Tensores e 1-formas na Relatividade

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Aula 7: 8 de abril 7-1
Curso: Relatividade 01/2019
Aula 7: 8 de abril
Profa. Raissa F. P. Mendes
7.22 Tensores
Para reformularmos a mecânica Newtoniana, introduzimos a noção de quadri-vetores, objetos in-
variantes por uma transformação que nos leva de um referencial inercial a outro (transformação
de Lorentz). Mas para escrevermos as leis do Eletromagnetismo ou da Hidrodinâmica (e, mais à
frente, da Gravitação!) de uma forma manifestamente compat́ıvel com o primeiro postulado da
Relatividade Especial, precisaremos generalizar a noção de vetores e introduzir o que chamamos de
tensores.
Um tensor do tipo ( 0N ) é uma função de N vetores nos reais, que é linear em cada argumento.
A notação ficará clara depois. Note que a nossa definição de produto escalar satisfaz os critérios para
um tensor do tipo ( 02 ), uma vez que ela associa a dois vetores
~A e ~B o número ~A · ~B. Linearidade
no primeiro argumento implica que
(α ~A) · ~B = α( ~A · ~B) e ( ~A+ ~B) · ~C = ~A · ~C + ~B · ~C
(ou seja, o mapa preserva as operações de adição e multiplicação por escalar). O mesmo vale para
o segundo argumento:
~A · (β ~B) = β( ~A · ~B) e ~A · ( ~B + ~C) = ~A · ~B + ~A · ~C.
Para deixar mais concreto qual é o novo objeto (o tensor métrico) que está sendo definido, vale a
pena introduzir uma outra notação para o produto escalar: se g é o tensor métrico, temos que
g( ~A, ~B) ≡ ~A · ~B.
Linearidade no primeiro argumento se traduz na condição
g(α ~A+ β ~B, ~C) = αg( ~A, ~C) + βg( ~B, ~C).
Antes de entrarmos em mais detalhes sobre o tensor definido dessa forma, vamos dar um passo
atrás e discutir um tipo ainda mais simples de tensor.
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7.22.1 1-formas
Um tensor do tipo ( 00 ) é simplesmente um número, e o campo tensorial do tipo (
0
0 ) corresponde
a uma função. A seguir, temos tensores do tipo ( 01 ), que são chamados de covetores, vetores
covariantes ou 1-formas. Vamos denotar uma 1-forma com um til: p̃. Temos que p̃( ~A) é um
número real. Linearidade implica que
p̃(α ~A+ β ~B) = αp̃( ~A) + βp̃( ~B).
Uma 1-forma é completamente especificada se dizemos qual é o resultado de sua atuação nos vetores
de base {~eα}. Por exemplo, se p̃(~e0) = 2, p̃(~e1) = −1, p̃(~e2) = 4 e p̃(~e3) = −3, a atuação dessa
1-forma num vetor arbitrário ~A = Aµ~eµ é o número real p̃( ~A) = 2A
0 −A1 + 4A2 − 3A3 (confira! ).
Podemos definir a operação de soma de 1-formas e multiplicação por escalar de modo que, se
s̃ = p̃ + q̃ e r̃ = αp̃, então s̃( ~A) = p̃( ~A) + q̃( ~A) e r̃( ~A) = αp̃( ~A). Com essas definições, podemos
mostrar que o espaço de 1-formas é fechado por adição e multiplicação por escalar, sendo, ele
mesmo, um espaço vetorial (no sentido abstrato do mesmo)17.
7.22.1.1 Base de 1-formas
O espaço de todas as 1-formas é um espaço vetorial quadri-dimensional (precisamos de 4 números
para especificar uma 1-forma arbitrária). Portanto, podemos escolher qualquer conjunto de 4 1-
formas linearmente independentes como base desse espaço. Será conveniente escolhermos uma base
{ω̃α} que está associada à base de vetores {~eα} da seguinte forma:
ω̃α(~eβ) = δ
α
β. (7.14)
Essa é chamada base dual. Vamos ver a consequência disso. Seja p̃ = pαω̃
α uma 1-forma, onde pα
são as componentes da 1-forma na base {ω̃α}18. Note que as componentes podem ser obtidas como
pα = p̃(~eα). A Eq. (7.14) implica que as componentes das 1-formas de base são ω̃
0 →O (1, 0, 0, 0),
etc. Seja ~A = Aβ~eβ um vetor arbitrário. Temos:
p̃( ~A) = pαω̃
α( ~A) = pαω̃
α(Aβ~eβ) = pαA
βω̃α(~eβ) = pαA
βδαβ = pαA
α = p0A
0 + p1A
1 + p2A
2 + p3A
3.
A operação p̃( ~A) é chamada de contração, e é mais fundamental em análise tensorial que o produto
escalar, porque só depende da 1-forma e do vetor (sem fazer referência a outros vetores).
