Introdução à Relatividade e Espaço-Tempo Curvo

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Aula 2: 6 de maio 2-1
Curso: Relatividade 01/2019
Aula 2: 6 de maio
Profa. Raissa F. P. Mendes
Na aula passada, vimos que, na presença de um campo gravitacional uniforme, a Relatividade
Restrita continua válida se consideramos referenciais em queda livre como referenciais inerciais. No
entanto, não existem campos gravitacionais uniformes! As inomogeneidades do campo gravitacional
são o que o distinguem de um efeito puramente cinemático, e estão por trás da inexistência de
referenciais globalmente inerciais na presença de gravitação.
Vamos começar nossa jornada para entender que:
A gravitação é uma manifestação da curvatura do espaço-tempo, e essa curvatura é responsável
pela mudança na separação entre duas geodésicas (linha de mundo de part́ıcula em queda livre).
Precisaremos então dissecar essa frase e entender como quantificar a “separação” e a “taxa com
que ela muda” entre duas “geodésicas” num espaço-tempo “curvo”.
A “separação” vai ser descrita por um vetor e precisaremos revisar um pouco a nossa noção de
vetores. A “mudança da separação” envolve comparar vetores em pontos diferentes e derivar
vetores. Isso nos levará a introduzir a noção de transporte paralelo num espaço-tempo curvo, e a
noção de derivada covariante. Precisaremos também descrever “geodésicas”, as linhas de mundo
de part́ıculas em queda livre, e faremos isso com as ferramentas anteriores. Por fim, vamos poder
discutir o “desvio geodésico” e usá-lo para definir a “curvatura” do espaço-tempo. O último passo
é discutir como essa curvatura é produzida por uma certa distribuição de matéria e energia, e isso
nos levará às equações de Einstein. Prontos?!
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2.3 Descrição matemática do “espaço-tempo”
O espaço-tempo (a coleção de todos os eventos) é uma variedade quadri-dimensional dotada de uma
métrica Lorentziana1.
Variedades diferenciais: Uma variedade é um conceito fundamental em matemática e f́ısica. Ela
captura a ideia de que um espaço pode ser curvo e ter uma topologia diferente, mas, localmente,
ele pode se comportar como Rn. A variedade completa é constrúıda costurando essas pequenas
regiões “planas”. A dimensão da variedade é o número de parâmetros independentes necessários
para caracterizar cada ponto. Mais formalmente, uma variedade, M , n-dimensional real C∞ é um
conjunto com uma coleção de subconjuntos abertos {Oa} que satisfazem as propriedades:
• Cada p ∈M está em pelo menos um Oa: {Oa} cobre a variedade;
• Para cada a, existe um mapa bijetivo ψa : Oa → Ua, onde Ua é um conjunto aberto de Rn.
• Se quaisquer dois conjuntos Oa e Ob se intersectam, Oa∩Ob 6= ∅, podemos considerar o mapa
ψb ◦ ψ−1a que leva pontos em ψa[Oa ∩ Ob] ⊂ Ua ⊂ Rn a pontos em ψb[Oa ∩ Ob] ⊂ Ub ⊂ Rn.
Exigimos então que esse mapa seja infinitamente diferenciável. Cada mapa ψa é um sistema
de coordenadas.
Exemplos de variedades: toro, esfera, um conjunto de transformações cont́ınuas como rotações.
Não são variedades: dois cones ligados pelo vértice.
Intuitivamente, uma variedade é um espaço com coordenadas, que parece localmente Euclideano
mas globalmente pode se retorcer de quase qualquer forma (contanto que continuamente)! A
variedade não necessariamente tem, ela mesma, a estrutura de um espaço vetorial (como o espaço
Euclideano ou o espaço-tempo da Relatividade Restrita têm, por exemplo), sendo um conceito
bastante primitivo.
Vetores em variedades arbitrárias: Para os nossos objetivos, não será necessário desenvolver
a noção mais precisa de vetores numa variedade arbitrária.Podemos apenas manter a noção de
1Na Relatividade Restrita, o espaço-tempo é a variedade R4 com uma métrica Lorentziana plana.
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vetores como derivadas tangentes a curvas. Uma curva é um mapa γ : R→ M , e podemos definir
o vetor tangente à curva num ponto p como o objeto com componentes d(ψ ◦ γ)µ/dλ = dxµ/dλ
(onde λ é o parâmetro ao longo da curva).
