Resposta do Portfólio de Geometria Analítica - Aula 02

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Portfólio 2 - Solução 
 
(18º) Determine 5A e -3B em cada um dos seguintes casos: 
a) A = (1, -3), B = (-2,5) 
b) A = (0, 7), B = (1, 6) 
c) A = (-2, 5), B = (4, 3) 
Solução: 
a) 5A e − 3B = 5(1,−3) e − 3(−2,5) = (5, −15) e (6, −15) 
b) 5A e − 3B = 5(0,7) − 3(1,6) = (0,35) e (−3,−18) 
c) 5A e − 3B = 5(−2,5) − 3(4,3) = (−10,25) e (−12,−9) 
 
 
 
(19º) Sejam u = (2, -4, 6), v = (-3, 12, -4) e w = (6, 3, -1). Determine o vetor x tal que: 
a) x =u + v 
b) x = 3u + 2w 
c) x = 2u - v 
d) x = 2 (u +v ) + 3w 
Solução: 
a) 𝑥 = 𝑢 + 𝑣 = ( 2, −4, 6) + ( −3, 12, −4) = (−1, 8, 2) 
b) 𝑥 = 3𝑢 + 2𝑤 = 3( 2, −4, 6) + 2( 6, 3, −1) = (6, −12, 18) + (12, 6,−2) =
(18, −6, 16) 
c) 𝑥 = 2𝑢 − 𝑣 = 2( 2, −4, 6) − ( −3, 12, −4) = (4, −8, 12) + ( 3, −12, 4) =
(7,−20, 16) 
d) 𝑥 = 2(𝑢 + 𝑣) + 3𝑤 = 2(( 2, −4, 6) + ( −3, 12, −4)) + 3( 6, 3, −1) =
2(−1, 8, 2) + (18, 9, −3) = (−2, 16, 4) + (18, 9, −3) = (16, 7, 1) 
 
(23º) São ortogonais os vetores u= (2, 4, 1) e v = (1, 0, - 2)? 
Solução: 
Os vetores �⃗� e 𝑣 serão ortogonais se ‖�⃗� + 𝑣 ‖ = ‖�⃗� − 𝑣 ‖. Daí, 
Generalizando para o caso de �⃗� = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) e 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) temos: 
‖�⃗� + 𝑣 ‖ = ‖�⃗� − 𝑣 ‖ ⇔ ‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� − 𝑣 ‖2
⇔ ∑(𝑢𝑖 + 𝑣𝑖)
2 =
3
𝑖=1
∑(𝑢𝑖 − 𝑣𝑖)
2 ⟺
3
𝑖=1
2∑𝑢𝑖𝑣𝑖 =
3
𝑖=1
− 2∑𝑢𝑖𝑣𝑖 ⟺ 4∑𝑢𝑖𝑣𝑖 =
3
𝑖=1
0 ⟺ 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3 = 0
3
𝑖=1
 
Em resumo, os vetores �⃗� = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) e 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3) serão ortogonais se, e somente se, 
𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3 = 0. 
Agora, verificando essa condição temos: 2 ∙ 1 + 4 ∙ 0 + 1 ∙ (−2) = 2 + 0 − 2 = 0. Portanto 
os vetores mostrados são perpendiculares. 
Mais a frente a combinação linear 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3 será definida como produto interno 
euclidiano, ou produto escalar. Assim temos a definição. 
 
〈�⃗� , 𝑣 〉 = �⃗� ∙ 𝑣 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 + 𝑢3𝑣3 
A esquerda temos duas possíveis notações para representar a mesma combinação linear. 
 
 
(25º) Determinar 𝛼 para que o vetor �⃗� = (
√11
4
, −
1
2
𝛼) seja unitário. 
Solução: 
Para que o vetor �⃗� = (
√11
4
, −
1
2
𝛼)seja unitário, devemos ter ‖�⃗� ‖ = 1. Assim, 
‖�⃗� ‖ = ‖(
√11
4
, −
1
2
𝛼)‖ = √(
√11
4
)
2
+ (−
1
2
∝)
2
= 1 
Logo, devemos ter 
(
√11
4
)
2
+ (−
1
2
∝)
2
= 1 ⇒
11
16
+
∝2
4
= 1 ⇒
∝2
4
= 1 −
11
16
⇒
∝2
4
=
5
16
⇒∝2=
20
16
⇒∝= ±
√5
2
 
 
 
(30º) Sendo |u| = 4, |v| = 5 e uv = 120º, calcular: |u + v| 
Solução: 
Como ‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� ‖2 + ‖𝑣 ‖2 + 2 ∙ 〈�⃗� , 𝑣 〉. Sendo 〈�⃗� , �⃗� 〉 = cos(𝜃) ∙ ∥ �⃗� ∥∙∥ 𝑣 ∥ temos que 
‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� ‖2 + ‖𝑣 ‖2 + 2 cos(𝜃) ∥ �⃗⃗� ∥∙∥ �⃗⃗� ∥ 
 
Dai, ‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = 42 + 52 + 2 ∙ cos(120°) ∙ 4 ∙ 5 = 16 + 25 + 2 ∙ (−
1
2
) ∙ 4 ∙ 5 = 21. 
Portanto ‖�⃗� + 𝑣 ‖ = √21.