ALGEBRA_LINEAR_E_VETORIAL_-_GABARITO_DAS_AUTO_ATIVIDADES_-_UNIDADE_1_-_TÓPICO_2

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GABARITO DAS AUTO ATIVIDADES – UNIDADE 1 
TÓPICO 2 
QUESTÃO 1: Se 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) é matriz quadrada de ordem 3 tal que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 − 𝑗 então podemos afirmar 
que o seu determinante é igual a: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) – 4 
RESOLUÇÃO: 
Construção da matriz 𝐴: 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] = [
1 − 1 1 − 2 1 − 3
2 − 1 2 − 2 2 − 3
3 − 1 3 − 2 3 − 3
] = [
0 −1 −2
1 0 −1
2 1 0
] 
 
Note que como a diagonal principal é nula, temos que 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 0, opção a). 
____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 2: 
Encontre a solução da equação 
|
2 1 3
4 −1 𝑛 − 1
𝑛 0 𝑛
| = 12 
RESOLUÇÃO: 
Usaremos a regra de Sarrus para encontrar o determinante da matriz, e igualar ao valor 12: 
|
2 1 3
4 −1 𝑛 − 1
𝑛 0 𝑛
| = 12 
 
(2 ∙ (−1) ∙ 𝑛 + 1 ∙ (𝑛 − 1) ∙ 𝑛 + 4 ∙ 0 ∙ 3) − (𝑛 ∙ (−1) ∙ 3 + 0 ∙ (𝑛 − 1) ∙ 2 + 4 ∙ 1 ∙ 𝑛) = 12 
−2𝑛 + 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) + 3𝑛 − 4𝑛 = 12 
−2𝑛 + 𝑛2 − 𝑛 + 3𝑛 − 4𝑛 = 12 
𝑛2 − 4𝑛 − 12 = 0 
Basta agora resolver a equação do 2°grau na incógnita 𝑛. 
𝑛 =
−(−4) ± √(−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−12)
2.1
=
4 ± √16 + 48
2
=
4 ± 8
2
 
𝑛1 = 
4 + 8
2
=
12
2
= 6 
𝑛2 = 
4 − 8
2
=
−4
2
= −2 
 
Desta forma a solução do problema é dada por 𝑠 = {6, −2} 
____________________________________________________________________________________________________________________ 
 
QUESTÃO 3: (UFBA-90) Calcule o determinante da matriz: 
𝐴 = [
1 0 2 −1
2 1 3 −2
0 0 2 3
1 −1 0 2
] 
RESOLUÇÃO: 
Para calcular o determinante de ordem 4 desta questão, utilizaremos o Teorema de Laplace. Este 
método é mais eficiente, quando escolhemos uma linha ou coluna, que possui o maior número de 
zeros. Sendo assim, optaremos pela escolha da linha 3. O determinante ficará assim definido: 
det 𝐴 = 𝑎31𝐴31 + 𝑎32𝐴32 + 𝑎33𝐴33 + 𝑎34𝐴34 
det 𝐴 = 0 ∙ 𝐴31 + 0 ∙ 𝐴32 + 2 ∙ 𝐴33 + 3 ∙ 𝐴34 
det 𝐴 = 2 ∙ 𝐴33 + 3 ∙ 𝐴34 
Vamos determinar os dois cofatores necessários: 
𝐴33 = (−1)
3+3 ∙ |
1 0 −1
2 1 −2
1 −1 2
| = (2 + 0 + 2) − (−1 + 2 + 0) = 3 
𝐴34 = (−1)
3+4 ∙ |
1 0 2
2 1 3
1 −1 0
| = (−1) ∙ ((0 + 0 − 4) − (2 − 3 + 0)) = (−1) ∙ (−4 − (−1)) = 3 
Desta forma, podemos encontrar o determinante: 
det 𝐴 = 2 ∙ 𝐴33 + 3 ∙ 𝐴34 
det 𝐴 = 2 ∙ 3 + 3 ∙ 3 
det 𝐴 = 15 
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QUESTÃO 4: Dadas as matrizes: 
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×4, 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑖𝑗 = {
1, 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 ≠ 4
−1, 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 = 4
 e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)4×3, com 𝑏𝑖𝑗 = {
1, 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 ≠ 4
−1, 𝑠𝑒 𝑖 + 𝑗 = 4
 
