Geodésicas e Movimento em Espaço-Tempo

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Aula 4: 13 de maio 4-1
Curso: Relatividade 01/2019
Aula 4: 13 de maio
Profa. Raissa F. P. Mendes
4.7 Geodésicas
Pode-se dizer que as curvas mais importantes no espaço Euclideano são retas! De fato, boa parte
da geometria Euclideana se baseia nesse conceito. Da mesma forma, em Relatividade Restrita, as
trajetórias de observadores inerciais e de raios de luz são retas no espaço-tempo. Em Relatividade
Geral, o conceito de geodésica, que é a generalização natural do conceito de “reta” para um espaço-
tempo arbitrário, será de fundamental importância. De fato, veremos que part́ıculas “livres”, ou
seja, part́ıculas-teste9 que estão sujeitas apenas à ação da gravidade (e livres de qualquer outra
força) seguem geodésicas no espaço-tempo. O mesmo valerá para raios de luz.
Nas próximas seções, discutiremos geodésicas a partir de três pontos de vista: (i) a partir da noção
de transporte paralelo; (ii) a partir do prinćıpio variacional; (iii) a partir da descrição do movimento
num referencial localmente inercial.
Uma grande parte da informação experimental e teórica sobre o espaço-tempo em que vivemos é
obtida por meio da análise do movimento de part́ıculas teste e raios de luz que se movem através
dele. Por isso, o conceito de geodésicas será fundamental mais adiante e é fundamental compreendê-
lo bem!
Exemplos: precessão do periélio de Mercúrio, lentes gravitacionais, estudo do movimento orbital
ao redor de Sag A*, propagação da radiação cósmica de fundo, etc.
4.7.1 Geodésicas a partir de transporte paralelo
Vamos lembrar o que vimos na aula passada sobre o transporte paralelo de um vetor ~V ao longo de
uma curva. Um vetor é transportado paralelamente se ele não muda à medida que é transportado ao
longo de uma curva (ou seja, o vetor transportado é paralelo ao original e tem o mesmo comprimento
dele). Isso pode ser escrito como d~V /dλ = 0. Levando em conta que
d~V
dλ
=
d(V ν~eν)
dλ
=
dxµ
dλ
(∂µV
ν~eν + V
ν∂µ~eν) =
dxµ
dλ
(∂µV
ν + ΓναµV
α)~eν =
(
dxµ
dλ
∇µV ν
)
~eν ,
podemos concluir:
9Uma part́ıcula “teste” é um corpo que não deforma apreciavelmente o espaço-tempo, mas se move em resposta
à deformação produzida, como veremos, por objetos mais massivos.
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Transporte paralelo: Um vetor ~V é transportado paralelamente ao longo de uma curva com
vetor tangente Uµ = dxµ/dλ se suas componentes satisfazem:
Uµ∇µV ν = 0 (4.4)
Retas/geodésicas: Como descrever uma reta, ou de forma mais geral, uma geodésica? Geral-
mente pensamos numa reta como a curva que minimiza a distância entre dois pontos, e retomaremos
essa definição mais à frente. Mas há uma descrição alternativa. Numa reta, a tangente à curva
num ponto é paralela à tangente à curva num ponto anterior. Uma reta no espaço Euclideano é a
única curva que transporta paralelamente o seu próprio vetor tangente!
Figura 4.3: A reta é a única curva que transporta paralelamente seu próprio vetor tangente.
Vamos usar esse mesmo critério para definir geodésicas (a generalização de retas) em um espaço
curvo:
Geodésicas (def. 1): Geodésicas são curvas que transportam paralelamente seu próprio vetor
tangente ~U , ou seja, seu vetor tangente obedece:
Uν∇νUα = 0 −→
dUα
dλ
+ ΓαµνU
µUν = 0 −→ d
2xα
dλ2
+ Γαµν
dxµ
dλ
dxν
dλ
= 0. (4.5)
onde, novamente, Uµ = dxµ/dλ é o vetor tangente à curva. Note que, num referencial localmente
inercial, essas curvas são de fato retas, já que os śımbolos de Christofell se anulam: d2xα̂/dλ2 = 0
tem solução xα̂ = aα̂λ+ bα̂, a equação da reta em coordenadas retangulares.
