Geometria Área de uma flor

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Área de uma flor 
 
No diagrama abaixo, os pontos P, Q e R são centros de arcos que passam por O, centro do 
círculo. Se os arcos PQ, QR e RP são iguais e PO= 6, qual é a área da região delimitada 
pelos arcos em vermelho? 
 
SOLUÇÃO: 
A flor tem 3 pétalas. Concentre-se em uma pétala. Seja S o topo da pétala entre P e Q. 
 
 
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Como Q, Q e O são centros de círculos que passam pelos centros uns dos outros, todos os 
círculos têm o mesmo raio. Como PO= 6, temos PS=OS=QS=QO=6, então o triângulo PSO 
é um triângulo equilátero, e o setor PSO tem um ângulo central igual a 60 graus. 
Podemos então calcular metade da área de uma única pétala da seguinte forma: 
meia pétala = setor circular – triângulo equilátero 
 
A área de meia pétala é: 
2 2
1
2
60 3 1 3
6 6 36 36 6 9 3
360 4 6 4
S   
      
= − = − = −               
 
A área de uma única pétala é o dobro disso, e precisamos da área total de 3 pétalas. Então, 
multiplicamos essa área por 6 para obter a área total: 
( )6 6 9 3 36 54 3 19,57TS  = − = − 