Métrica: A métrica é um campo tensorial ( 02 ) simétrico e não degenerado
2. A métrica adiciona
estrutura à nossa variedade; mais à frente vamos ver que ela determina, por exemplo, a curvatura do
espaço-tempo. A variedade em si só é uma estrutura primitiva: é uma coleção de pontos “amorfa”,
que localmente parecem um espaço Euclideano, mas que não carregam em geral nenhuma noção
de distância entre si. A métrica dá “forma” a esse espaço.
Se a métrica é positivo-definida, ou seja, g( ~X, ~X) > 0 para todo ~X 6= ~0, a métrica é dita Riemani-
anna. Esse não é o caso em Relatividade! Em geral, podemos definir a assinatura da métrica como
sendo o número de auto-valores positivos menos o número de auto-valores negativos3. Se há só
um auto-valor negativo, a métrica é dita pseudo-Riemanniana, ou Lorentziana. Em Relatividade,
a assinatura da métrica será sign(g) = +2.
2.4 Álgebra tensorial num espaço curvo
O prinćıpio da equivalência nos diz que, num laboratório infinitesimal em queda livre, valem as leis
da Relatividade Restrita. Portanto, nesse referencial, podemos definir vetores, 1-formas e tensores,
independentemente da curvatura do espaço-tempo. Porém, embora referenciais em queda livre
sejam muito importantes conceitualmente (vamos discutir mais sobre isso à frente), muitas vezes
o espaço-tempo é mais convenientemente descrito por um sistema de coordenadas global e, como
a transformação para referenciais em queda livre varia ponto a ponto, pode não ser conveniente
realizar cálculos apenas neles. Vamos ilustrar esse ponto com o exemplo da esfera.
2Não degenerado significa que se g( ~X, ~Y ) = 0 para todo ~Y , então ~X = 0. Isso significa que num certo sistema de
coordenadas, a matriz que representa a métria deve ser inverśıvel. Outra forma equivalente é que essa matriz não
deve possuir autovalores nulos.
3Note que toda matriz simétrica pode ser diagonalizada.
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Exemplo: Na superf́ıcie da esfera, podemos introduzir, na vizinhança de qualquer ponto, um
sistema de coordenadas cartesiano, {x, y}, ou seja, localmente a distância entre dois pontos quais-
quer é dada por ds2 = dx2 + dy2. No entanto, essas coordenadas só cobrem uma vizinhança do
evento de base e o sistema de coordenadas localmente cartesiano muda de ponto a ponto. Para
muitos propósitos, é mais útil descrever a esfera (de circunferência 2πa) com coordenadas globais
θ ∈ [0, π] e φ ∈ [0, 2π). Nesse caso, sabemos que a distância entre dois pontos próximos é dada
por ds2 = a2(dθ2 + sin2 θdφ2), e isso vale em qualquer lugar da esfera. Como passamos para um
sistema de coordenadas cartesiano local? Vamos considerar o pólo norte, θ = 0, por exemplo.
Podemos definir coordenadas x = aθ cosφ e y = aθ sinφ. O pólo norte corresponde a x = y = 0.
Substituindo a transformação inversa no elemento de linha em termos das coordenadas polares e
expandindo em torno de x = y = 0, vemos que ele se reduz a ds2 = dx2 + dy2 +O(x2, y2, xy). No
pólo sul, a transformação de coordenadas seria x′ = a(θ − π) cosφ e y′ = a(θ − π) sinφ. É claro
que podemos decompor um vetor qualquer nas bases locais {~ex, ~ey} e {~ex′ , ~ey′}, mas será mais útil
definirmos uma base {~eθ, ~eφ} associada às coordenadas globais no nosso espaço!
Então, antes de continuarmos para espaços quaisquer, vamos investigar o efeito de descrevermos
quantidades tensoriais em coordenadas arbitrárias, curviĺıneas. Vamos começar com um caso bem
simples: o plano em coordenadas polares!
