EXERCICIOS RESOLVIDOS MATEMATICA

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MATEMATICA – EXERCICIOS
1- Em uma pesquisa com 100 estudantes, constatou-se que 60 estudantes leem o jornal A, 50 leem o jornal B e 15 pessoas não leem jornal. Quantos estudantes leem ambos os jornais?
R: Total de alunos que leem jornal = 100 - 15 = 85
A U B = A + B -(A interseção B) = 85 => 60 + 50 - (A interseção B) = 85 => 110 - (A interseção B) = 85 => (A interseção B) = 110 - 85 = 25 alunos
	2- Usando as propriedades com potências de mesma base, transformem em uma só potência as expressões e calcule: ( 1 / 2 )7  /  ( 1 / 2 )3  = ?
		
R: Resultado: ( 1 / 2 )7 - 3 = 4
3- Quais são os resultados naturais da inequação a seguir?
2x - 18 > 4x  - 38
R: 2x - 4x > - 38 + 18
- 2x > - 20 (- 1)
2x < 20
x < 20/2
x < 10
Lembre-se de que os valores naturais menores que 10 são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O número 10 não é menor que 10, logo, ele não pertence ao conjunto de soluções da inequação.
4- Um aparelho de TV custava R$ 2.500,00. A loja está dando um desconto para pagamento a vista. O preço do aparelho de TV está sendo vendido por R$ 2.000,00. O percentual de desconto é de:
R: 2500 ---- 100
2000 ----- x 
2500x = 200000
x = 200000/2500 = 80% 
80% foi o valor pago. O desconto é de 100% - 80% = 20%
5- Numa determinada localidade, o preço da energia elétrica consumida é a soma das seguintes parcelas:parcela fixa de R$ 10,00; parcela variável que depende do número de quilowatts-hora (kw/h) consumidos; cada kw/h custa R$ 0,30. Determine a) o valor da conta num mês em que o consumo foi de 125 kwh; b) a quantidade de quilowatts-hora (kw/h) consumidos num mês em que o cliente pagou R$46,30.
R: Numa determinada localidade, o preço da energia elétrica consumida é a soma das seguintes parcelas:parcela fixa de R$ 10,00; parcela variável que depende do número de quilowatts-hora (kw/h) consumidos; cada kw/h custa R$ 0,30. Determine a) o valor da conta num mês em que o consumo foi de 125 kwh; b) a quantidade de quilowatts-hora (kw/h) consumidos num mês em que o cliente pagou R$46,30.
a)Sendo   C  o valor da conta  e    x  o nº número de quilowatts-hora consumidos temos
C= 10 + 0,30.x  sendo x = 125, temos  C = 10 + 0,30. 125 = 10 + 37,5=  R$ 47,5
b) Sendo C = 46,30 o valor de x é
46,30 = 10 + 0,30.x , resolvendo a equação temos: 36,30 =0,30.x o que nos dá x = 121 quilowatts-hora
6- A função real de variável real, definida por f (x) = (3 - 2a).x + 2, é crescente quando:
R: Para que a função seja crescente, é necessário que o coeficiente de x seja positivo, logo:
3 - 2a > 0
- 2a > 0 - 3
(- 1). (- 2a) > (- 3). (- 1)
2a < 3
a < 3/2
7 - O lucro de uma empresa é dado pela função L = 20.X - 5000, onde L é o lucro em reais e X, o número de peças fabricadas e comercializadas. Determine o lucro da empresa em um mês quando foram vendidas 500 peças.
R: L = 20.X - 5.000
L = 20.500 - 5000 = 10.000 - 5.000 = 5.000
	8- As raízes da equação do segundo grau:
x² - 18x + 32 = 0 são:
		
R: x² - 18x + 32 = 0
(18 +/- raiz quadada (-182- 4.1.32))/2.1
(18 +/- raiz quadada (324 - 128))/2
(18 +/- raiz quadada (196))/2
(18 +/- 14)/2
Primeira raiz: 32/2 = 16
Segunda raíz: 4/2 = 2
9 - Calcule o limite da função a seguir quando x tender a 1: 
y = x² + 2x – 3
R : lim  x² + 2x - 3, quando x tende a 1 = 12 + 2.1 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0
10- Uma empresa vende a R$ 90,00 uma de suas peças produzidas. Se o Custo Total de Produção de um determinado lote dessas peças pode ser descrito por C(x) = 0,4x2 + 30x + 1500, calcule o valor do CUSTO TOTAL no ponto do LUCRO MÁXIMO.
