matriz
4.2. Se multiplicarmos uma linha inteira ou uma coluna 
inteira por uma constante, o determinante ficará 
multiplicado por essa mesma constante.
4.3. Se Anxn, então det(kA) = k
n.det(A). Onde k é uma 
constante qualquer e n é a ordem da matriz.
5) Teorema de Binet:
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então:
det(A.B) = det(A).det(B)
TESTES
59. Seja uma matriz de ordem 3 tal que det A = 2 e det 
(K . A) = 250, calcule o valor de K E IR. 
60. (MED. JUNDIAÍ) A inversa da matriz 





32
10
 é:
a) 





01
23
 d) 









−
01
2
1
2
3
b) 










2
1
3
1
20
 e) 










−
−−
01
2
1
2
3
c) 












2
31
2
10
61. (FEI - SP) Considere a matriz A = 





01
11
. A matriz X de 
ordem 2 tal que A + 3X =A-1, onde A-1 é a inversa de A é:
a) 












−
−
3
10
6
1
2
1
 d) 












−
−
3
10
6
1
2
1
b) 












−
−
3
10
6
1
2
1
 e) 












−
−
3
10
0
3
1
c) 












−
3
10
6
1
2
1
62. (UECE) O produto da inversa da matriz A = 





21
11
pela 
matriz I = 





10
01
é igual a:
a) 





−
−
11
12
 c) 





−− 11
12
b) 





− 11
12
 d) 





−
−
11
12
63. (ITA-SP) Considere P a matriz inversa da matriz M onde
 M = 












1
7
1
0
3
1
. A soma da diagonal principal da matriz P é:
a) 9/4
b) 4/9
c) 4
d) 5/9
e) -1/9
64. (UEL-PR) A matriz inversa de A = 





43
21
 é:
a) 





43
21
 c) 





12
34
b) 





−−
−−
43
21
 d) 










−
−
2
1
2
3
12
65. Se A = 





43
65
, então o determinante da matriz inversa de 
A é igual a:
a) -1/2
b) 2
c) 1/2
d) -2 
e) 1
matriz
14
matemÁtica C
APOSTILA 01
Matemática C - Apostila 01 
66. Calcule o valor do determinante da inversa da matriz A = 










234
512
121
a) 1/21
b) - 21
c) - 1/21
d) 21
e) - 2/21
67. Se A = 





− 1
1
1
0
2
1
 e B = 








−
3
1
0
2
1
1
 então (A . B)-1 é:
a) 












−−
5
1
5
3
5
2
5
1
 d) 












−
5
1
5
1
5
3
5
2
b) 












−
5
3
5
2
5
1
5
1
 d) 












−
5
1
5
1
5
3
5
2
e)
68. Dada as matrizes A = 





02
21
 e B = 




 −
41
44
, calcule o 
determinante da matriz (A . B)-1.
69. Dadas as matrizes A = 





x3
21
 e C = 





51
42
, calcule x
sendo dado det (A . C) = 60.
70. Dadas as matrizes M = 





54
12
 e M . N = 




 −
40
23
, 
calcule det N.
71. Nas matrizes abaixo, verifi que se existe A-1 e, em caso 
afi rmativo, calcule det A-1.
a) A = 





45
31
b) A = 





−
−
96
32
c) A = 










2
1
1
1
2
4
5
0
3
72.Seja a matriz A = 





30
12
, é correto afi rmar:
01) det A = 6
02) det A-1 = 6
04) det (At) = -6
08) det (At) = det A
16) (At)-1 = 












−
3
1
6
1
0
2
1
32) (At)-1 = (A-1)t
73. Sejam as matrizes A = 





23
12
 e B = 





13
20
, pode-se 
afi rmar que:
01) det A-1 = 1
02) det B-1 = 
6
1
04) (A . B)-1 = 












−
−
2
10
6
5
3
4
08) det (A . B)-1 = det A-1 . det B-1
16) A . B = B . A e det (A . B) = det (B . A) 
32) det B-1 = 6
15Matemática C - Apostila 01
matemÁtica c
apostila 01matriz
74. Seja A uma matriz quadrada, tal que det (A2) = 4. Calcule 
det A.
75. Seja A uma matriz do tipo 3x3, tal que det A = 2 e a matriz 
B = 









