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Curso: Relatividade 01/2019
Aula 1: 30 de abril
Profa. Raissa F. P. Mendes
You consider the transition to special relativity as the most essential thought of relativity, not the
transition to general relativity. I consider the reverse to be correct. I see the most essential thing in
the overcoming of the inertial system, a thing that acts upon all processes but undergoes no reaction.
This concept is, in principle, no better than that of the center of the universe in Aristotelian physics.
- Einstein para Georg Jaffe (1954).
1.1 Prinćıpios da Relatividade Geral
Não é dif́ıcil ver que as equações de Newton para a gravitação,
d2xi/dt2 = −∂Φ/∂xi
∇2Φ = 4πGρ
não são invariantes por transformações de Lorentz e não obedecem ao primeiro postulado da Rela-
tividade Restrita. Além disso, a presença do Laplaciano (em vez do d’Alambertiano das equações
de onda, por exemplo) implica que o campo gravitacional Φ precisa reagir instantaneamente a
mudanças na densidade de massa, ρ. O campo gravitacional se propaga com velocidade infinita.
Existem generalizações relativ́ısticas mais ou menos óbvias dessas equações (como vocês podem ver
nos exećıcios 7.1, 7.2, 7.3 do Gravitation! ), mas todas elas têm suas limitações e, na melhor das
hipóteses, não concordam com as observações.
1.2 Prinćıpio da equivalência
Um dos prinćıpios que norteou Einstein na construção da Relatividade Geral foi o Prinćıpio da Equi-
valência. Existem várias formulações desse prinćıpio. A formulação mais antiga, hoje conhecida,
como prinćıpio da equivalência fraco (ou de Galileu), diz respeito à igualdade entre massa inercial
e massa gravitacional. Por um lado, a segunda lei de Newton contém um parâmetro relacionado à
inércia do corpo, que regula a aceleração que o corpo descreve quando sujeito a uma certa força:
F = mia. Essa massa inercial tem um caráter universal e é a mesma independente da natureza
da força que atua sobre o objeto. Por outro lado, a lei da gravitação universal afirma que a força
gravitacional sobre um corpo é proporcional ao gradiente do potencial gravitacional: FG = mg∇Φ.
A “massa gravitacional” que aparece aqui cumpre o papel de uma “carga” do corpo com respeito
à interação gravitacional (comparar com FE = qE). Fisicamente, mg e mi têm significados f́ısicos
muito diferentes. Experimentalmente (como observado por Galileu e verificado com alta precisão
por experimentos modernos de balança de torção), elas são iguais (ou extremamente próximas)!
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A igualdade entre a massa inercial e a massa gravitacional implica que todas as part́ıculas sentem
um campo gravitacional da mesma forma, independentemente da sua constituição interna. Em
particular, isso implica que um observador realizando experimentos de Mecânica em um referencial
em queda livre não é capaz de detectar a presença de um campo gravitacional. Para ele, part́ıculas
livres permanecem em repouso ou seguem movimentos retiĺıneos e uniformes:
mi
d2x
dt2
= mgg
y=y(x)−−−−−→
mi=mg
d2y
dt2
= 0,
onde y = x− gt2/2.
Einstein elevou essa observação a um prinćıpio válido para qualquer experimento f́ısico, não só
mecânico, mas eletromagnético, etc. De acordo com o prinćıpio da equivalência de Einstein “em
regiões suficientemente pequenas do espaço-tempo, as leis da F́ısica se reduzem às leis da relativi-
dade especial”; o verso dessa afirmação é que é imposśıvel distinguir um campo gravitacional de
um referencial acelerado por meio de experimentos locais.
Figura 1.1: É imposśıvel distinguir localmente um referencial inercial (na ausência de gravitação)
de um referencial em queda livre num campo gravitacional. Isso é posśıvel apenas se temos acesso
a regiões maiores do espaço-tempo, como veremos à frente.
Figura 1.2: É imposśıvel distinguir localmente um referencial acelerado de um campo gravitacional
(pois ele sempre parece localmente uniforme).