Reparametrização: O que acontece quando mudamos o parâmetro λ que parametriza a curva?
Em um certo sentido, quando mudamos a parametrização, mudamos a curva, já que nossa definição
de curva não é simplesmente uma série de pontos conectados na variedade (o “caminho”), mas uma
função dos reais na variedade, que depende da parametrização: {xµ = xµ(λ), a ≤ λ ≤ b}. Isso é
importante porque, quando mudamos a parametrização para σ = σ(λ), mudamos o vetor tangente
à curva para dxµ/dσ = (dλ/dσ)dxµ/dλ. A figura abaixo mostra um exemplo. Pela definição de
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geodésica que estamos usando nesta seção, apenas a curva de cima na figura abaixo seria considerada
uma geodésica, pois seu vetor tangente é transportado paralelamente ao longo da curva, ao passo
que o vetor tangente na curva de baixo muda de magnitude. Dizemos que o parâmetro da primeira
curva é um parâmetro afim, ao passo que o parâmetro ao longo da segunda curva não é afim. Dado
um parâmetro afim λ, todo novo parâmetro σ = aλ + b também será um parâmetro afim (mostre
isso: se λ → aλ+ b, a Eq. (4.5) permanece válida!). Para um σ qualquer, a equação da geodésica
não será (4.5), mas
d2xα
dσ2
+ Γαµν
dxµ
dσ
dxν
dσ
= f(σ)
dxα
dσ
,
com f(σ) = −(d2σ/dλ2)(dσ/dλ)−2. Dada uma curva que satisfaz a equação acima, é sempre
posśıvel encontrar uma parametrização afim que coloque a equação na forma (4.5).
4.7.2 Geodésicas a partir do prinćıpio variacional
Na nossa discussão sobre Relatividade Restrita, vimos que, entre todas as linhas de mundo que
passam por dois eventos A e B (separados por um intervalo tipo-tempo), aquela com maior tempo
próprio é a de uma part́ıcula inercial. Vamos ver que isso também se aplica num espaço-tempo
curvo:
Geodésica (def. 2): Uma geodésica é a curva que maximiza o tempo próprio entre dois
eventos tipo-tempo, ou minimiza a distância própria entre dois eventos tipo-espaço.
Vamos mostrar que, a partir dessa noção, chegamos novamente à equação da geodésica. Os alunos
que nunca viram prinćıpio variacional podem pular o restante dessa seção!
O tempo próprio entre dois eventos no espaço-tempo é dado por
τAB =
∫ B
A
dτ =
∫ B
A
[−gαβdxαdxβ]1/2.
A linha de mundo da part́ıcula pode ser descrita parametricamente determinando as coordenadas
em função de um parâmetro λ que varia de λ = λ0 em A a λ = λ1 em B. O tempo próprio é, então,
τAB =
∫ λ1
λ0
dλ
(
−gαβ
dxα
dλ
dxβ
dλ
)1/2
Queremos considerar variações no caminho, xµ + �δxµ que mantêm os pontos inicial e final fixos,
ou seja, δxµ(λ0) = δx
µ(λ1) = 0. E queremos encontrar o caminho que extremiza o tempo próprio,
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ou seja, para o qual δτAB = 0. Calculamos:
δτAB =
d
d�
τAB[x+ �δx]|�=0
=
d
d�
∫ λ1
λ0
√
−gµν(x+ �δx)
(
dxµ
dλ
+ �
dδxµ
dλ
)(
dxν
dλ
+ �
dδxν
dλ
)
dλ
∣∣∣∣∣
�=0
=
d
d�
∫ λ1
λ0
√
− (gµν(x) + ∂γgµν(x)�δxγ)
(
dxµ
dλ
+ �
dδxµ
dλ
)(
dxν
dλ
+ �
dδxν
dλ
)
dλ
∣∣∣∣∣
�=0
=
1
2
∫ λ1
λ0
dλ√
−gµν dx
µ
dλ
dxν
dλ
(
−∂γgµνδxγ
dxµ
dλ
dxν
dλ
− 2gµν
dδxµ
dλ
dxν
dλ
)
A conta fica mais fácil quando usamos o tempo próprio para parametrizar a curva, pois áı temos
gµν
dxµ
dτ
dxν
dτ = −1. Fazendo isso e integrando o último termo por partes, obtemos:
δτAB = −
1
2
∫ τ1
τ0
dτδxγ∂γgµν
dxµ
dτ
dxν
dτ
+
1
2
∫ τ1
τ0
δxµ
d
dτ
(
2gµν
dxν
dτ
)
dτ + [· · · ]δxα(τ1)− [...]δxα(τ0)
Os dois últimos termos se anulam, pela condição de extremos fixos. Finalmente, temos:
δτAB = −
1
2
∫ τ1
τ0
dτδxγ
[
∂γgµν
dxµ
dτ
dxν
dτ
− d
dτ
(
2gγν
dxν
dτ
)]
= 0.