Calcule o determinante de 𝐴 ∙ 𝐵. 
RESOLUÇÃO: 
Definindo as matrizes 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14
𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎24
𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎34
] = [
1 1 −1 1
1 −1 1 1
−1 1 1 1
] e 𝐵 = [
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑏21 𝑏22 𝑏23
𝑏31 𝑏32 𝑏33
𝑏41 𝑏42 𝑏43
] = [
1 1 −1
1 −1 1
−1 1 1
1 1 1
] 
Agora, vamos aplicar a multiplicação entre elas: 
[
1 1 −1 1
1 −1 1 1
−1 1 1 1
] ∙ [
1 1 −1
1 −1 1
−1 1 1
1 1 1
] = [
1 + 1 + 1 + 1 1 − 1 − 1 + 1 −1 + 1 − 1 + 1
1 − 1 − 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 −1 − 1 + 1 + 1
−1 + 1 − 1 + 1 −1 − 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1
] = [
4 0 0
0 4 0
0 0 4
] 
Como a matriz resultante é diagonal, só precisamos multiplicar está diagonal para encontrar o 
determinante: det(𝐴 ∙ 𝐵) = 64. 
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QUESTÃO 5: Aplicando a regra da Sarrus, calcule os determinantes: 
a) [
3 2 −1
5 0 4
2 −3 1
] 
RESOLUÇÃO: 
det 𝐴 = (3 ∙ 0 ∙ 1 + 2 ∙ 4 ∙ 2 + (−1) ∙ 5 ∙ (−3)) − (2 ∙ 0 ∙ (−1) + (−3) ∙ 4 ∙ 3 + 1 ∙ 5 ∙ 2) 
= (16 + 15) − (−36 + 10) = 31 − (−26) = 31 + 26 = 57 
𝑏) [
2 1 −2
3 −1 0
4 1 −3
] 
RESOLUÇÃO: 
det 𝐵 = (2 ∙ (−1) ∙ (−3) + 1 ∙ 0 ∙ 4 + 3 ∙ 1 ∙ (−2)) − (4 ∙ (−1) ∙ (−2) + 3 ∙ 1 ∙ (−3) + 1 ∙ 0 ∙ 2) 
 = (6 − 6) − (8 − 9) = 0 − (−1) = 0 + 1 = 1 
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QUESTÃO 6: Resolva a equação |
2 3 −2
0 1 𝑥
2 𝑥 −3
| = 2 
RESOLUÇÃO: 
Usaremos a regra de Sarrus para encontrar o determinante da matriz, e igualar ao valor 2: 
|
2 3 −2
0 1 𝑥
2 𝑥 −3
| = 2 
(2 ∙ 1 ∙ (−3) + 0 ∙ 𝑥 ∙ (−2) + 3 ∙ 𝑥 ∙ 2) − (2 ∙ 1 ∙ (−2) + 0 ∙ 3 ∙ (−3) + 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 2) = 2 
(−6 + 6𝑥) − (−4 + 2𝑥2) = 2 
−6 + 6𝑥 + 4 − 2𝑥2 = 2 
−2𝑥2 + 6𝑥 − 4 = 0 (÷ −2) 
𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 
Basta agora resolver a equação do 2°grau na incógnita 𝑥. 
𝑥 =
−(−3) ± √(−3)2 − 4 ∙ 1 ∙ 2
2.1
=
3 ± √9 − 8
2
=
3 ± 1
2
 
𝑥1 = 
3 + 1
2
=
4
2
= 2 
𝑥2 = 
3 − 1
2
=
2
2
= 1 
Desta forma a solução do problema é dada por 𝑠 = {1,2} 
____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 7: Seja a matriz quadrada 𝐴 = [
𝑥 + 1 3 𝑥
3 𝑥 1
𝑥 2 𝑥 − 1
]. Calcule 𝑥 de modo que det 𝐴 = 0. 
RESOLUÇÃO: 
Usaremos a regra de Sarrus para encontrar o determinante da matriz, e igualar ao valor 0: 
|
𝑥 + 1 3 𝑥
3 𝑥 1
𝑥 2 𝑥 − 1
| = 0 
((𝑥 + 1) ∙ 𝑥 ∙ (𝑥 − 1) + 3 ∙ 𝑥 ∙ 1 + 3 ∙ 2 ∙ 𝑥) − (𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 1 ∙ (𝑥 + 1) + 3 ∙ 3 ∙ (𝑥 − 1)) = 0 
(𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥2 − 𝑥 + 3𝑥 + 6𝑥) − (𝑥3 + 2𝑥 + 2 + 9𝑥 − 9) = 0 
(𝑥3 + 8𝑥) − (𝑥3 + 11𝑥 − 7) = 0 
𝑥3 + 8𝑥 − 𝑥3 − 11𝑥 + 7 = 0 
−3𝑥 + 7 = 0 
𝑥 =
7
3
 