Uma implicação interessante do prinćıpio da equivalência diz respeito a como a propagação da luz é
afetada por um campo gravitacional. Vamos discutir isso a seguir. Historicamente, Einstein chegou
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à conclusão de que a luz deveria ser afetada por um campo gravitacional da forma descrita abaixo
por argumentos envolvendo conservação de energia (como exposto no Schutz, por exemplo). Isso
serviu para que ele ganhasse confiança de que o prinćıpio da equivalência estava correto. Por outro
lado, aqui vamos discutir esse exemplo como uma consequência do prinćıpio da equivalência, que
está sujeito ao escrut́ınio experimental. O fato de que experimentos desse tipo têm sido feitos há
décadas e se conformam com as previsões teóricas baseadas no prinćıpio da equivalência serve como
verificação experimental desse prinćıpio. Além disso, a situação descrita abaixo começa a apontar
na direção de como reconciliar a gravitação e a Relatividade Restrita.
1.2.1 Desvio para o vermelho gravitacional
Para começarmos a entender as implicações do prinćıpio da equivalência, vamos considerar uma
de suas previsões clássicas, que é o desvio para o vermelho (redshift) gravitacional. Considere
o experimento mental ilustrado abaixo. Uma experimentalista A está localizada a uma altura
h do experimentalista B em um campo gravitacional ~g (poderiam estar, por exemplo, na base e
no topo de uma torre na superf́ıcie da Terra, ou dentro de um foguete, como mostra a figura).
A experimentalista A emite sinais de luz a intervalos iguais ∆τA como medido pelo seu relógio.
Queremos responder: qual é o intervalo ∆τB entre os sinais recebidos por B de acordo com seu
relógio?
Vamos analisar a situação usando o prinćıpio da equivalência. Esse prinćıpio implica que a resposta
à nossa pergunta deveria ser a mesma se o experimento fosse realizado não na superf́ıcie da Terra,
mas no espaço, se o foguete acelerasse com aceleração ~g. Por causa da aceleração, B receberia os
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sinais mais rapidamente do que eles seriam emitidos. O prinćıpio da equivalência implica que o
mesmo valerá se o foguete estiver em repouso num campo gravitacional uniforme.
Para ver isso quantitativamente, vamos analisar a situação levando em conta apenas termos de
primeira ordem em v/c e gh/c2: desprezando termos de ordem v2/c2, estamos ignorando, por
exemplo, os efeitos de dilatação temporal e contração espacial; assumindo que (gh/c2)2 é despreźıvel,
estamos imaginando que o foguete não acelera a velocidades relativ́ısticas no tempo que demora
para a luz ir do topo à base. Com essas hipóteses, a situação pode ser analisada usando mecânica
Newtoniana.
A posição de B em função do tempo é dada por zB(t) = gt
2/2. A posição de A é dada por
zA(t) = h+ gt
2/2. Considere a emissão de dois pulsos de luz sucessivos por A: em t = 0 o primeiro
pulso é emitido, em ∆τA o segundo pulso é emitido; em t1 o primeiro pulso é recebido e em t1 +∆τB
o segundo pulso é recebido. A distância que o primeiro pulso percorre é zA(0) − zB(0) = ct1.
A distância percorrida pelo segundo pulso é menor, e é dada por zA(∆τA) − zB(t1 + ∆τB) =
c(t1 + ∆τB −∆τA). Inserindo as expressões para zA(t) e zB(t) e mantendo apenas termos lineares
em ∆τA, ∆τB e gh/c
2, encontramos que
∆τB = ∆τA(1− gh/c2).
O intervalo de tempo em que os pulsos são recebidos é menor por um fator (1−gh/c2) que o intervalo
em que são emitidos. O prinćıpio da equivalência nos diz que o mesmo efeito deve acontecer num
campo gravitacional uniforme! Como gh é a diferença entre o potencial gravitacional de A e B,
temos que a taxa de recebimento dos sinais é (1 + (ΦA − ΦB)/c2) da taxa de emissão.
A primeira confirmação acurada desse efeito foi feita por Pound, Rebka e Snider em 1960 e 1965
e experimentos cada vez mais precisos vêm sendo feitos até hoje. Para mais informações, ver o
excelente artigo de revisão “The Confrontation between General Relativity and Experiment”,de
C. Will.
Observações:
• As cristas de uma onda podem ser pensadas como uma série de sinais emitidos com um
peŕıodo ∆τ . Podemos então refrasear o resultado acima em termos da frequência ω = 2π/∆τ .