Para isso ser válido para uma variação arbitrária, o termo entre colchetes deve se anular. Dele,
temos:
0 =
1
2
∂γgµν
dxµ
dτ
dxν
dτ
− ∂µgγν
dxµ
dτ
dxν
dτ
− gγν
d2xν
dτ2
=
d2xµ
dτ2
− 1
2
gγµ∂γgαβ
dxα
dτ
dxβ
dτ
+ gγµ∂σgγν
dxσ
dτ
dxν
dτ
=
d2xµ
dτ2
+
1
2
gγµ (∂βgγσ + ∂σgβγ − ∂γgσβ)
dxσ
dτ
dxβ
dτ
=
d2xµ
dτ2
+ Γµσβ
dxσ
dτ
dxβ
dτ
Novamente, chegamos à equação da geodésica! Alternativamente, podeŕıamos ter usado as equações
de Euler-Lagrange para derivá-la.
Geodésicas nulas: A equação da geodésica vale igualmente para part́ıculas massivas e raios de
luz. A única diferença é que no último caso não podemos usar o tempo próprio para parametrizar
a trajetória. Mas qualquer outro parâmetro afim pode ser usado. Em particular,podemos escolher
λ tal que dxµ/dλ seja igual ao quadri-vetor momento. Nesse caso, temos: pλ∇λpµ = 0.
4.7.3 Geodésicas a partir da descrição num referencial local de Lorentz
Considere uma part́ıcula se movendo livremente apenas sob a influência da gravitação. De acordo
com o prinćıpio da equivalência, existe um referencial local de Lorentz (RLL, um “referencial em
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queda livre”) com coordenadas xα̂ no qual a part́ıcula tem velocidade constante, ou seja, tem
equação de movimento dada por:
d2xα̂
dτ2
= 0,
onde τ representa o tempo próprio, definido num referencial localmente inercial de forma análoga
à Relatividade Restrita: dτ2 = −ds2 = −ηµ̂ν̂dxµ̂dxν̂ = −gµ̂ν̂dxµ̂dxν̂ . Note que:
dτ2 = −gµ̂ν̂dxµ̂dxν̂ = Λµ̂µΛν̂νgµνΛµ̂ρΛν̂σdxρdxσ = gµνdxµdxν .
Ou seja, o tempo próprio é invariante por transformações arbitrárias de coordenadas.
Suponha agora que haja um outro sistema de coordenadas xµ, que pode ser um sistema Cartesiano
em repouso no laboratório, ou pode ser curviĺıneo, acelerado, girando, etc. As coordenadas do RLL
são funções de xµ e a equação de movimento se torna:
0 =
d
dτ
(
∂xα̂
∂xµ
dxµ
dτ
)
=
∂xα̂
∂xµ
d2xµ
dτ2
+
∂2xα̂
∂xµ∂xν
dxµ
dτ
dxν
dτ
Multiplicando por ∂xλ/∂xα̂ e usando a regra do produto, ∂x
α̂
∂xµ
∂xλ
∂xα̂
= δλµ, obtemos:
0 =
d2xλ
dτ2
+
∂xλ
∂xα̂
∂2xα̂
∂xµ∂xν
dxµ
dτ
dxν
dτ
=
d2xλ
dτ2
+ Λλα̂∂µΛ
α̂
ν
dxµ
dτ
dxν
dτ
Agora, vamos recuperar, da aula anterior, a expressão para como a conexão se transforma de um
sistema de coordenadas para outro:
Γγ
′
α′β′ = Λ
α
α′Λ
γ′
γ Λ
β
β′Γ
γ
αβ + Λ
α
α′Λ
γ′
γ ∂αΛ
γ
β′ .
