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Aula 3: 8 de maio 3-1
Curso: Relatividade 01/2019
Aula 3: 8 de maio
Profa. Raissa F. P. Mendes
3.6 Derivada covariante
O objetivo dessa aula é discutir a noção de derivada de tensores em coordenadas arbitrárias e em
espaços-tempos arbitrários. Derivar implica comparar objetos em pontos próximos (no limite em
que os pontos se aproximam). No entanto, vimos que a definição de tensores em espaços curvos
é local: apenas num ponto é leǵıtimo operar (adicionar, subtrair, multiplicar por escalar, tomar o
produto interno) com tensores.
Qual é o procedimento para se derivar um campo vetorial no espaço plano? Consiste em carregar o
vetor que caracteriza o campo num ponto x+ � até o ponto x e, ali, realizar a subtração e o limite
que entram na definição da derivada. Esse procedimento de transporte paralelo é trivial em espaços
planos com coordenadas cartesianas: basta definir, no ponto x, o vetor que tem as componentes
(Vx(x + �), Vy(x + �)). No entanto, esse procedimento deixa de valer mesmo em coordenadas
curviĺıneas! De fato, da discussão da aula passada sobre coordenadas polares, é fácil se convencer
de que o vetor ~V →pol (0, 1), por exemplo, muda ponto a ponto. Transportar paralelamente não
significa apenas definir um vetor com as mesmas coordenadas em outro ponto.
Um outro aspecto que teremos a oportunidade de discutir mais à frente é o fato de que, ao contrário
do que ocorre em espaços planos, em que o procedimento de transporte paralelo não depende do
caminho por onde é feito, havendo uma noção global de paralelismo, em espaços curvos a noção
de transporte paralelo dependerá do caminho. Portanto, não poderemos dizer que “um vetor A é
paralelo a B”, mas precisaremos adicionar “quando propagado ao longo da curva C”.
Aula 3: 8 de maio 3-2
A investigação dos pontos acima nos levará a uma nova definição de derivada e abrirá caminho
para discutirmos, na próxima aula, a noção de geodésicas, as linhas de mundo de part́ıculas livres.
3.6.1 Conexão
Considere um campo vetorial ~V , que pode ser escrito como ~V = V µ~eµ, onde V
µ são funções
da posição e, em geral, os vetores de base ~eµ também podem mudar ponto a ponto. Suponha
que queremos calcular a taxa de variação do vetor ao longo de uma curva parametrizada por um
parâmetro λ. Temos:
d~V
dλ
= lim
∆λ→0
~V (λ+ ∆λ)− ~V (λ)
∆λ
= lim
∆λ→0
V µ(λ+ ∆λ)~eµ(λ+ ∆λ)− V µ(λ)~eµ(λ)
∆λ
.
Se a base de vetores é a mesma em todos os pontos, ~eµ(λ+ ∆λ) = ~eµ(λ), como ocorre em coorde-
nadas cartesianas, segue que
d~V
dλ
=
(
dV µ
dλ
)
~eµ.
No entanto, isso não vale em geral! Vamos ver um exemplo.
3.6.1.1 Derivadas em coordenadas polares
Imagine um campo vetorial ~V , decomposto em coordenadas cartesianas como ~V = V a~ea, onde a
toma valores 1 e 2, com x1 = x, x2 = y, ou em coordenadas polares, ~V = V a
′
~ea′ , onde x
1′ = r e
x2
′
= θ. Queremos calcular a derivada desse campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada
por λ, com vetor tangente ~U (tal que Ua = dxa/dλ). Temos, em coordenadas cartesianas:
d~V
dλ
=
d(V a~ea)
dλ
=
dV a
dλ
~ea = U
β(∂βV
a)~ea
E em coordenadas polares? A grande diferença está no fato de que os vetores de base em coorde-
nadas polares podem mudar ao longo da curva! Temos:
d~V
dλ
=
d(V a
′
~ea′)
dλ
=
dV a
′
dλ
~ea′ + V
a′ d~ea′
dλ
= U b
′
[
(∂b′V
a′)~ea′ + V
a′∂b′~ea′
]
Agora, a derivada do vetor de base deve ser, ela mesma, um vetor, e este deve poder ser expandido
em termos dos próprios vetores de base! Ou seja, podemos definir campos Γc
′
a′b′ tais que
∂b′~ea′ = Γ
c′
a′b′~ec′ .
