ALGEBRA_LINEAR_E_VETORIAL_-_GABARITO_DAS_AUTO_ATIVIDADES_-_UNIDADE_3_-_TÓPICO_2

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GABARITO DAS AUTO ATIVIDADES – UNIDADE 3 
TÓPICO 2 
QUESTÃO 1: Escreva as transformações lineares 𝑇𝐴, 𝑇𝐵, 𝑇𝐶 , 𝑇𝐷, determinadas, respectivamente, pelas 
matrizes: 
a) 𝐴 = [
−1 0
−3 −1
0 1
] 
RESPOSTA: 
Cada linha da matriz, representa uma coordenada do elemento de transformação e as colunas o 
domínio, então é uma transformação 𝑇:ℝ2 → ℝ3 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (−𝑥, −3𝑥 − 𝑦, 𝑦) 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
b) 𝐵 = [
1 3 −2
2 0 −1
0 1 −1
] 
RESPOSTA: 
É uma transformação 𝑇:ℝ3 → ℝ3 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧, 2𝑥 − 𝑧, 𝑦 − 𝑧) 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
c) 𝐶 = [0 −2 3 1] 
RESPOSTA: 
É uma transformação 𝑇:ℝ4 → ℝ 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤) = (−2𝑦 + 3𝑧 + 𝑤) 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
d) 𝐷 = [
2
1
−1
] 
RESPOSTA: 
É uma transformação 𝑇:ℝ → ℝ3 
𝑇(𝑥) = (2𝑥, 𝑥 , −𝑥) 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 2: Considere a transformação linear 𝑇:ℝ² → ℝ² definida por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 2𝑦). 
Determine a matriz de transformação linear com relação à base canônica de ℝ². 
RESPOSTA: 
Como 𝑇:ℝ² → ℝ², tomaremos 𝛼 = [(1,0), (0,1)] e 𝛽 = [(1,0), (0,1)] 
Partindo do domínio: 
𝑇(1, 0) = (2 ∙ 1 + 0, 1 + 2 ∙ 0) = (2, 1) 
𝑇(0, 1) = (2 ∙ 0 + 1, 0 + 2 ∙ 1) = (1, 2) 
Agora escrevemos os resultados encontrados como combinação linear dos vetores de 𝛽. 
(2, 1) = 𝑎 ∙ (1, 0) + 𝑏 ∙ (0, 1) ⟹ (2, 1) = (𝑎, 𝑏) ⟹ 𝑎 = 2 e 𝑏 = 1 
(1, 2) = 𝑐 ∙ (1, 0) + 𝑑 ∙ (0, 1) ⟹ (1, 2) = (𝑐, 𝑑) ⟹ 𝑐 = 1 e 𝑑 = 2 
Assim sendo: 
[𝑇]𝛽
𝛼 = [
2 1
1 2
] 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 3: Com relação ao exercício anterior, transforme os vetores, por meio da matriz encontrada. 
a) 𝑣1 = (2,−1) 
RESPOSTA: 
Para transformar os vetores, basta realizar a multiplicação pela matriz de transformação. Vamos 
escrever o vetor na forma matricial e aplicar a transformação: 
𝑣1 = (2,−1) ⟹ 𝑣1 = [
2
−1
]
∝
 
[
2 1
1 2
] ∙ [
2
−1
] = [
2 ∙ 2 + 1 ∙ (−1)
1 ∙ 2 + 2 ∙ (−1)
] = [
3
0
]
𝛽
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
b) 𝑣2 = (0,−3) 
RESPOSTA: 
Vamos escrever o vetor na forma matricial e aplicar a transformação: 
𝑣2 = (0, 3) ⟹ 𝑣2 = [
0
3
]
∝
 
[
2 1
1 2
] ∙ [
0
3
] = [
2 ∙ 0 + 1 ∙ 3
1 ∙ 0 + 2 ∙ 3
] = [
3
6
]
𝛽
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
c) 𝑣3 = (−1,−2) 
RESPOSTA: 
Vamos escrever o vetor na forma matricial e aplicar a transformação: 
𝑣3 = (−1,−2) ⟹ 𝑣3 = [
−1
−2
]
∝
 