 −
1
5
1
1
0
2
3
1
1
, é correto afi rmar que:
01) det (A . B) = 44
02) det A-1 = 1/2 
04) det B-1 = 22
08) det (A . B)-1 = 1/4
 16) det B-1 = 1/2
 32) det (B . A) = 44
76. Calcule x, sabendo que a matriz B = 










x
4
3
1
3
1
1
1
x
não é 
inversível.
77. Determine x para que se tenha det M-1 = 
7
1 , onde 
M = 









 −
1
x
3
0
1
x
1
2
1
.
78. Calcule o valor de 
1881
1441
1221
1111
−−
−− :
79. (UEL) A soma de todos os elementos da inversa da matriz M 
mostrada a seguir é igual a:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
80. (FGV) Seja A uma matriz quadrada de ordem n e I a matriz 
identidade de ordem n. Se A2 = I, podemos afi rmar que:
a) A3 = A
b) A10 = A
c) A15 = I
d) A85 = I
e) A não admite inversa.
81.(UFES) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A) 
= 3 e se k é um número real tal que det(kA) = 192, então o valor 
de k é:
a) 4
b) 8
c) 32
d) 64
e) 96
82. (Cefet-PR) Considere a matriz A = (aij) quadrada de 4ª ordem 
defi nida por aij = 2i – j. O valor do determinante de sua matriz 
transposta é:
a) 0
b) 8
c) -16
d) 24
e) 32
83. (UFBA) Sabendo-se que o determinante da matriz inversa a 
seguir é igual a -1/4, calcule x.
84. (U.F.Uberlândia-MG) Se A e B são matrizes inversíveis de 
mesma ordem, então det (A . B,A)
 det B
-1
 é igual a:
a) 1 
b) -1
c) detA + detB
d) det(AB)
M =
 1 -1
 0 2[ [
matriz
16
matemÁtica C
APOSTILA 01
Matemática C - Apostila 01 
85. A respeito de determinantes é correto afi rmar:
1) Um determinante que possui uma fila com todos os 
elementos nulos vale zero.
2) Um determinante que possui duas fi las paralelas iguais 
vale zero.
4) Um determinante que possui duas filas paralelas 
proporcionais é nulo.
8) Um determinante não se altera quando se trocam, 
ordenadamente, as linhas pelas colunas.
16) Um determinante se altera quando se trocam ordenadamente, 
as linhas pelas colunas.
86. O valor de um determinante é 35. Multiplicando-se sua pri-
meira linha por 5 e dividindo-se sua quarta coluna por 7, qual é 
o valor do novo determinante?
87. Seja A uma matriz quadrada (2x2), tal que det A = 10. Qual 
é o valor do det (2A)?
88. Seja A uma matriz quadrada (3x3), tal que det A = 10. Qual 
é o valor do det (3A) ?
89. (ITA-SP) Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, 
o determinante da matriz 














+
+
+
c1111
1b111
11a11
1111
 é dado por:
a) ab + ac + bc
b) abc
c) zero
d) abc + 1
a) 1
90. (UFPR) Se x ≠ 0, o valor de 
x
x1
1
1
x1
x
x
x1
1
+++ é: 
a) 0
b) 1
c) x
d) 1 + x
e) x2 + x
91. (FUVEST) O valor de 
4321
3321
2221
1111
é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2
 
 1 2 3 x y z 
 
92. (UFRGS-RS) Se 6 9 12 = -12, então 2 3 4 
é igual a: 
 x y z 1 2 3
a) -4
b) 
3
4
−
c) 
3
4
d) 12
e) 4
 
12 18 9 12 18 9 
93. (UFBA) Sendo X = 21 17 15 e Y = 63 51 45 ,
então: 
 32 60 14 32 60 14
a) x = y
b) x = 3y
c) x = 27y 
d) 3x = y
e) 27x = y
94. (CESGRANRIO) Se a1, a2, a3, ...., a9 formam, nessa ordem, 
uma Progressão Geométrica de razão q, então o determinante 
da matriz 
9
6
3
8
5
2
7
4
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
 é:
a) 1
b) 0
c) a3
d) 9 . a1 . q
9
e) (a1 . q)
9
95. (FUVEST) A é uma matriz quadrada de ordem 2, inversível, 
e det (A) o seu determinante. Se det (2 . A) = det ( A2) então det 
(A) será igual a:
a) 0
b) 1
c) 1/2
d) 4
e) 14
17Matemática C - Apostila 01
matemÁtica c
apostila 01matriz
96. (SANTA CASA-SP) A soma das raízes da equação 
x1111
1x311
11x21
1111
−
+
+
= 0 é:
a) 6
b) 5
c) 2
d) -3
e) -4
97. (MACK-SP) O valor de um determinante é 42. Se dividirmos 
a primeira linha por 7 e multiplicarmos a primeira coluna por 3, 
o valor do novo determinante será:
a) 2
b) 14
c) 18
d) 21
e) 42
98. (MACK) Se 
x331
1211
1211
0121
−−
−
= 0, então o valor de x é:
a) 0
b) 1
c) -1
d) -0,6
e) 0,6
1 2 3 
 