Em Γcab, o ı́ndice a dá o vetor de base que está sendo derivado, b diz a coordenada em relação à qual
estamos derivando e c denota a componente do vetor derivada resultante. Vamos calcular esses
coeficientes explicitamente no caso de coordenadas polares. Sabemos que ~er = cos θ~ex + sin θ~ey e
Aula 3: 8 de maio 3-3
~eθ = −r sin θ~ex + r cos θ~ey. Portanto:
∂~er/∂r = 0 → Γcrr = 0
∂~er/∂θ = − sin θ~ex + cos θ~ey = (1/r)~eθ → Γrrθ = 0, Γθrθ = 1/r,
∂~eθ/∂r = − sin θ~ex + cos θ~ey = (1/r)~eθ → Γrθr = 0, Γθθr = 1/r,
∂~eθ/∂θ = −r cos θ~ex − r sin θ~ey = −r~er → Γrθθ = −r, Γθθθ = 0.
Com isso, podemos escrever:
d~V
dλ
= U b
′
(∂b′V
a′~ea′ + Γ
c′
a′b′V
a′~ec′) = U
b′(∂b′V
a′ + Γa
′
c′b′V
c′)~ea′ = U
b′∇b′V a
′
~ea′
Na última igualdade, definimos o objeto ∇bV a = ∂bV a+ΓacbV c. Veremos mais à frente que essas são
componentes de um tensor do tipo ( 11 ), a derivada covariante ∇~V . Em coordenadas cartesianas,
∇bV a = ∂bV a, mas num sistema de coordenadas curviĺıneo, haverá termos adicionais que vêm do
fato de os vetores de base não serem constantes em todo o espaço.
Antes de prosseguirmos, vamos ver como esse formalismo nos permite calcular fórmulas conhecidas
para o gradiente de um vetor e o laplaciano de uma função. Em coordenadas cartesianas, o
divergente de um vetor é simplesmente ∂aV
a. Em um sistema de coordenadas qualquer, o divergente
será o resultado da contração ∇a′V a
′
. Em coordenadas polares, temos, portanto,
∇a′V a
′
= ∂a′V
a′ + Γa
′
c′a′V
c′ = ∂rV
r + ∂θV
θ + (1/r)V r,
que é a fórmula conhecida. Da mesma forma, podemos calcular o laplaciano de uma função, que
nada mais é que o divergente do (vetor) gradiente da função. Vimos que o vetor gradiente tem
componentes ~dφ→pol (∂rφ, ∂θφ/r2). Portanto, o Laplaciano é dado por
∇2φ = 1
r
∂
∂r
(
r
∂φ
∂r
)
+
1
r2
∂2φ
∂θ2
.
3.6.1.2 Caso geral
Voltemos ao espaço-tempo! Vamos imaginar que um sistema de coordenadas {xµ} cobre a nossa
variedade, de modo que, em cada ponto, podemos definir vetores de base da forma discutida na
aula passada. A derivada de um vetor ao longo de uma curva (parametrizada por λ, com vetor
tangente ~U) pode ser escrita como
d~V
dλ
= Uν(∇νV µ)~eµ = Uν(∂νV µ + ΓµγνV γ)~eµ
Novamente, introduzimos os Γ’s, que vamos chamar de coeficientes conexão, por meio de ∂ν~eµ =
Γγαβ~eγ . De forma equivalente, esses coeficientes de conexão representam as componentes do tensor
∇~eβ, ou seja, ∇α(~eβ)γ = ∂α(~eβ)γ + Γγαρ(~eβ)ρ = Γγαβ. A prinćıpio, a conexão é uma estrutura a mais
na nossa variedade. No entanto, na Relatividade Geral, veremos que ela é inteiramente descrita
pela métrica. Antes de mostrarmos isso, vamos responder duas perguntas: (i) Como a conexão e
a derivada covariante se transformam sob uma mudança de coordenadas? (ii) qual é a derivada
covariante de um tensor arbitrário?