Desta forma a solução do problema é dada por 𝑠 = {
7
3
} 
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QUESTÃO 8: (Esam-RN) Assinale a proposição verdadeira: 
a) ( ) Se 𝑀 e 𝑁 são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(𝑀 · 𝑁) = det 𝑀 · det 𝑁. 
b) ( ) Se 𝐴 é uma matriz quadrada de segunda ordem e 𝑘 ∈ ℝ∗ , então det (𝑘𝐴) = 𝑘 · det 𝐴. 
c) ( ) Se det 𝐴 = 0, então a matriz 𝐴 é nula. 
d) ( ) Se 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 0, então qualquer que seja a matriz 𝑋, de mesma ordem que 𝐴, tem-se 𝐴𝑋 = 0. 
e) ( ) O determinante da matriz resultante da soma de duas matrizes de mesma ordem é igual à soma 
dos determinantes dessas matrizes. 
RESOLUÇÃO: 
a) (V) É a aplicação do Teorema de Binet. Propriedade 9. 
b) (F) Aplicando a propriedade 5, percebemos que teremos a multiplicação das duas linhas por 𝑘, 
desta forma, devemos multiplica o det 𝐴 por duas vezes o 𝑘, ou seja, det (𝑘𝐴) = 𝑘2 · det 𝐴. 
c) (F) Para o determinante ser nula há várias possibilidades, entre elas: 
• A matriz ser nula; 
• Se uma linha ou coluna for nula; 
• As linhas ou colunas serem proporcionais. 
d) (F) Tome como contraexemplo a seguinte situação: 
𝐴 = [
2 −2
−1 1
] e 𝑋 = [
3 1
2 4
], temos que det 𝐴 = 0 e que 𝐴 ∙ 𝑋 = [
2 −6
−1 3
], mostrando que não é uma 
matriz nula. 
e) (F) Tome como contraexemplo a seguinte situação: 
det 𝐴 = |
2 −2
−1 1
| = 0, det 𝐵 = |
1 −2
−1 3
| = 1, det(𝐴 + 𝐵) = |
3 −4
−2 4
| = 4 
____________________________________________________________________________________________________________________ 
 
 
QUESTÃO 9: Dadas as matrizes 𝐴 = [
1 2
1 0
] e 𝐵 = [
3 −1
0 1
], calcule o det 𝐴 + det 𝐵 e det(𝐴 + 𝐵). 
RESOLUÇÃO: 
det 𝐴 = 1 ∙ 0 − 2 ∙ 1 = −2 
det 𝐵 = 3 ∙ 1 − 0 ∙ (−1) = 3 
Portanto, det 𝐴 + det 𝐵 = −2 + 3 = 1. 
Por outro lado, 𝐴 + 𝐵 = [
1 + 3 2 − 1
1 + 0 0 + 1
] = [
4 1
1 1
], temos que det(𝐴 + 𝐵) = 4 ∙ 1 − 1 ∙ 1 = 3 
____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 10: O valor de um determinante é 42. Se dividirmos a primeira linha por 7 e multiplicarmos 
a primeira coluna por 3, qual será o valor do novo determinante? 
RESOLUÇÃO: 
As operações que executamos com linhas e/ou colunas de um determinante irão diretamente afetar 
seu valor. Em particular, nesta questão, se o determinante é 42, teremos: 
Dividir por 7: 
42
7
= 6 
Multiplicar por 3: 
6 ∙ 3 = 18 
Assim sendo, o determinante passa a ser igual a 18. 
____________________________________________________________________________________________________________________QUESTÃO 11: Calcule os determinantes, utilizando o Teorema de Laplace. 
Obs.: Se aplicar as propriedades dos determinantes, justifique a resposta. 
RESOLUÇÃO: 
Há várias formas de realizar está resolução. Aplicaremos na resolução proposta, um pouco das 
propriedades de determinantes, a fim de obter alguns elementos nulos e posteriormente, aplicar o 
Teorema de Laplace. 
a) [
6 3 −9 4
6 5 −9 2
6 2 −9 −1
6 0 −9 3
], note que a coluna 1 e a coluna 3 são proporcionais. Basta multiplica a coluna 3 
por −2/3. 
b) [
1 1 3 1
2 6 6 4
2 5 3 3
1 1 1 1
], resolveremos essa, aplicando o Teorema de Jacobi nas colunas. Trocaremos as 
colunas 2, 3 e 4, realizando uma subtração pela coluna 1. É visível que esta operação, possibilitará a 
aparição de uma linha quase que toda nula, facilitando a aplicação do Teorema de Laplace. Então, após 
aplicar estas trocas ficaremos com a seguinte matriz 
[
1 1 − 1 3 − 1 1 − 1
2 6 − 2 6 − 2 4 − 2
2 5 − 2 3 − 2 3 − 2
1 1 − 1 1 − 1 1 − 1
] = [
1 0 2 0
2 4 4 2
2 3 1 1
1 0 0 0
] 
Agora, aplicando o Teorema de Laplace pela quarta linha, obtemos: 
det 𝐵 = 𝑏41𝐵41 + 𝑏42𝐵42 + 𝑏43𝐵43 + 𝑏44𝐵44 
det 𝐵 = 1 ∙ 𝐵41 + 0 ∙ 𝐵42 + 0 ∙ 𝐵43 + 0 ∙ 𝐵44 
det 𝐵 = 1 ∙ 𝐵41 
Vamos determinar o cofator necessário: 
𝐵41 = (−1)
4+1 ∙ |
0 2 0
4 4 2
3 1 1
| = (−1) ∙ ((0 + 12 + 0) − (0 + 0 + 8)) = (−1) ∙ (12 − 8) = −4 
Logo, 
det 𝐵 = 1 ∙ (−4) = −4 
____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 12: Sejam as matrizes: 𝐴 = (
1 1 0 1
0 −2 1 −2
0 0 1 0
0 0 0 3
) e 𝐵 = (
1 0 0 0
−1 −2 0 0
2 1 1 0
−3 5 4 3
) 
Então, calcule o det(𝐴 ∙ 𝐵). 
RESOLUÇÃO: 
Utilizando as propriedades dos determinantes, sabemos que: 
det(𝐴 ∙ 𝐵) = det 𝐴 ∙ det 𝐵. 
Agora, ao notar as matrizes 𝐴 e 𝐵, percebemos que elas são triangulares, e assim sendo o 
determinante é o produto da diagonal principal. 
det 𝐴 = 1 ∙ (−2) ∙ 1 ∙ 3 = −6 
det 𝐵 = 1 ∙ (−2) ∙ 1 ∙ 3 = −6 
Sendo assim, o det(𝐴 ∙ 𝐵) = (−6) ∙ (−6) = 36. 
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QUESTÃO 13: Resolva as equações: 
a) |
4 6 𝑥
5 2 −𝑥
7 4 2𝑥
| = −128 
RESOLUÇÃO: 
Utilizando da regra de Sarrus, obtemos a seguinte equação: 
16𝑥 − 42𝑥 + 20𝑥 − (14𝑥 − 16𝑥 + 60𝑥) = −128 
−6𝑥 − 58𝑥 = −128 
−64𝑥 = −128 
𝑥 = 
−128
−64
 
