ATIVIDADE DISCURSIVA GEOMETRIA ANALITICA PLANA

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ATIVIDADE DISCURSIVA: GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
KAUANE PEREIRA SANTOS
ARARIPINA – PE
Para provar que o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é equidistante dos três vértices, precisamos demonstrar que a distância do ponto médio aos três vértices é a mesma.
Seja ABC um triângulo retângulo, com hipotenusa BC, e M o ponto médio de BC. Vamos mostrar que MA = MB = MC.
Podemos calcular a distância entre dois pontos usando a fórmula:
d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
Vamos calcular a distância entre M e A:
d(MA) = √[(xA - xM)² + (yA - yM)²]
Como M é o ponto médio de BC, temos xM = (xB + xC)/2 e yM = (yB + yC)/2. Substituindo esses valores na fórmula acima, temos:
d(MA) = √[(xA - (xB + xC)/2)² + (yA - (yB + yC)/2)²]
Agora, vamos usar o fato de que ABC é um triângulo retângulo para escrever as coordenadas dos vértices em termos de BC. Sejam a e b os catetos de ABC, com a sendo adjacente a ∠A e b sendo oposto a ∠A. Então temos:
xB = 0
yB = 0
xC = a
yC = b
xA = 0
yA = b
Substituindo esses valores na fórmula acima, temos:
d(MA) = √[(0 - a/2)² + (b - b/2)²] = √[(a/2)² + (b/2)²] = √[(a² + b²)/4]
Analogamente, podemos calcular d(MB) e d(MC) e mostraremos que as três distâncias são iguais.
d(MB) = √[(xA - xM)² + (yA - yM)²] = √[(a/2)² + (b/2)²]
d(MC) = √[(xA - xM)² + (yA - yM)²] = √[(a/2)² + (b/2)²]
Portanto, concluímos que o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é equidistante dos três vértices.