Aula 3: 8 de maio 3-4
3.6.1.3 Lei de transformação da conexão
Como vimos, os coeficientes Γγαβ são componentes do tensor ∇~eβ. Aqui, β está fixo e γ e α são
os ı́ndices das componentes. Mudar β muda o tensor, ao passo que mudar γ e α apenas muda as
componentes do tensor em questão. Agora, essa interpretação da conexão não é tão útil porque,
quando mudamos as coordenadas, as quantidades importantes nesse novo sistema são ∇~eβ′ , que
são obtidas a partir de ∇~eβ de um jeito complicado:
Γγ
′
α′β′ = ∇α′(~eβ′)
γ′ = Λαα′Λ
γ′
γ∇α(~eβ′)γ = Λαα′Λγ
′
γ∇α(Λ
β
β′~eβ)
γ = Λαα′Λ
γ′
γΛ
β
β′Γ
γ
αβ+Λ
α
α′Λ
γ′
γ∂αΛ
γ
β′ .
Portanto, embora Γγαβ, com β fixo, possam ser vistos como componentes de um tensor (
1
1 ), eles
não podem ser vistos, com β variando, como componentes de um tensor ( 12 ). Note, porém, que a
derivada covariante de um vetor é sim um tensor do tipo ( 11 ) e, em geral, a derivada covariante de
um tensor do tipo (MN ) é um tensor do tipo (
M
N+1 ). Vamos mostrar isso para o caso de vetores:
∇µ′V ν
′
=∂µ′V
ν′ + Γν
′
µ′λ′V
λ′
=
(
Λµµ′Λ
ν′
ν∂µV
ν + Λµµ′V
ν∂µΛ
ν′
ν
)
+ Λλ
′
λ
(
Λν
′
νΛ
µ
µ′Λ
ρ
λ′Γ
ν
µρ + Λ
ν′
νΛ
µ
µ′∂µΛ
ν
λ′
)
V λ
=Λµµ′Λ
ν′
ν(∂µV
ν + ΓνµλV
λ) + Λµµ′V
ν∂µΛ
ν′
ν − V λΛν
′
νΛ
ν
λ′Λ
µ
µ′∂µΛ
λ′
λ
=Λµµ′Λ
ν′
ν(∂µV
ν + ΓνµλV
λ) = Λµµ′Λ
ν′
ν∇µV ν .
Essa é a lei de transformação esperada. Note que, da segunda para a terceira linha, usamos o fato
de que Λλ
′
λ∂µΛ
ν
λ′ = Λ
ν
λ′∂µΛ
λ′
λ, o que segue se derivamos a expressão Λ
λ′
λΛ
ν
λ′ = δ
ν
λ.
3.6.1.4 Derivada covariantede tensores arbitrários
Qual é a derivada covariante de uma função escalar? A derivada covariante difere da derivada
parcial por causa da mudança nos vetores de base. Mas um escalar não depende de vetores de base:
temos, simplesmente, ∇αf = ∂αf e ∇f = d̃f .
E para uma 1-forma? Dado um campo de 1-formas p̃ e um campo vetorial ~V , podemos construir
a função escalar φ = p̃(~V ) = pαV
α. Derivando, obtemos:
∂βφ = V
α∂βpα + pα∂βV
α = V α∂βpα + pα∇βV α − pαV µΓαµβ.
Por outro lado, isso deve ser igual a
∇βφ = (∇βpα)V α + (∇βV α)pα.
Temos, portanto, que
∇βpα = ∂βpα − Γµαβpµ.
Esse mesmo procedimento pode ser generalizado para obtermos a derivada de um tensor de qualquer
tipo. Por exemplo, temos:
∇βTµν = ∂βTµν + TανΓ
µ
αβ − T
µ
αΓ
α
νβ .
Aula 3: 8 de maio 3-5
3.6.2 Relação dos coeficientes de conexão com a métrica
O véıculo que nos leva da mecânica clássica à mecânica quântica é o prinćıpio da correspondência.