R: L(x) = 90(x) - (0,4x2 + 30x + 1500)
L(x) = +90x - 0,4x2 - 30x - 1500.
L(x) = - 0,4x2 + 60x - 1500
L'(x) = - 0,8x + 60
- 0,8x + 60 = 0
60 = 0,8x  =>  0,8x = 60  =>  x = 60 / 0,8  =>  75 peças
CT = Custo Total
C(x) = 0,4x2 + 30x + 1500
C(x) = 0,4(75)2 + 30(75) + 1500
C(x) = 2.250,00 + 2.250,00 + 1.500
C(x) = 6.000
TEMA 4
1- Fábio contratou um empréstimo bancário que deveria ser quitado em 30 de março de 2012. Como conseguiu o dinheiro necessário 30 dias antes dessa data, Fábio negociou com o gerente e conseguiu 5% de desconto. Assim, quitou o empréstimo antecipadamente, pagando R$ 4.940,00. Qual era, em reais, o valor a ser pago por Fábio em 30 de março de 2012?
R: 5.200,00
Explicação: 
(1 - 5/100) x = 4940
0,95 x = 4940
x = 4940/0,95 = 5200
2- Em uma confecção há 5 costureiras que trabalham 6 horas por dia para produzir 1200 calças. Diante destas mesmas condições, 4 costureiras trabalhando 8 horas por dia conseguiriam produzir quantas calças ?
R: 1280
Explicação: 
1.200 / 5 x 6 = 40 h/c
x / 4 x 8 = 40
x = 40 x 32 = 1.280
3- 
		Pedro trabalha como animador de festa e cobra uma taxa fixa de R$ 200,00 , mais R$ 40,00 por hora, para animar uma festa. João, na mesma função cobra uma taxa fixa de R$ 110,00 e mais R$ 70,00 por hora. O tempo máximo de duração de festa, para que a contratação de João não fique mais cara a do Pedro, é:
	
R: 3 horas
Explicação: 
Equação para Pedro.
40t + 200
Equação para João
70t + 110
Igualando as equações
40t + 200 = 70t + 110 
40t -70t = 110 - 200
- 30t = - 90
30t = 90
t = 90/30 = 3 horas
4- Para transportar certo volume de areia para uma construção, foram necessários 60 caminhões de 7,5 m³ de areia em cada um. Se cada caminhão comporta-se 10 m³ de areia, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço?
R: 45 caminhões
Explicação: 
60 .7,5 = 10 x
450 = 10x
x = 450/10 = 45
5- Um valor de um automóvel decresce linearmente no tempo em função do desgaste sofrido por suas partes e componentes. Tomando por base que o preço desse automóvel novo é R$ 30.000,00 e que, depois de 3 anos, passa a ser R$ 24.000,00. O seu valor após 5 anos de fabricado será?
R: R$ 20.000,00
Explicação: 
30000 - 24000 = 6000
depreciação anual = 6000/3 = 2000
depreciação em 5 anos = 2000.5 = 10000
valor do carro em 5 anos = 30000 - 10000 = 20000
TEMA 5
Exercício
Uma indústria apresentou, num determinado mês, um custo fixo de R$15.000,00. Nesse mesmo mês, a indústria produziu uma quantidade de 3.000 produtos.
Qual foi o custo fixo unitário daquele produto naquele mês?
Gabarito
Custo fixo unitário = custo fixo/quantidade de itens produzidos.
Custo fixo unitário = R$15.000,00/3.000 = R$5,00.
Exercício
Uma indústria, que produz apenas um tipo de produto, gasta mensalmente R$3.000,00 com aluguel da fábrica e R$500,00 com o contador. O custo unitário de produção é de R$20,00, supondo computados todos os fatores de produção.
Se num determinado mês o custo total da indústria foi de R$15.500,00, qual a quantidade de produtos fabricados?
Gabarito
Custo total = Custo fixo + Custo variável
15.500 = (3.000 + 500) + (20 x)
sendo x a quantidade de produtos fabricados
15.500 = 3.500 + 20x
20x = 12.000
x = 12.000/20
x = 600
Exercício
Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo mensal de R$950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários, etc. Existe também um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos, sendo a unidade R$41,00. Considerando que o valor de venda de cada pistão no mercado seja equivalente a R$120,00, monte as Funções Custo, Receita e Lucro.