𝑥 = 2 
b) |
3 5 7
2𝑥 𝑥 3𝑥
4 6 7
| = 39 
RESOLUÇÃO: 
Utilizando da regra de Sarrus, obtemos a seguinte equação: 
21𝑥 + 60𝑥 + 84𝑥 − (28𝑥 + 54𝑥 + 70𝑥) = 39 
165𝑥 − 152𝑥 = 39 
13𝑥 = 39 
𝑥 =
39
13
 
𝑥 = 3 
c) |
5 1 3
3𝑥 0 1
7𝑥 2 1
| = 100 
RESOLUÇÃO: 
Utilizando da regra de Sarrus, obtemos a seguinte equação: 
0 + 7𝑥 + 18𝑥 − (0 + 10 + 3𝑥) = 100 
25𝑥 − 10 − 3𝑥 = 100 
22𝑥 = 100 + 10 
22𝑥 = 110 
𝑥 =
110
22
 
𝑥 = 5 
d) |
𝑥 + 3 𝑥 + 1 𝑥 + 4
4 5 3
9 10 7
| = −7 
35 ∙ (𝑥 + 3) + 27 ∙ (𝑥 + 1) + 40 ∙ (𝑥 + 4) − (45 ∙ (𝑥 + 4) + 30 ∙ (𝑥 + 3) + 28 ∙ (𝑥 + 1)) = −7 
35𝑥 + 105 + 27𝑥 + 27 + 40𝑥 + 160 − (45𝑥 + 180 + 30𝑥 + 90 + 28𝑥 + 28) = −7 
102𝑥 + 292 − (103𝑥 + 298) = −7 
102𝑥 + 292 − 103𝑥 − 298 = −7 
−𝑥 = −7 − 292 + 298 
−𝑥 = −1 
𝑥 = 1 
e) |
2 0 0
0 𝑥2 − 1 0
0 0 5𝑥 + 1
| = 0 
RESOLUÇÃO: 
Como a matriz é triangular, basta multiplicar a diagonal principal para encontrar o determinante: 
2 ∙ (𝑥2 − 1) ∙ (5𝑥 + 1) = 0 
Usando o fato que (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = (𝑥2 − 1), obtemos 
2 ∙ (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 1) ∙ (5𝑥 + 1) = 0 
Sendo assim, temos três possibilidade para o resultado ser zero: 
𝑥 − 1 = 0 
𝑥 = 1 
𝑥 + 1 = 0 
𝑥 = −1 
5𝑥 = −1 
𝑥 = −
1
5