2 1 3
99. Se a b c = -x, então b a c é igual a:
π 4 1 4 π 1
a) x
b) x2
c) 2x
d) 0
e) 1
100. Seja a matriz A de ordem n x n. Trocando-se duas colunas 
dessa matriz, obtém-se uma matriz B tal que det B = -1. Assim, 
det A vale:
101. Sejam as matrizes A = 










2
3
1
0
1
3
4
0
2
 e B = 










−
−−
−
−
−
2
6
1
3
1
4
6
1
2
, 
a respeito da matriz A + B pode-se afi rmar que :
1) (A + B) é simétrica.
2) (A + B) é antissimétrica.
4) det (A + B) = 1.
8) det (A + B) = 0.
16) (A + B) é inversível.
102. Dada uma matriz A4x4 . Se det A = -6 e det (2A) = x - 97, 
então o valor de x é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
103. O valor de um determinante é 48. Dividimos a 2ª linha por 
8 e multiplicamos a 3ª coluna por 6, então o novo determinante 
formado valerá:
a) 20
b) 36
c) 64
d) 24
e) 48
Para resolver os exercícios seguintes você precisa relembrar 
os seguintes determinantes chamados “Determinantes de 
Vandermonde”.
De ordem 3:










222 c
c
1
b
b
1
a
a
1
= (c – b) . (c – a) . (b – a)
De ordem 4:
3333
2222
dcba
dcba
dcba
1111
=
= (d – c) . (d – b) . (d – a) . (c – b) . (c – a) . (b – a)
104. (FGV-SP)
3333
2222
)2000(log)200(log)20(log)2(log
)2000(log)200(log)20(log)2(log
2000log200log20log2log
1111
é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2 
d) 12
e) 20
20
20
20
matriz
18
matemÁtica C
APOSTILA 01
Matemática C - Apostila 01 
105. Calcule o valor de A = 
1 2 4 8
1 3 9 27
1 4 16 64
1 5 25 125
 
106. Sendo a real, o valor de 
222 )a2(
a2
1
)a1(
a1
1
a
a
1
+
+
+
+ é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
107. (UBERLÂNDIA) Se A =
2
2
2
2
2
2
222
)5(log)50(log)100(log
5log50log100log
111
então:
a) det A = 2 + 3 log25 + (log2 5)
2
b) det A = 2 + 2 log25 + (log2 5)
2
c) det A = 2 - 3 log25 + (log2 5)
2
d) det A = -2 + 3 log25 - (log2 5)
2
e) det A = -2 - 3 log25 - (log2 5)
2
108. (UFPR) Considerando a matriz A = 





xsenxcos
xcosxsen
 de 
ordem 2, sendo x número real, é correto afi rmar:
01) A matriz é inversível, qualquer que seja o valor de x.
02) Quando x = 0, a matriz A é a transposta da matriz identidade 
de ordem 2.
04) Existe valor de x para o qual a matriz A é a matriz identidade 
de ordem 2.
08) As soluções da equação det A = 1 são: π+π k
2
com k ∈ Z 
 (onde Z é o conjunto dos números inteiros).
16) Se o produto A.A é igual à matriz identidade de ordem 2, 
então 2x = kπ , com k ∈ Z (onde Z é o conjunto dos números 
inteiros).
109. (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas 
regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z.
A matriz A indica a área plantada de cada cultura, em 
hectares, por região:
 50 20 20  P
 A= 
 40 10 30  Q
fei
jão
so
ja
mi
lho
110. (ENEM-2012) Um aluno registrou as notas bimestrais de 
algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as 
entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que 
poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando 
produtode matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e 
a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir.
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir 
da tabela por.
A matriz B indica a massa usada de cada fertilizante, em 
kg, por hectare, em cada cultura:
 X Y Z
10 20 15  milho
 B= 15 20 20  soja
 
