AP1 - GA - 2010.2-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
Primeira Avaliação a Distância de Geometria Analítica I – gabarito 
Prof. Linhares e Prof. Leonardo Silvares – 2010-2 
 
Nome:__________________________________________________________ 
 
Pólo:___________________________________________________________ 
 
Questão 1: (2,5 pontos) Verifique que os pontos )321,1( +P , )32,32( ++Q e 
)3,3(R são vértices de um triângulo eqüilátero e determine a altura deste triângulo 
(usando argumentos de geometria analítica). 
 
Solução: Para que o triângulo PQR seja eqüilátero, devemos ter 
),(),(),( RQdRPdQPd == 
( ) ( ) 83131),( 22 =−++=QPd 
( ) ( ) 83131),( 22 =++−=RPd 
822),( 22 =+=RQd 
Logo, os pontos são vértices de um triângulo eqüilátero. 
Como a área do triângulo é a metade do produto da medida de um lado pela altura, temos 
que a altura do triângulo é igual a área divida por 82 . 
Agora a área do triângulo é dada por: 
 
32
1331
1331
det
2
1
=








−−−
−+
=A 
 
Logo a altura do triângulo é 6
22
34
==h 
 
Questão 2: (2,5 pontos) Sejam v e w vetores do plano. 
Mostre que v e w são L.D se, e somente se, v e w são paralelos. 
 
Solução: Suponha que v e w são vetores L.D. Logo, existem escalares α e β , onde pelo 
menos um deles é diferente de zero, tais que 
0=+ wv βα 
Se 0≠α então wv
α
β
−= e se 0≠β então vw β
α
−= . Em qualquer dos casos, v e w 
são paralelos. 
Reciprocamente, suponha que v e w são paralelos. Logo, existe um escalar λ tal que 
wv λ= ∴ 0=− wv λ [ ]0)(1 =−+ wv λ 
o que mostra que v e w são L.D. 
 
Questão 3: (2,5 pontos) Sejam v e w vetores ortogonais e unitários do plano. 
Mostre que, para todo vetor u do plano, 
 
uPuPu wv += 
Onde uPv e uPw são as projeções ortogonais de u sobre v e sobre w , respectivamente. 
 
Solução: Como v e w são vetores unitários, temos vvuuPv ,= e wwuuPw ,= . 
Agora, como v e w não são paralelos então eles são L.I (questão 2). Logo, podemos 
escrever u , de modo único, como combinação linear de v e w : 
wvu βα += 
Também, como v e w são vetores ortogonais, temos: 
 
vwvvvu ,,, βα += e wwwvwu ,,, βα += 
Logo, 
α=vu , e β=wu , 
Assim, 
uPuPu wv += 
 
Questão 4: (2,5 pontos) Determine a equação da mediatriz do segmento PQ (reta 
perpendicular ao segmento e que passa pelo ponto médio do segmento), onde )4,5( −P e 
)2,1(Q . 
 
Solução: O ponto médio do segmento PQ é ( )1,3 −=M . 
O coeficiente angular (declividade) da reta que passa pelos pontos P e Q é 
2
3
−=m . Logo 
a declividade da mediatriz é 
3
21
=−=
m
m . Logo, a equação da reta que passa pelo ponto 
M e tem declividade 
3
2
=m é ( ) ( )3
3
21 −=+ xy ∴ 0932 =−− yx