2.4.1 O plano em coordenadas polares
Considere o plano Euclideano. Podemos descrevê-lo em coordenadas cartesianas ou polares, relaci-
onadas por x = r cos θ e y = r sin θ, ou r = (x2 + y2)1/2 e θ = arctan(y/x). Nosso objetivo é definir
bases de vetores {~er, ~eθ} e 1-formas {d̃r, d̃θ} associadas a essas coordenadas, e investigar como as
componentes de um vetor ou 1-forma (ou tensor) nessas bases se relacionam com aqueles nas bases
cartesianas {~ex, ~ey} e {d̃x, d̃y} 4.Vamos começar pelas 1-formas. Seja um campo escalar φ. Definimos a 1-forma gradiente d̃φ como
o objeto com componentes d̃φ→car (∂φ/∂x, ∂φ/∂y) em coordenadas cartesianas. Da mesma forma,
no sistema de coordenadas (r, θ), essa 1-forma tem componentes d̃φ →pol (∂rφ, ∂θφ). A base de
1-formas tem, naturalmente, componentes d̃r →pol (1, 0) e d̃θ →pol (0, 1). Como as componentes de
uma 1-forma em coordenadas polares se relaciona com as componentes cartesianas? Temos, pela
lei de transformação das derivadas parciais, ∂φ∂ξ =
∂x
∂ξ
∂φ
∂x +
∂y
∂ξ
∂φ
∂y para ξ igual a r ou θ. Ou seja,
podemos escrever ∂a′φ = Λ
b
a′∂bφ, onde os ı́ndices sem apóstrofo se referem a (x, y) e os ı́ndices com
apóstrofo a (r, θ), e definimos Λba′ ≡ ∂a′xb. Explicitamente,
[Λba′ ] =
[
∂x/∂r ∂x/∂θ
∂y/∂r ∂y/∂θ
]
=
[
cos θ −r sin θ
sin θ r cos θ
]
.
Como as 1-formas de base se transformam? É fácil mostrar que, se a base de 1-formas se transforma
do jeito “natural”, por exemplo, d̃r = ∂xrd̃x + ∂yrd̃y (ou seja, d̃x
a′ = Λa
′
bd̃x
b, com Λa
′
b = ∂bx
a′),
então d̃φ = ∂aφd̃x
a = ∂a′φd̃x
a′ , que reflete a invariância da 1-forma sob transformações de co-
ordenadas. Isso é válido pois Λab′Λ
b′
c = δ
a
b , que pode ser visto no caso da transformação entre
4Essa discussão poderia ser feita para uma transformação arbitrária, para coordenadas ξ(x, y) e η(x, y). A única
exigência é que o Jacobiano da transformação não se anule, de modo que ela seja inverśıvel.
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coordenadas cartesianas e polares da seguinte forma:
[Λab′ ][Λ
b′
c] =
( ∂x
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂r
∂y
∂θ
)( ∂r
∂x
∂r
∂y
∂θ
∂x
∂θ
∂y
)
=
(
∂x
∂r
∂r
∂x +
∂x
∂θ
∂θ
∂x
∂x
∂r
∂r
∂y +
∂x
∂θ
∂θ
∂y
∂y
∂r
∂r
∂x +
∂y
∂θ
∂θ
∂x
∂y
∂r
∂r
∂y +
∂y
∂θ
∂θ
∂y
)
=
(
∂x
∂x
∂x
∂y
∂y
∂x
∂y
∂y
)
=
(
1 0
0 1
)
.
Explicitamente, Λa
′
b tem a forma:
[Λa
′
b] =
[
∂r/∂x ∂r/∂y
∂θ/∂x ∂θ/∂y
]
=
[
cos θ sin θ
−r−1 sin θ r−1 cos θ
]
.
O mesmo racioćınio acima pode ser feito para vetores. Seja uma curva {r = f(s), θ = g(s), a ≤
s ≤ b}. O vetor tangente à curva, ~V , tem componentes (dr/ds, dθ/ds) em coordenadas polares. As
componentes dos vetores se transformam como dx
a′
ds = Λ
a′
b
dxb
ds
5. Se a base de vetores se transforma
da forma natural, ~ea′ = Λ
b
a′~eb, então o vetor é invariante,
~V = V a~ea = V
a′~ea′ . Note que os
vetores e 1-formas de base em coordenadas polares mudam de direção ponto a ponto. Além disso,
a magnitude dos vetores pode mudar ponto a ponto6.
A partir da base de vetores e 1-formas, podemos construir bases para tensores de todos os tipos.
Por exemplo, podemos escrever a métrica como g = gabd̃x
a ⊗ d̃xb. Em coordenadas cartesianas,
temos gab = g(~ea, ~eb) = δab. Quais são os componentes da métrica em coordenadas polares? Serão
ga′b′ = g(~ea′ , ~eb′) = Λ
a
a′Λ
b
b′δab. Explicitamente,
[ga′b′ ] =
[
1 0
0 r2
]
.
O deslocamento infinitesimal entre dois pontos próximos é dl2 = dr2 + r2dθ2.