No RLL, temos os śımbolos de Christoffel se anulam. Num referencial arbitrário obtido a partir
do RLL por uma mudança de coordenadas, temos, da expressão acima, que Γγαβ = Λ
α̂
αΛ
γ
γ̂∂α̂Λ
γ̂
β =
Λγγ̂∂αΛ
γ̂
β. Vemos, portanto, que a equação de movimento pode ser escrita como
d2xλ
dτ2
+ Γλαβ
dxµ
dτ
dxν
dτ
= 0,
como t́ınhamos antes! Note que o tempo próprio é um parâmetro afim.
4.7.4 Limite Newtoniano
Nas seções anteriores, vimos como o conceito de reta, nativo do espaço plano, pode ser generalizado
para o conceito de geodésica em espaços arbitrários. E a seção anterior sugere que essas são as
linhas de mundo de part́ıculas livres. Para argumentar que de fato esse resultado se relaciona à
gravidade, vamos entender como ele se reduz ao que conhecemos em gravitação Newtoniana. Nós
definimos o limite Newtoniano por três exigências:
• As part́ıculas se movem devagar, com velocidades muito inferiores à da luz;
• O campo gravitacional é fraco, de forma que pode ser considerado uma perturbação do espaço-
tempo da Relatividade Restrita;
• O campo gravitacional é estático.
Vamos ver o que essas hipóteses implicam para a equação da geodésica. A primeira implica que as
componentes espaciais da quadrivelocidade são muito inferiores à componente temporal:
dxi
dτ
� dt
dτ
,
de modo que na equação da geodésica o termo dominante é:
d2xµ
dτ2
+ Γµ00
(
dt
dτ
)2
= 0.
Uma vez que o campo gravitacional é estático (∂0gµν = 0), os śımbolos de Christoffel relevantes
simplificam:
Γµ00 =
1
2
gµν(∂0gν0 + ∂0g0ν − ∂νg00) = −
1
2
gµν∂νg00.
Por fim, como o campo gravitacional é fraco, podemos escrever a métrica como sendo a métrica
de Minkowski mais uma perturbação pequena: gµν = ηµν + hµν , com |hµν | � 1. Da definição
da métrica inversa, gµνgνρ = δ
µ
ρ , temos que, em primeira ordem em h, gµν = ηµν + hµν , onde
hµν = ηµρηνλhρλ. Assim, em primeira ordem em h, vemos que
Γµ00 = −
1
2
ηµν∂νh00
e a equação da geodésica se torna
d2xµ
dτ2
=
1
2
ηµν∂νh00
(
dt
dτ
)2
.
Como ∂0h00 = 0 (o campo gravitacional é estático), a componente µ = 0 da equação acima é
simplesmente d2t/dτ2 = 0, ou seja, dt/dτ =cte. Para as componentes espaciais, temos:
d2xi
dt2
=
1
2
∂ih00,
onde convertemos a derivada de τ para t. Comparando essa expressão com a expressão Newtoniana,
d2xi
dt2
= −∂iΦ,
vemos que elas são compat́ıveis se h00 = −2Φ. Em outras palavras,
g00 = −(1 + 2Φ)
Vemos que é posśıvel recuperar as equações de movimento Newtonianas a partir da equação da
geodésica. Vemos também que a métrica está relacionada ao potencial Newtoniano, ao passo que
4-6
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os śımbolos de Christoffel estão relacionados com a força gravitacional. Falta encontrarmos a gene-
ralização da equação de Poisson, que determina o campo gravitacional a partir de uma distribuição
de matéria, o que nos levará às equações de Einstein. Mas, para isso, precisamos de uma nova
pausa para discutirmos mais a fundo o conceito de curvatura.
Para ler: Caṕıtulo 8 do Hartle (vejam os exemplos), caṕıtulo 3 do Carroll, até a seção 3.5, caṕıtulo
6 do Schutz, até a seção 6.4. Terminar lista 5.
	Geodésicas
	Geodésicas a partir de transporte paralelo
	Geodésicas a partir do princípio variacional
	Geodésicas a partir da descrição num referencial local de Lorentz
	Limite Newtoniano