[
2 1
1 2
] ∙ [
−1
−2
] = [
2 ∙ (−1) + 1 ∙ (−2)
1 ∙ (−1) + 2 ∙ (−2)
] = [
−4
−5
]
𝛽
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 4: Considere a transformação linear 𝑇:ℝ³ → ℝ³definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑧, 𝑦 + 𝑧). 
Determine a matriz de transformação linear com relação à base canônica de ℝ³. 
RESPOSTA: 
Escolhemos 𝛼 = [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] e 𝛽 = [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)]. 
Partindo do domínio 𝛼 
𝑇(1, 0, 0) = (1 + 0, 1 + 0, 0 + 0) = (1, 1, 0) 
𝑇(0, 1, 0) = (0 + 1, 0 + 0, 1 + 0) = (1, 0, 1) 
𝑇(0, 0, 1) = (0 + 1, 0 + 1, 0 + 1) = (0, 1, 1) 
Montando a combinação linear: 
(1,1,0) = 𝑎 ∙ (1,0,0) + 𝑏 ∙ (0,1,0) + 𝑐 ∙ (0,0,1) ⟹ (1,1,0) = (𝑎, 𝑏, 𝑐) ⟹ 𝑎 = 1, 𝑏 = 1 e 𝑐 = 0 
(1, 0, 1) = 𝑒 ∙ (1, 0, 0) + 𝑓 ∙ (0, 1, 0) + 𝑔 ∙ (0, 0, 1) ⟹ (1, 0, 1) = (𝑒, 𝑓, 𝑔) ⟹ 𝑒 = 1, 𝑓 = 0 e 𝑔 = 1 
(0, 1, 1) = ℎ ∙ (1, 0, 0) + 𝑖 ∙ (0, 1, 0) + 𝑗 ∙ (0, 0, 1) ⟹ (0, 1, 1) = (ℎ, 𝑖, 𝑗) ⟹ ℎ = 0, 𝑖 = 1 e 𝑗 = 1 
Assim sendo: 
[𝑇]𝛽
𝛼 = [
1 1 0
1 0 1
0 1 1
] 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 5: Com relação ao exercício anterior, transforme os vetores, por meio da matriz encontrada. 
a) 𝑣1 = (−2,−1,0) 
RESPOSTA: 
Para transformar os vetores, basta realizar a multiplicação pela matriz de transformação. Vamos 
escrever o vetor na forma matricial e aplicar a transformação: 
𝑣1 = (−2,−1,0) ⟹ 𝑣1 = [
2
−1
0
]
∝
 
[
1 1 0
1 0 1
0 1 1
] ∙ [
−2
−1
0
] = [
1 ∙ (−2) + 1 ∙ (−1) + 0 ∙ 0
1 ∙ (−2) + 0 ∙ (−1) + 1 ∙ 0
0 ∙ (−2) + 1 ∙ (−1) + 1 ∙ 0
] = [
−3
−2
−1
]
𝛽
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
b) 𝑣2 = (1,1, −4) 
RESPOSTA: 
Vamos escrever o vetor na forma matricial e aplicar a transformação: 
𝑣2 = (1,1, −4) ⟹ 𝑣1 = [
1
1
−4
]
∝
 
[
1 1 0
1 0 1
0 1 1
] ∙ [
1
1
−4
] = [
1 ∙ 1 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ (−4)
1 ∙ 1 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ (−4)
0 ∙ 1 + 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−4)
] = [
2
−3
−3
]
𝛽
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
c) 𝑣3 = (−1,2, −1) 
RESPOSTA: 
Vamos escrever o vetor na forma matricial e aplicar a transformação: 
𝑣3 = (−1,2,−1) ⟹ 𝑣1 = [
−1
2
−1
]
∝
 