Como as componentes de uma 1-forma se transformam? Temos que
pβ̄ = p̃(~eβ̄) = p̃(Λ
α
β̄~eα) = Λ
α
β̄ p̃(~eα) = Λ
α
β̄pα
As componentes da 1-forma se transformam da mesma forma que os vetores de base e de modo
inverso às componentes de vetores. Isso garante que a contração de uma 1-forma e um vetor seja
independente do sistema de coordenadas: Aᾱpβ̄ = A
βpβ. As 1-formas de base se transformam como
ω̃ᾱ = Λᾱβω̃
β, de modo inverso aos vetores de base e análogo às componentes dos vetores.
17O espaço de 1-formas é também chamado espaço vetorial dual, ou espaço cotangente.
18A notação é que vα indica as componentes de um vetor e vα indica as componentes de uma 1-forma.
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7.22.1.2 Interpretação geométrica
Embora possamos definir um vetor ou uma 1-forma por um conjunto de 4 componentes, a inter-
pretação geométrica desses objetos é bem diferente. Da mesma forma que podemos visualizar veto-
res como segmentos de reta orientados, a interpretação usual de 1-formas é como (hiper)-superf́ıcies
de ńıvel (digamos, com espaçamento unitário) de forma que o número produzido quando uma 1-
forma atua sobre um vetor é o número de superf́ıcies que ele perfura. Se essas são superf́ıcies
de ńıvel de uma função (exemplo: função x), a contração é simplesmente a diferença dos valores
da função nos pontos extremos do vetor. Note que, da mesma forma que um vetor representa
o comportamento local de uma curva (uma linha de mundo, no caso do vetor velocidade), uma
1-forma também representa a forma local das superf́ıcies de ńıvel (superf́ıcies planas e igualmente
espaçadas).
A 1-forma mais conhecida é o gradiente de uma função, que denotaremos d̃f . O gradiente é
uma 1-forma? Não é um vetor? Para falarmos de vetor gradiente (vamos defini-lo mais adi-
ante), precisamos de algo que seja perpendicular às superf́ıcies de ńıvel. Mas o conceito de
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“perpendicular” depende do conceito de produto escalar ou métrica, que é algo mais sofisticado
que 1-formas! Logo, o gradiente é mais bem representado por uma 1-forma, com componentes
d̃f →O (∂f/∂t, ∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z). As hipersuperf́ıcies que representam d̃f num ponto P são
as próprias superf́ıcies de ńıvel de f , exceto que planas e com mesmo espaçamento. Ou seja, elas
são as superf́ıcies de ńıvel da função linear que aproxima f numa vizinhança infinitesimal de P . E
qual é o resultado da ação de d̃f num vetor ~v? Vamos lembrar que podemos representar ~v de forma
que ~v →O dxµ(λ)/dλ, onde xµ(λ) = xµ0 + λ(x
µ
1 − x
µ
0 ). Temos, portanto:
d̃f(~v) =
∂f
∂t
dt
dλ
+
∂f
∂x
dx
dλ
+
∂f
∂y
dy
dλ
+
∂f
∂z
dz
dλ
=
df
dλ
∣∣∣∣
λ=0
.
Logo, d̃f é uma máquina linear para calcular a taxa de variação de f ao longo do vetor desejado
~v. O resultado, d̃f(~v), é, para um vetor suficientemente pequeno, apenas a diferença de f entre
a ponta e a cauda de ~v. (Note que d̃f é normal às superf́ıcies de f constante, no sentido que o
resultado da aplicação dessa 1-forma a vetores paralelos a tais superf́ıcies é zero.)
Note que as componentes do gradiente se transformam de fato como as componentes de uma 1-
forma. Sabemos como derivadas parciais se transformam: ∂f/∂xᾱ = (∂f/∂xβ)(∂xβ/∂xᾱ). Mas
xβ = Λβᾱx
ᾱ, onde Λβᾱ são constantes. Portanto, (df)ᾱ = (∂x
β/∂xᾱ)(df)β = Λ
β
ᾱ(df)β.
O entendimento de 1-formas como gradientes nos permite definir a base de 1-formas como ω̃α = d̃xα.
Note que as componentes de d̃xα são (d̃xα)β = ∂βx
α = δαβ , de acordo com a nossa definição de ω̃
α.
Notação para derivadas: Vamos escrever ∂f/∂x = ∂xf = f,x e ∂f/∂x
α = ∂αf = f,α.
Note que a “derivada exterior” ou “gradiente” de uma função, d̃f é uma versão mais rigorosa
do conceito de diferencial, df , que representa uma variação infinitesimal da função f , mas numa
direção não especificada. Se escolhemos um vetor infinitesimal no ponto P , obtemos d̃f(~v) =
vµ∂µf = df/dλ. Então d̃f , sem um vetor especificado, dá a variação da função em uma direção
arbitrária, ao passo que sua atuação num vetor dá o gradiente da função numa direção espećıfica.
Paracasa: Ler de 3.1 a 3.3 do Schutz. Fazer o exerćıcio 1 da Lista 3.
7-5
	Tensores
	1-formas
	Base de 1-formas
	Interpretação geométrica