Obtemos que ωB = (1+(ΦA−ΦB)/c2)ωA: a frequência da luz aumenta (se desvia para o azul)
na medida que ela penetra num campo gravitacional, e diminui (se desvia para o vermelho)
na medida em que a luz escala o campo gravitacional.
[Obs.: Observando as linhas de emissão conhecidas de certas estrelas e medindo o desvio para
o vermelho do sinal observado, temos acesso à informação sobre o potencial gravitacional na
superf́ıcie da estrela e, consequentemente, sobre sua compacidade.]
• O nosso coração é uma espécie de relógio. Como medido por quem está no chão, o coração de
quem está no quarto andar bate mais vezes do que o coração que está no chão por um fator
(1− gh/c2)!
• Tanto o efeito de dilatação temporal quanto o efeito de desvio para o vermelho são relevantes
para o Sistema de Posicionamento Global (GPS). As correções devidas aos dois efeitos são da
mesma ordem!
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1.2.2 Implicações do prinćıpio da equivalência
Um ingrediente importante em Relatividade Restrita é a existência de referenciais inerciais que
preenchem todo o espaço-tempo: todo o espaço-tempo pode ser coberto pelo sistema de coordenadas
de um único referencial inercial, um conjunto de observadores que se mantêm em repouso em relação
à origem e cujos relógios batem na mesma taxa que o relógio de quem está na origem. Vamos
argumentar que, num campo gravitacional não uniforme, é imposśıvel construir um referencial
inercial global desse tipo.
Se a Relatividade Restrita fosse válida na presença de um campo gravitacional, podeŕıamos imaginar
(a first guess! ) que o referencial do centro da Terra seria um referencial inercial. Considere o
experimento anterior, representado no diagrama espaço-temporal abaixo. O topo e a base do
foguete têm linhas de mundo verticais, já que estão em repouso. A luz é representada como uma
linha que pode ser torta, para acomodar a possibilidade de que a gravitação possa agir na luz de
uma forma ainda desconhecida. No entanto, não importa como a luz seja afetada pela gravitação,
ela deve ser afetada da mesma forma nos dois pulsos sucessivos, já que estamos assumindo que o
campo gravitacional não muda com o tempo. Portanto, os dois caminhos precisam ser congruentes,
e isso implica que ∆τA = ∆τB. Mas vimos que esse não é o caso! O referencial associado ao centro
da Terra não pode ser considerado um referencial inercial.
Existência de referenciais (localmente) inerciais: Isso significa que não existem referenciais
inerciais na presença de gravitação? Vamos argumentar que eles existem, mas num sentido limitado.
O prinćıpio da equivalência implica que todos os corpos reagem à força gravitacional do mesmo
modo, independentemente da sua massa ou estrutura interna. Com todas as outras forças, alguns
objetos sentem aquela força, outros não, de forma que é posśıvel usar a trajetória de uma part́ıcula
não afetada pela força para determinar um referencial inercial. No entanto, como a gravitação atua
em todos os objetos (inclusive, como vimos, a luz!), não existe uma classe de objetos “livres de
gravitação”, que possa ser usada para definir um referencial inercial. A influência da gravitação é
universal. No entanto, o prinćıpio da equivalência de Einstein sugere que existe sim um referencial
em que part́ıculas mantêm a mesma velocidade: um referencial em queda livre! Nas palavras dele:
E ali então me ocorreu o pensamento mais feliz da minha vida, da seguinte forma. O campo gra-
vitacional tem apenas uma existência relativa... Pois para um observador caindo livremente do
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telhado de uma casa não existe gravitação, pelo menos nas sua vizinhança imediata. De fato, se
o observador deixa cair alguns corpos, estes permanecem em repouso ou se movem com velocidade
constante em relação a ele, independentemente da sua natureza f́ısica ou qúımica particular (des-
prezando, é claro, a resistência do ar). O observador tem o direito de interpretar seu estado como
sendo ‘de repouso’.