Calcule o valor do lucro líquido na venda de 1.000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que se tenha lucro.
Gabarito
Função Custo total mensal:
C(x) = 950 + 41x
Função Receita
R(x) = 120x
Função Lucro
L(x) = 120x – (950 + 41x)
Lucro líquido na produção de 1000 pistões
L(1000) = 120*1.000 – (950 + 41 * 1.000)
L(1000) = 120.000 – 950 + 41.000
L(1000) = 120.000 – 41.950
L(1000) = 78.050
O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$78.050,00.
Para que se tenha lucro, é preciso que a receita seja maior que o custo.
R(x) > C(x)
120x > 950 + 41x
120x – 41x > 950
79x > 950
x > 950 / 79
x > 12
Para ter lucro, é preciso vender acima de 12 peças.
2 -Uma indústria de sapatos tem um custo fixo de R$ 150.000,00 por mês. Se cada par de sapato produzido tem um custo de R$ 20,00 e o preço de venda é de R$ 50,00, quantos pares de sapatos a indústria deve produzir para ter um lucro de R$ 30.000,00 por mês? A partirde quantos pares de sapatos haverá lucro?
Gabarito
Lucro = Receita – Custo
Seja x → a quantidade de pares de sapatos produzidos e vendidos
30.000 = 50 x – (150.000 + 20 x)
30.000 = 50 x – 150.000 – 20 x → 30.000 +150.000 = 30 x → x = 6.000
Agora vamos analisar: a partir de quantos pares de sapatos haverá lucro:
Ou seja, o lucro será zero: 0 = 50 x – (150.000 + 20x)
0 = 50 x – 150.000 – 20 x → 150.000 = 30 x → x = 5.000
Atividade
1 - Os custos de uma empresa resultam de uma combinação de uma série de fatores. Assinale aquele fator que NÃO faz parte dessa combinação:
R: FORNECEDORES
2 - Uma indústria de autopeças tem um custo fixo de R$10.000,00 por mês. Se cada peça produzida no mês tem um custo de R$12,00 e a indústria produz naquele mês 1.000 peças, qual será o custo total do mês?
3- Um grupo de estudantes, dedicados à confecção de produtos de artesanato, tem um gasto fixo de R$ 500,00 por mês e gasta R$ 35,00 por unidade produzida. Cada unidade será vendida por R$ 55,00. Determine quantas unidades terão que ser vendidas para se obter o ponto de equilíbrio (ponto de nivelamento ou ponto crítico?
Explicação: R(x) = C(x) 55,00 = 500,00 + 35,00(x) x = 25
		4- Uma empresa produz secadores de cabelo com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² - 70x + 1500. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade (x) de secadores de cabelo para que o custo seja mínimo 
	
R: 70 / 2 = 35
5- Sabendo-se que determinado produto quando custa R$ 40, é demandado em 30 unidades e quando custa R$ 30, é demandado em 40 unidades, determine sua equação da demanda.
Explicação: 
A equação de demanda é do tipo q = a.p + b ( obedece a lei de formação de uma função afim  y = a.x + b)
Aplicando os pontos ( 40,30) e ( 30,40) na lei de formação temos o sistema de equação:
30= 40.a + b
40= 30.a + b
resolvendo o sistema temos a =-1  e b = 70
q = -p + 70
6 - Em um plano cartesiano, se uma reta corta o eixo x no ponto -1, indica que a função correspondente a essa reta é:
R: y = 4x – 1
7- A definição de Função Polinomial de 1º grau é?