[
1 1 0
1 0 1
0 1 1
] ∙ [
−1
2
−1
] = [
1 ∙ (−1) + 1 ∙ 2 + 0 ∙ (−1)
1 ∙ (−1) + 0 ∙ 2 + 1 ∙ (−1)
0 ∙ (−1) + 1 ∙ 2 + 1 ∙ (−1)
] = [
1
−2
1
]
𝛽
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 6: Seja 𝑇:ℝ³ → ℝ² definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 − 𝑧). 
a) Calcule a matriz que representa 𝑇 na base canônica. 
RESPOSTA: 
Escolhendo 𝛼 = [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] 𝑒 𝛽 = [(1, 0), (0, 1)] 
𝑇(1, 0, 0) = (1 + 0, 1 + 0 + 0) = (1, 1) 
𝑇(0, 1, 0) = (0 + 1, 0 + 1 − 0) = (1, 1) 
𝑇(0, 0, 1) = (0 + 0, 0 + 0 − 1) = (0,−1) 
Realizando a combinação linear: 
(1, 1) = 𝑎 ∙ (1,0) + 𝑏 ∙ (0,1) ⟹ (1, 1) = (𝑎, 𝑏) → 𝑎 = 1 𝑒 𝑏 = 1 
(1, 1) = 𝑐 ∙ (1,0) + 𝑑 ∙ (0,1) ⟹ (1, 1) = (𝑐, 𝑑) → 𝑐 = 1 𝑒 𝑑 = 1 
(0, −1) = 𝑒 ∙ (1,0) + 𝑓 ∙ (0,1) ⟹ (0,−1) = (𝑒, 𝑓) → 𝑒 = 0 𝑒 𝑓 = −1 
Logo: 
[𝑇]𝛽
𝛼 = [
1 1 0
1 1 −1
] 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
b) Calcule o núcleo da transformação. T é injetiva? 
RESPOSTA: 
Para ser núcleo, devemos ter que 
{
𝑥 + 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
 
Onde facilmente descobrimos que a única possibilidade é 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0. 
Como 𝑁(𝑇) = {(0, 0, 0)}, sabemos que 𝑇 é injetiva. 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
c) Calcule a imagem da transformação. T é sobrejetiva? 
RESPOSTA: 
𝐼𝑚(𝑇) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 − 𝑧) = (𝑥, 𝑥) + (𝑦, 𝑦) + (0,−𝑧) 
𝐼𝑚(𝑇) = 𝑥 ∙ (1, 1) + 𝑦 ∙ (1, 1) + 𝑧 ∙ (0, −1) 
Logo Im(T) = [(1,1), (0, −1)], pois o vetor (1, 1) não pode repetir. 
Como [(1, 1), (0, −1)] é uma base de ℝ2, 𝑇 é sobrejetiva. 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
d) T é bijetiva? 
RESPOSTA: 
Como a transformação 𝑇 é injetiva e sobrejetiva, temos que também é bijetiva. 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 7: Esboce a imagem do vetor 𝑣 = (2, 1), através de: 
a) Reflexão em torno do eixo x. 
RESPOSTA: 
Transformação de Reflexão sobre X. 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥,−𝑦) ⟹ 𝑇 = [
1 0
0 −1
] 
Logo: [
1 0
0 −1
] ∙ [
2
1
] = [
1 ∙ 2 + 0 ∙ 1
0 ∙ 2 + (−1) ∙ 1
] = [
2
−1
] 
 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
b) Reflexão em torno do eixo y. 
RESPOSTA: 
Transformação de Reflexão sobre y. 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (−𝑥, 𝑦) ⟹ 𝑇= [
−1 0
0 1
] 
Logo: [
−1 0
0 1
] ∙ [
2
1
] = [
(−1) ∙ 2 + 0 ∙ 1
0 ∙ 2 + 1 ∙ 1
] = [
−2
1
] 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 8: Esboce a projeção do vetor 𝑣 = (2, 4) 
a) Sobre o eixo X: 
RESPOSTA: 
Sobre o eixo 𝑥: 
𝑇(𝑥, 0) = (𝑥, 0) ⟹ 𝑇 = [
1 0
0 0
] 
Logo: [
1 0
0 0
] ∙ [
2
4
] = [
1 ∙ 2 + 0 ∙ 4
0 ∙ 2 + 0 ∙ 4
] = [
2
0
] 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
b) Sobre o eixo Y: 
RESPOSTA: 
Sobre o eixo y: 
𝑇(0, 𝑦) = (0, 𝑦) ⟹ 𝑇 = [
0 0
0 1
] 
 