Isso sugere que podemos definir um referencial (localmente) inercial como um referencial em queda
livre num campo gravitacional. Vamos analisar o experimento descrito acima nesse referencial!
Considere a figura abaixo, que descreve o experimento do ponto de vista de um observador em
queda livre que coincide com A no instante t = 0.
P1
P2
~0.41
0.5
P3
P4
AB
y
t
Já vimos como observadores acelerados são descritos em Relatividade Restrita: sua linha de mundo
é dada por t = a−1 sinh(aτ), x = a−1 cosh(aτ). Para pequenas acelerações, temos simplesmente
t = a−1(aτ +O(a3τ3)) ≈ τ e x = a−1[1+a2τ2/2+O(a4τ4)] ≈ a−1 +aτ2/2, que é o comportamento
Newtoniano. Temos, portanto, para A, yA(t) = at
2/2 e para B, yB(t) = −h+ at2/2. Agora vamos
supor que a Relatividade Restrita vale nesse referencial e responder: se A emite raios de luz a
intervalos ∆τA, qual é o intervalo ∆τB em que B os recebe? As coordenadas do evento P1 são
(0, 0). Usando o fato de que o intervalo espaço-temporal entre P1 e P3 é tipo luz (∆s13 = 0),
encontramos que t3 ≈ h − at23/2, ou seja, t3 ≈ h − h2a/2 + · · · . As coordenadas de P2 são
(∆tA, a∆t
2
A/2). Considerando agora que ∆s24 = 0, temos que t4 − t2 = −(−h + at24/2 − at22/2).
Calculando ∆tB = t4 − t3 e mantendo apenas os termos lineares na aceleração e em ∆tA, obtemos
que ∆tB = (1 − ha)∆tA, o mesmo resultado que t́ınhamos antes! A situação pode ser descrita
dentro do escopo da Relatividade Restrita se consideramos um referencial em queda livre como
sendo um referencial inercial.
Inexistência de referenciais inerciais globais: Será então que é só isso: na presença de gra-
vitação devemos considerar referenciais em queda livre como referenciais inerciais? Não é tão
simples assim. Devido às inomogeneidades do campo gravitacional, se começarmos numa trajetória
em queda livre e construirmos uma estrutura ŕıgida de réguas e relógios, em algum ponto objetos
em queda livre parecerão estar acelerando com respeito a esse referencial. Na figura abaixo, o refe-
rencial está em queda livre em B, mas em A e C ele não acompanha a trajetória de uma part́ıcula
em queda livre. Além disso, como a aceleração da gravidade muda com a altura, o referencial não
será inercial se estendido a uma distância vertical muito grande. Tudo isso é devido às inomogenei-
dades do campo gravitacional. Se elas pudessem ser desprezadas, então um referencial em queda
livre poderia ser considerado como inercial.
Agora, qualquer campo gravitacional pode ser considerado como uniforme numa região suficiente-
mente pequena do espaço-tempo, então sempre podemos considerar referenciais localmente inerciais
(análogos ao RIMC dos fluidos). A solução é guardar a noção de referenciais inerciais, mas aban-
donar a ideia de que eles podem ser estendidos por todo o espaço-tempo. De fato, dependendo
do campo gravitacional, esses referenciais localmente inerciais serão “colados” de formas distintas.
Veremos que essa “colagem” está diretamente associada à geometria e a noções como curvatura do
espaço-tempo!
O prinćıpio da equivalência nos leva à ideia de que a gravitação não é uma “força”, já que força
é algo que gera aceleração e corpos sujeitos apenas à influência de um campo gravitacional são
aproximadamente inerciais. De fato, veremos que, ao contrário das outras interações fundamentais,
que envolvem certos campos que se propagam no espaço-tempo, o campo dinâmico que descreverá
a gravitação é o tensor métrico que descreve a estrutura do próprio espaço-tempo. A gravitação é
bastante especial!
Para ler: Caṕıtulo 6 do Hartle; 5.1 do Schutz; 7 do Misner-Thorne-Wheeler.
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	Princípios da Relatividade Geral
	Princípio da equivalênciaDesvio para o vermelho gravitacional
	Implicações do princípio da equivalência