A métrica inversa tem componentes grr = 1, grθ = 0 e gθθ = 1/r2. A métrica e a métrica inversa
permitem que façamos um mapeamento entre 1-formas e vetores. Por exemplo, se φ é um campo
escalar e d̃φ é a 1-forma gradiente descrita anteriormente, então podemos escrever o vetor gradiente
como ~dφ→pol ga
′b′∂a′φ = (∂rφ, ∂θφ/r
2).
5É fácil verificar que outro vetor t́ıpico, o “vetor deslocamento”, com componentes cartesianas (∆x,∆y) e com-
ponentes polares (∆r,∆θ), se transforma dessa mesma maneira.
6O vetor ~eθ, tendo componentes (0, 1), representa um deslocamento de 1 radiano, que é maior para raios grandes
que pequenos.
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2.4.2 O espaço-tempo de Minkowski em coordenadas arbitrárias
Voltemos ao espaço-tempo! Até agora, restringimos o nosso estudo de Relatividade Restrita a
sistemas de coordenadas em que o tempo é medido por observadores inerciais e as coordenadas
espaciais compõem um sistema cartesiano. Nessa classe de sistemas de coordenadas, a métrica
tem componentes ηαβ = diag(−1, 1, 1, 1). Gostaŕıamos de permitir transformações arbitrárias de
coordenadas espaço-temporais no espaço-tempo da Relatividade Restrita (que chamaremos daqui
para frente também de espaço-tempo de Minkowski). Nosso interlúdio no plano mostra que, num
sistema de coordenadas arbitrário, (i) as componentes da métrica, que são ηαβ num referencial
inercial (cartesiano), serão dadas por gα′β′ = g(~eα′ , ~eβ′) num referencial arbitrário; (ii) a métrica
inversa, com componentes gα
′β′ , é definida por gα′β′g
β′γ′ = δγ
′
α′ ; (iii) a métrica e a métrica in-
versa mapeiam vetores em 1-formas, por exemplo Vα′ = gα′β′V
β′ , sendo que gα′β′ pode agora ser
uma função complicada da posição; (iv) a matriz de transformação de Lorentz, que permitia que
transitássemos entre referenciais inerciais, é substitúıda por uma matriz de transformação geral:
Λα
′
β = ∂x
α′/∂xβ.
2.5 O espaço-tempo é localmente plano
Da discussão anterior, podemos ser levados ao seguinte questionamento: por uma transformação
arbitrária de coordenadas, a métrica η = diag(−1, 1, 1, 1) do espaço-tempo de Minkowski é levada
em
gµ′ν′ = Λ
α
µ′Λ
β
ν′ηαβ,
onde Λαµ′ = ∂x
α/∂xµ
′
. Por outro lado, definimos um espaço-tempo qualquer como uma variedade
dotada de métrica, onde a métrica é um campo tensorial simétrico. É natural então perguntarmos:
qualquer campo tensorial 4x4 simétrico pode ser escrito da forma acima? Se a resposta a essa
pergunta fosse afirmativa, isso significaria que em qualquer espaço-tempo podeŕıamos definir um
sistema de coordenadas inercial global em que a métrica fosse η. Mas a nossa discussão anterior
nos leva a crer que isso não é posśıvel! De fato, o campo descrito por Λ não é o mais geral posśıvel,
pois suas componentes precisam satisfazer a condição de integrabilidade
∂γΛ
α′
β =
∂2xα
′
∂xγ∂xβ
=
∂2xα
′
∂xβ∂xγ
= ∂βΛ
α′
γ .
O objetivo desta seção é mostrar que:
Dada uma métrica genérica com componentes gαβ, podemos escolher uma transformação de
coordenadas xα(xµ̂) de forma que, nas vizinhanças de um ponto P ,
gαβ(P ) = ηαβ, ∂γgαβ(P ) = 0
Note que em geral teremos ∂µ∂νgαβ 6= 0.
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Ou seja, a métrica perto de P é aproximadamente a da Relatividade Restrita, com as diferenças
sendo de segunda ordem nas coordenadas. Esse sistema de coordenadas é o que chamaremos de
“sistema inercial local” ou “referencial local de Lorentz”.