Logo: [
0 0
0 1
] ∙ [
2
4
] = [
0 ∙ 2 + 0 ∙ 4
0 ∙ 2 + 1 ∙ 4
] = [
0
4
] 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
 
 
QUESTÃO 9: Esboce a imagem do vetor 𝑣 = (6, 3), através de: 
a) Contração de fator 1/2 na direção 𝑥. 
RESPOSTA: 
Contração de fator 1/2 na direção de 𝑥. 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (
1
2
∙ 𝑥, 𝑦) ⟹ 𝑇 = [
1
2⁄ 0
0 1
] 
Logo: 𝑇 = [
1
2⁄ 0
0 1
] ∙ [
6
3
] = [
1
2⁄ ∙ 6 + 0 ∙ 3
0 ∙ 6 + 1 ∙ 3
] = [
3
3
] 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
b) Dilatação de fator 2 na direção 𝑥. 
RESPOSTA: 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (2 ∙ 𝑥, 𝑦) → 𝑇 = [
2 0
0 1
] 
Logo: [
2 0
0 1
] ∙ [
6
3
] = [
2 ∙ 6 + 0 ∙ 3
0 ∙ 6 + 1 ∙ 3
] = [
12
3
] 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
c) Contração de fator 1/3 na direção 𝑦. 
RESPOSTA: 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥,
1
3
∙ 𝑦) → 𝑇 = [
1 0
0 1 3⁄
] 
Logo: [
1 0
0 1 3⁄
] ∙ [
6
3
] = [
1 ∙ 6 + 0 ∙ 3
0 ∙ 6 + 1 3⁄ ∙ 3
] = [
6
1
] 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
d) Dilatação de fator 3 na direção 𝑦. 
RESPOSTA: 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 3 ∙ 𝑦) → 𝑇 = [
1 0
0 3
] 
Logo: [
1 0
0 3
] ∙ [
6
3
] = [
1 ∙ 6 + 0 ∙ 3
0 ∙ 6 + 3 ∙ 3
] = [
6
9
] 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 10: Esboce a imagem do retângulo de vértices 𝐴(0, 0), 𝐵(6, 0), 𝐶(6, 3) e 𝐷(0, 3), através de: 
a) Contração de fator 1/3 na direção 𝑥. 
RESPOSTA: 
 
b) Dilatação de fator 2 na direção 𝑥. 
RESPOSTA: 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
c) Contração de fator 1/2 na direção 𝑦. 
RESPOSTA: 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
d) Dilatação de fator 3 na direção 𝑦. 
RESPOSTA: 
 
 
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 11: Determine a matriz que gera um ponto do plano em torno da origem um ângulo de: 
a) 450 
RESPOSTA: 
Basta substituir o ângulo na matriz de rotação: 
𝑇 = [
cos 45° −𝑠𝑒𝑛 45°
𝑠𝑒𝑛 45° cos 45°
] =
[
 
 
 
 √2
2
−
√2
2
√2
2
√2
2 ]
 
 
 
 
 
b) −60° 
RESPOSTA: 
Basta substituir o ângulo na matriz de rotação: 
T = [
cos (−60°) −𝑠𝑒𝑛 (−60°)
𝑠𝑒𝑛 (−60°) cos(−60°)
] =
[
 
 
 
 1
2
−
√3
2
−
√3
2
1
2 ]
 