De forma semelhante, o véıculo entre um espaço-tempo plano e um espaço-tempo curvo é o prinćıpio
da equivalência: as leis da f́ısica são as mesmas num referencial local de Lorentz num espaço-
tempo curvo e num referencial global de Lorentz no espaço-tempo plano. A ideia é, portanto,
carregar a noção de transporte paralelo do espaço-tempo de Minkowski a um referencial local de
Lorentz (RLL). Num RLL constrúıdo ao redor de um ponto P , os vetores de base não mudam de
ponto a ponto (usando a noção usual de transporte paralelo para compará-los). Portanto, num
RLL, temos que ∇~eβ̂ = 0 em P , ou seja, Γ
γ̂
α̂β̂
(P ) = 0, com os chapéus indicando esse sistema
de coordenadas espećıfico. Temos, portanto, que a conexão se anula em P no referencial local de
Lorentz constrúıdo nas vizinhanças desse ponto. Portanto, nesse referencial, derivadas covariantes
se reduzem a derivadas parciais. Vamos mostrar duas consequências importantes disso:
• Temos, para o tensor métrico:
∇γ̂gα̂β̂ = ∂γ̂gα̂β̂ = 0,
pois, como vimos na aula passada, o RLL é definido como aquele em que a métrica num ponto
se reduz a diag(−1, 1, 1, 1) e as derivadas primeiras da métrica no ponto se anulam.
Agora, essa expressão reflete uma expressão tensorial (∇g = 0) que, se é válida num sistema
de referência (no caso, um referencial local de Lorentz), precisa ser válida em qualquer outro8!
Temos:
∇γgαβ = 0 em qualque base! (3.2)
Essa condição às vezes é chamada de condição de compatibilidade da conexão com a métrica.
• Considere uma função φ arbitrária. Sua primeira derivada ∇φ é uma 1-forma com compo-
nentes ∂αφ. Sua segunda derivada é um tensor do tipo ( 02 ), com componentes ∇α∂βφ. Agora,
num referencial local de Lorentz, temos que isso se reduz a
∇α̂∇β̂φ = ∂α̂∂β̂φ = ∂β̂∂α̂φ = ∇β̂∇α̂φ
Novamente, a equação ∇α̂∇β̂φ = ∇β̂∇α̂φ é uma equação tensorial e, se é válida num sistema
de referência, precisa ser válida em qualquer outro. É fácil mostrar que essa condição implica
que
Γγαβ = Γ
γ
βα.
Essa condição às vezes é chamada de condição de torção nula. Dada uma conexão, definimos
a torção justamente como a parte antissimétrica da conexão: T γαβ = Γ
γ
αβ − Γ
γ
βα, que é nula
em Relatividade Geral.
A condição de compatibilidade entre a conexão e a métrica e a condição de torção nula são suficientes
para nos permitir escrever a conexão em termos da métrica. Para isso, escrevemos a condição de
8A afirmação geral é: se uma equação é formada usando componentes de tensores combinados por operações
tensoriais válidas, e se ela vale em uma certa base, então ela vale em qualquer outra. É importante se convencer
disso!
compatibilidade para três permutações de ı́ndices:
∇ρgµν = ∂ρgµν − Γλρµgλν − Γλρνgµλ
∇µgνρ = ∂µgνρ − Γλµνgλρ − Γλµρgνλ
∇νgρµ = ∂νgρµ − Γλνρgλµ − Γλνµgρλ
Subtraindo a segunda e a terceira linhas da primeira, e usando a simetria da conexão, obtemos
∂ρgµν − ∂µgνρ − ∂νgρµ + 2Γγµνgγρ = 0. Resolvendo para a conexão, obtemos:
Γσµν =
1
2
gσρ(∂µgνρ + ∂νgρµ − ∂ρgµν) (3.3)
Essa conexão é também chamada conexão de Levi-Civita, e seus coeficientes são também chamados
de śımbolos de Christoffel. É fácil voltar ao nosso exemplo do plano em coordenadas polares e
confirmar que a expressão acima, calculada para a métrica diag(1, r2), nos dá os coeficientes de
conexão que calculamos anteriormente!
Para ler/fazer: Ler o caṕıtulo 5 do Schutz (exceto 5.5). Fazer exerćıcios 1 e 2 da Lista 5.
3-6
	Derivada covariante
	Conexão
	Derivadas em coordenadas polares
	Caso geral
	Lei de transformação da conexão
	Derivada covariante de tensores arbitrários
	Relação dos coeficientes de conexão com a métrica