Ideia da prova: Sob a mudança de coordenadas xα(xµ̂), as componentes da métrica se transfor-
mam como
gµ̂ν̂ = Λ
α
µ̂Λ
β
ν̂gαβ (2.1)
A ideia é expandir os dois lados da equação acima e usar a nossa liberdade na escolha de Λ para
forçar gµ̂ν̂ a ser o mais próximo posśıvel de η. Temos, para g:
gαβ(x) = gαβ(x0) + (x
γ̂ − xγ̂0)∂γ̂gαβ|P +
1
2
(xγ̂ − xγ̂0)(x
λ̂ − xλ̂0)∂λ̂∂γ̂gαβ|P + · · ·
∼ gP + (∂̂g)P x̂+ (∂̂2g)P x̂x̂
e para Λ:
Λαµ̂(x) = Λ
α
µ̂(x0) + (x
γ̂ − xγ̂0)∂γ̂Λ
α
µ̂|P +
1
2
(xγ̂ − xγ̂0)(x
λ̂ − xλ̂0)∂λ̂∂γ̂Λ
α
µ̂|P + · · ·
=
∂xα
∂xµ̄
|P + (xγ̂ − xγ̂0)
∂2xα
∂xγ̄∂xµ̄
|P +
1
2
(xγ̂ − xγ̂0)(x
λ̂ − xλ̂0)
∂3xα
∂xλ̄∂xγ̄xµ̄
|P + · · ·
∼ ∂x
∂x̂
|P +
∂2x
∂x̂∂x̂
|P x̂+
∂3x
∂x̂∂x̂∂x̂
|P x̂x̂
As últimas linhas nas expressões acima usam uma notação esquemática, suficientente para o argu-
mento a seguir. Do lado esquerdo da equação (2.1), temos ĝP + (∂̂ĝ)|P x̂ + (∂̂2ĝ)P x̂x̂. A equação
(2.1) fica:
ĝP + (∂̂ĝ)|P x̂+ (∂̂2ĝ)P x̂x̂ ∼
(
g
∂x
∂x̂
∂x
∂x̂
)
P
+
(
g
∂x
∂x̂
∂2x
∂x̂∂x̂
+ ∂̂g
∂x
∂x̂
∂x
∂x̂
)
P
x̂
+
(
g
∂x
∂x̂
∂3x
∂x̂∂x̂∂x̂
+ g
∂2x
∂x̂∂x̂
∂2x
∂x̂∂x̂
+ ∂̂g
∂2x
∂x̂∂x̂
∂x
∂x̂
+ ∂̂2g
∂x
∂x̂
∂x
∂x̂
)
P
x̂x̂
É posśıvel que:
• gµ̂ν̂ |P = ηµ̂ν̂?
Sim! Esse é um conjunto de 10 equações para as 16 incógnitas Λαµ̂|P = ∂xα/∂xµ̂|P . Note que
seis elementos de Λ|P não são especificados por essa condição. Esses elementos representam
as transformações que preservam a forma da métrica de Minkowski, e podem ser vistos como
os três ângulos que descrevem uma rotação genérica e as três componentes da velocidadeque
descrevem um boost arbitrário.
• ∂µ̂gα̂β̂|P = 0?
Sim! Esse é um conjunto de 40 equações (note que a métrica tem 10 componentes indepen-
dentes) para 40 incógnitas: {∂2xα/∂xγ̂∂xλ̂} (note que esse é um objeto simétrico em γ̂ e λ̂).
Podemos resolvê-lo!
• ∂µ̂∂λ̂gα̂β̂|P = 0?
Não! Esse é um conjunto de 100 equações (10 x 10, por conta da simetria em α̂ e β̂ e em µ̂ e
λ̂) para 80 = 4 x 20 incógnitas {∂3xα/∂xγ̂∂xλ̂∂xρ̂} (note que existe simetria nos três últimos
ı́ndices7). Não é posśıvel anular as derivadas segundas da métrica completamente: sobram 20
componentes. Veremos mais à frente que essas componentes restantes especificam o campo
gravitacional, determinando o tensor de curvatura.
7Quantas componentes independentes um tensor Tabc totalmente simétrico possui? Existem 4 componentes da
forma Taaa. Além disso, existem 4x3 componentes da forma Taab, sendo 4 valores posśıveis para a e 3 para b, já
que não queremos os três ı́ndices repetidos. Note que Taab = Taba = Tbaa. Por fim, existem 4x3x2/3! componentes
da forma Tabc, correspondendo a 4 formas de escolher a, 3 de escolher b e 2 de escolher c, dividido pelo número
de permutações posśıveis desses ı́ndices, que correspondem ao mesmo objeto. Ao todo, temos 4 + 12 + 4 = 20
componentes independentes.
2-8
	Descrição matemática do ``espaço-tempo''
	Álgebra tensorial num espaço curvo
	O plano em coordenadas polares
	O espaço-tempo de Minkowski em coordenadas arbitrárias
	O espaço-tempo é localmente plano