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 12: Esboce a imagem do vetor: 
a) 𝑣 = (2, 4) através de uma rotação de 900. 
RESPOSTA: 
Matriz: 𝑇 = [
cos 90° −𝑠𝑒𝑛 90°
𝑠𝑒𝑛 90° cos 90°
] = [
0 −1
1 0
] 
Efetuando a rotação: 
[
0 −1
1 0
] ∙ [
2
4
] = [
0 ∙ 2 + (−1) ∙ 4
1 ∙ 2 + 0 ∙ 4
] = [
−4
2
] 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
b) 𝑣 = (3, √3) através de uma rotação de – 30°. 
RESPOSTA: 
Matriz: T = [
cos (−30°) −𝑠𝑒𝑛 (−30°)
𝑠𝑒𝑛 (−30°) cos(30°)
] =
[
 
 
 
 √3
2
1
2
−
1
2
√3
2 ]
 
 
 
 
 
Efetuando a rotação: 
[
 
 
 
 √3
2
1
2
−
1
2
√3
2 ]
 
 
 
 
∙ [
3
√3
] =
[
 
 
 
 3. √3
2
+
√3
2
−
3
2
+
√3²
2 ]
 
 
 
 
= [2√3
0
] 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 13: Sejam 𝛽 = {(4,2), (−2,2)} e 𝛼 = {(1,0), (0,1)} (base canônica do ℝ²). 
a) Determine a matriz de mudança de base [𝐼]𝛼
𝛽
. 
RESPOSTA: 
Sentido 𝛽 → 𝛼 
Vamos escrever os vetores de 𝛼 como combinação dos vetores de 𝛽: 
(1,0) = 𝑎 ∙ (4, 2) + 𝑏 ∙ (−2, 2) ⟹ (1, 0) = (4𝑎, 2𝑎) + (−2𝑏, 2𝑏) ⟹ (1,0) = (4𝑎 − 2𝑏, 2𝑎 + 2𝑏) 
Segue o sistema 
{
4𝑎 − 2𝑏 = 1
2𝑎 + 2𝑏 = 0
⟹ 𝑎 =
1
6
 e 𝑏 = −
1
6
. 
 
(0, 1) = 𝑐 ∙ (4, 2) + 𝑑 ∙ (−2, 2) ⟹ (0, 1) = (4𝑐, 2𝑐) + (−2𝑑, 2𝑑) ⟹ (0, 1) = (4𝑐 − 2𝑑, 2𝑐 + 2𝑑) 
Segue o sistema 
{
4𝑐 − 2𝑑 = 0
2𝑐 + 2𝑑 = 1
⟹ 𝑐 =
1
6
 e 𝑑 =
1
3
. 
Assim temos: 
[I]𝛽
𝛼 = [
1
6⁄ −
1
6⁄
1
6⁄
1
3⁄
] 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
b) Transforme o vetor 𝑢 = (1,−3), da base 𝛽 para a base 𝛼. 
RESPOSTA: 
Para realizar a mudança de base, basta multiplicar o vetor pela matriz 
𝑢𝛽 = (1,−3) → [
1
6⁄ −
1
6⁄
1
6⁄
1
3⁄
] ∙ [
1
−3
] = [
1
6⁄ ∙ 1 −
1
6⁄ ∙ (−3)
1
6⁄ ∙ 1 +
1
3⁄ ∙ (−3)
] = [
1
6⁄ +
3
6⁄
1
6⁄ − 1
] = [
2
3⁄
−5 6⁄
] = [𝑢]𝛼 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 14: Considere ℝ³ com as operações usuais. Tomemos duas de suas bases, são elas: 
𝛼 = {(3, 0, 3), (3, 6, 3), (0, 0, 3)} e 𝛽 = {(1, 1, 1); (1, 0, 1), (1, 1, 0)}. 
a) Obtenha a matriz de mudança de base de 𝛼 para 𝛽. 
RESPOSTA: 
(1, 1, 1) = 𝑎 ∙ (3, 0, 3) + 𝑏 ∙ (3, 6, 3) + 𝑐 ∙ (0, 0, 3) 
(1, 1, 1) = (3𝑎, 0, 3𝑎) + (3𝑏, 6𝑏, 3𝑏) + (0, 0, 3𝑐) 
(1, 1, 1) = (3𝑎 + 3𝑏, 6𝑏, 3𝑎 + 3𝑏 + 3𝑐) 
Segue o sistema 
{
3𝑎 + 3𝑏 = 1
6𝑏 = 1
3𝑎 + 3𝑏 + 3𝑐 = 1
 