30 20 30  feijão
a) CALCULE a matriz C = AB.
b) EXPLIQUE o signifi cado de C23 , o elemento da segunda 
linha e terceira coluna da matriz C.
50
50
19Matemática C - Apostila 01
matemÁtica c
apostila 01matriz
111.(ENEM-2018) A Tranferência Eletrônica Disponível (TED) 
é uma transferência de valores entre diferentes bancos. Um 
economista decide analisar os valores enviados por meio de 
TEDs entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mês. Para 
isso, ele dispõe esses valores em uma matriz A = [aij], em que 1 < 
i < 5 e 1 < j < 5, e o elemento aij corresponde ao total proveniente 
das operações feitas via TED, em milhão de real, transferidos do 
banco i para o banco j durante o mês. Observe que os elementos 
aij = 0, uma vez que TED é uma transferência entre bancos 
distintos. Esta é a matriz obtida para essa análise:
Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior 
quantia via TED é o banco
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
matriz
20
matemÁtica C
APOSTILA 01
Matemática C - Apostila 01 
01 * 11 * 21 A 31 A 41 D 51 * 61 E 71 *
02 * 12 * 22 29 32 B 42 B 52 * 62 D 72 57
03 * 13 16 23 52 33 D 43 * 53 * 63 C 73 9
04 * 14 1 24 * 34 E 44 C 54 * 64 D 74 2
05 * 15 * 25 C 35 A 45 B 55 ? 65 C 75 35
06 * 16 * 26 * 36 B 46 * 56 * 66 A 76 *
07 * 17 * 27 ? 37 E 47 A 57 42 67 D 77 *
08 * 18 * 28 * 38 ? 48 C 58 4 68 * 78 -72
09 * 19 E 29 * 39 B 49 * 59 5 69 16 79 E
10 * 20 120 30 * 40 B 50 ? 60 D 70 2 80 A
81 B 91 B 101 10 111 A
82 A 92 E 102 D
83 2 93 D 103 B
84 A 94 B 104 D
85 15 95 D 105 12
86 25 96 D 106 A
87 40 97 C 107 E
88 270 98 D 108 28
89 B 99 A 109 *
90 A 100 1 110 E
GABARITO
TESTES
01.a)
b)[ [ -2 -6 -10 0 -4 -8
c)
[[ 0 3 3 0 
02. At = 
[[ 1 -1 6 2 4 5 -2 0 -5 3 7 6
03. x = 7, y = 2 e z = 3.
 2 3
 3 4 
04. 2A = 
[[ 4 -6-10 14 12 -2
05. - M =
[[-2 3-4 0 5 1
06. x = 0, y = 2, z = -2.
07.a) 
[[-1 3 -5 5 5 4
b) 
[[12 -1 6 4 
08.
[[ 1715
 7
09. a) Da esquerda para a direita: 1, 3, 5.
b) Da esquerda para a direita: 3, 4, 2.
10.
[[ 0 0 0 0 
11.
[[-3 1-9 3 
1
7
15
 7
6
7
10
 7
21Matemática C - Apostila 01
matemÁtica c
apostila 01matriz
12. a) 29
b) 10
15. a) 9
b) -3
c) -5
d) 2
16.a) -45
b) 10
17. a) -1
b) 148
c) 0 
18. a) Cláudio, 15 chopes.
b) 2 chopes
24. 
[[ 2 8 5 6 
26. x = y = z = t = 1.
28. a) 2x4
b)-11
29. x= 17, y = -4, z = 4 e t = -1
30. Bn = 
[[ 1 0 0 2n 
38. a)
[[-2 7 4-2 3 0 0 -2 0
b)
[[14 8 -2 8 5 -1-2 -1 3
c) 
[[ 5 4 3 6 5 7 7 8 -5
43. 
[[ 1 20a 0 1 
46. {2, -1}
49. a) 100
b) -180
c) 48
d) n
51. A-1 = 
[[ 217 317 517 117-
52. 
[[210
53. a) X = B.A-1
b) X = (C – B).A-1
c) X = A-1C.B-1
d) X = B-1C.A-1
54. -1/108
55. -5
56. a) -21
b)21
68. -1/80
71. a) sim, -1/11
b) não.
c) sim, 1/19.
76. {-1/3, 2}
77. {-2, 3}
109. a) 
[[1400 1800 17501450 1600 1700
b) Serão necessários 1700 kg do fertilizante Z para as culturas de 
milho, soja e feijão na região Q.