6𝑏 = 1 
𝑏 =
1
6
 
 
3𝑎 + 3𝑏 = 1 
3𝑎 + 3 ∙
1
6
= 1 
3𝑎 = 1 −
1
2
 
3𝑎 =
1
2
 
𝑎 =
1
6
 
3𝑎 + 3𝑏 + 3𝑐 = 1 
3 ∙
1
6
+ 3 ∙
1
6
+ 3𝑐 = 1 
1
2
+
1
2
+ 3𝑐 = 1 
1 + 3𝑐 = 1 
3𝑐 = 0 
𝑐 = 0 
 
(1, 0, 1) = 𝑑 ∙ (3, 0, 3) + 𝑒 ∙ (3, 6, 3) + 𝑓 ∙ (0, 0, 3) 
(1, 0, 1) = (3𝑑, 0, 3𝑑) + (3𝑒, 6𝑒, 3𝑒) + (0, 0, 3𝑓) 
(1, 0, 1) = (3𝑑 + 3𝑒, 6𝑒, 3𝑑 + 3𝑒 + 3𝑓) 
 
Segue o sistema 
{
3𝑑 + 3𝑒 = 1
6𝑒 = 0
3𝑑 + 3𝑒 + 3𝑓 = 1
 
6𝑒 = 0 
𝑒 = 0 
 
3𝑑 + 3𝑒 = 1 
3𝑑 + 3 ∙ 0 = 1 
𝑑 =
1
3
 
3𝑑 + 3𝑒 + 3𝑓 = 1 
3 ∙
1
3
+ 3 ∙ 0 + 3𝑓 = 1 
1 + 3𝑓 = 1 
3𝑓 = 0 
𝑓 = 0 
 
(1, 1, 0) = 𝑔 ∙ (3, 0, 3) + ℎ ∙ (3, 6, 3) + 𝑖 ∙ (0, 0, 3) 
(1, 1, 0) = (3𝑔, 0, 3𝑔) + (3ℎ, 6ℎ, 3ℎ) + (0, 0, 3𝑖) 
(1, 1, 0) = (3𝑔 + 3ℎ, 6ℎ, 3𝑔 + 3ℎ + 3𝑖) 
Segue o sistema 
{
3𝑔 + 3ℎ = 1
6ℎ = 1
3𝑔 + 3ℎ + 3𝑖 = 0
 
6ℎ = 1 
ℎ =
1
6
 
 
3𝑔 + 3ℎ = 1 
3𝑔 + 3 ∙
1
6
= 1 
3𝑔 = 1 −
1
2
 
𝑔 =
1
6
 
3𝑔 + 3ℎ + 3𝑖 = 0 
3 ∙
1
6
+ 3 ∙
1
6
+ 3𝑖 = 0 
1
2
+
1
2
+ 3𝑖 = 0 
3𝑖 = −1 
𝑖 = −
1
3
 
Assim sendo, 
[I]𝛽
𝛼 = [
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
] =
[
 
 
 
1
6⁄
1
6⁄ 0
1
3⁄ 0 0
1
6⁄
1
6⁄ −
1
3⁄ ]
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
b) Calcule as coordenadas do vetor 𝑢 = (−2, 1, 0) na base 𝛽. 
RESPOSTA: 
[
 
 
 
1
6⁄
1
6⁄ 0
1
3⁄ 0 0
1
6⁄
1
6⁄ −
1
3⁄ ]
 
 
 
∙ [
−2
1
0
] =
[
 
 
 
1
6⁄ ∙ (−2)
1
6⁄ ∙ 1 0 ∙ 0
1
3⁄ ∙ (−2) 0 ∙ 1 0 ∙ 1
1
6⁄ ∙ (−2)
1
6⁄ ∙ 1 (−
1
3⁄ ) ∙ 0]
 
 
 
=
[
 
 
 −
1
6⁄
− 2 3⁄
− 1 6⁄ ]
 
 
 
= [𝑢]𝛼 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
 
 
QUESTÃO 15: Sabendo que 𝐴 = {(1, 2), (−3,−5)} e 𝐵 = {(1, 1), (1, 0)} são base do ℝ2, determine: 
a) 𝑣𝐵 , sabendo que 𝑣𝐴 = (−1, 1) 
RESPOSTA: 
𝐵 → 𝐴 
(1, 2) = 𝑎 ∙ (1, 1) + 𝑏 ∙ (1, 0) ⟹ (1, 2) = (𝑎, 𝑎)+ (𝑏, 0) ⟹ (1, 2) = (𝑎 + 𝑏, 𝑎) 
Segue o sistema 
{
𝑎 + 𝑏 = 1
𝑎 = 2
⟹ 𝑎 = 2 e 𝑏 = −1 
(−3,−5) = 𝑐 ∙ (1,1) + 𝑑 ∙ (1,0) ⟹ (−3,−5) = (𝑐, 𝑐) + (𝑑, 0) ⟹ (−3,−5) = (𝑐 + 𝑑, 𝑐) 
Segue o sistema 
{
𝑐 + 𝑑 = −3
𝑐 = −5
⟹ 𝑐 = −5 e 𝑑 = 2 
Logo, a matriz [𝐼]𝐴
𝐵 = [
2 −1
−5 2
] 
Realizando a transformação: [
2 1
−5 2
] ∙ [
−1
1
] = [
2 ∙ (−1) + 1 ∙ 1
(−5) ∙ (−1) + 2 ∙ 1
] = [
−1
7
]
𝐴
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
b) 𝑣𝐴, sabendo que 𝑣𝐵 = (2,−1) 
RESPOSTA: 
𝐴 → 𝐵 
(1, 1) = 𝑎 ∙ (1, 2) + 𝑏 ∙ (−3,−5) ⟹ (1, 1) = (𝑎, 2𝑎) + (−3𝑏, 0 − 5𝑏) ⟹ (1, 1) = (𝑎 − 3𝑏, 2𝑎 − 5𝑏) 
Segue o sistema 
{
𝑎 − 3𝑏 = 1
2𝑎 − 5𝑏 = 1
⟹ 𝑎 = −2 e 𝑏 = −1 
Isolando a variável 𝑎 na primeira equação: 
𝑎 = 1 + 3𝑏 (III) 
Substituindo (III) na segunda equação: 
2(1 + 3𝑏) − 5𝑏 = 1 
2 + 6𝑏 − 5𝑏 = 1 ⟹ 𝑏 = −1 
Substituindo o valor encontrado para 𝑏 na 
equação (III): 
𝑎 = 1 + 3(−1) 
𝑎 = 1 − 3 
𝑎 = −2 
 
(1, 0) = 𝑐 ∙ (1, 2) + 𝑑 ∙ (−3,−5) ⟹ (1, 0) = (𝑐, 2𝑐) + (−d, 0 − 5𝑑) ⟹ (1, 0) = (𝑐 − 3𝑑, 2𝑐 − 5𝑑) 
Segue o sistema 
{
𝑐 − 3𝑑 = 1
2𝑐 − 5𝑑 = 0
⟹ 𝑐 = −5 e 𝑑 = −2 
Isolando a variável 𝑐 na primeira equação: 
𝑐 = 1 + 3𝑑 (III) 
Substituindo (III) na segunda equação: 
2(1 + 3𝑑) − 5𝑑 = 0 
2 + 6𝑑 − 5𝑑 = 0 ⟹ 𝑑 = −2 
Substituindo o valor encontrado para 𝑑 na 
equação (III): 
𝑐 = 1 + 3(−2) 
𝑐 = 1 − 6 
𝑐 = −5 
Logo, a matriz [𝐼]𝐵
𝐴 = [
−2 −1
−5 −2
] 
Realizando a transformação: 
[
−2 −1
−5 −2
] ∙ [
2
−1
] = [
−2 ∙ 2 + (−1) ∙ (−1)
(−5) ∙ 2 + (−2) ∙ (−1)
] = [
−3
−8
]