R: Qualquer função f dada por f(x) = ay + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
8- Tomando por base o estudo dos sinais da função y = - 2x + 5 podemos afirmar que:
Explicação: 
y = - 2x+ 5
y > 0
-2x + 5 > 0
-2x > - 5   (-1)
2x < 5
x < 5/2
9- O valor da expressão numérica 1/3+(1/2)^2+(3/2):(6/5) é:
R: Explicação: 
1/3 + 1/4 + (3/2 * 5/6) => 1/3 + 1/4 + 5/4 => 4/12 + 3/12 + 15/12 => 22/12 (simplificando a fração por 2) = 11/6
10- Em um plano cartesiano a função que corta o eixo y no ponto -1 e o eixo x no ponto 5 é dada por:
R; y = x/5 – 1
11- A função real de variável real, definida por f (x) = (7 - 2a).x + 2, é crescente quando:
Explicação: 
Para que a função seja crescente, é necessário que o coeficiente de x seja positivo, logo:
7 - 2a > 0
- 2a > 0 - 7
(- 1). (- 2a) > (- 7). (- 1)
2a < 7
a < 7/2 
12- A função real de variável real, definida por f (x) = (3 - 2a).x + 2, é crescente quando:
Explicação: 
Para que a função seja crescente, é necessário que o coeficiente de x seja positivo, logo:
3 - 2a > 0
- 2a > 0 - 3
(- 1). (- 2a) > (- 3). (- 1)
2a < 3
a < 3/2
13- Em um plano cartesiano a função que corta o eixo y no ponto -2 e o eixo x no ponto 12 é dada por:
R: y = x/6 – 2
14- De modo geral, a lei que rege as transações comerciais é: R = C + L, onde V é a arrecadação dos produtos vendidos; C o custo total dos produtos fabricados; e L o lucro obtido na transação.
Para produzir um produto, uma indústria gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4.000,00, independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por unidade.
Qual é o número mínimo de unidades a partir do qual a indústria começa a ter lucro?
Gabarito
C = 4000 + 1,20x onde x é a quantidade de produtos.
Com C = R – L, para calcularmos o valor mínimo para começar a dar lucro, vamos imaginar o L = 0.
Logo, substituindo C por 4000 + 1,20x e R por 2x, temos:
4000 + 1,20x = 2x – 0
2x – 1,2x = 4000
Logo: 0,8x = 4000
x = 5.000 produtos -> a partir daí começa a dar lucro.
15- Uma empresa pretende produzir um determinado produto e vender a R$80,00 cada. Caso não venda unidade alguma, a receita será 0.
Se forem vendidas 100.000 unidades, qual será a receita?
R: Gabarito
No caso da receita ser uma função linear (preço constante), a equação que define a função é R(q) = p.q onde R é a receita total, p é o preço por unidade do produto e q é a quantidade vendida.
Assim, a receita R será 80 x 100000 = R$ 8.000.00,00.
16- O valor de um carro popular decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que o preço de fábrica é R$7.500,00 e que, depois de seis anos de uso, é R$ 1.200,00, seu valor, após quatro anos de uso é:
R: R$ 3.300,00
17- Uma empresa vende um produto por R$ 10,00 a unidade. O custo variável para produzir uma unidade é de R$ 4,00 e o custo fixo é de R$ 3000,00, determine o lucro obtido, em reais, na venda de 1000 unidades:
R: Explicação: 
L = R - CT
CT = 3000 + 4 x 1.000 = 7000
L = 10 x 1.000 - 7000 = 3000
18- Uma empresa tem um custo fixo de R$ 20.000,00 e um custo variável por unidade produzida de R$ 10,00. Considerando o preço de venda unitário de R$ 30,00 calcule o ponto de equilíbrio em quantidade: R(x) = C(x)
R: Explicação: 
C(x) = 20000 + 10x
R (x) = 30x
20000 + 10x = 30x
20000 = 20x
x = 20000/20 =1000
19- Quais os valores de a, b e c da função f(x) = 2x2+ x + 5?
R: Explicação: 
f(x) = a.x2+ b x + c
f(x) = 2x2+ x + 5
 a = 2, b = 1 e c = 5
		20- Para qualquer empresa é necessário entender sua necessidade de estoque, buscando a melhor quantidade a ser comprada para diminuir o custo de reposição do estoque. Desta forma, para uma empresa que precisa suprir seu estoque, calcule seu lote econômico de compras (LEC), sabendo que: o preço unitário (PU) é $8,00; seu custo de emissão do pedido (Cp) é $25,00; seu custo de manter o estoque (Cm) é 20%; e a Demanda anual (D) é 500. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto do LEC:
	
R: Explicação: LEC = (2.D.Cp/Cm.PU)^0,5 LEC = ((2x500x25)/(0,2x8))^0,5 LEC = 125 unidades
21- A vendedora Ana recebe mensalmente um salário (y) composto de uma parte fixa , no valor de R$540,00, e uma parte variável que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas (x) realizadas no decorrer do mês.Desta forma, qual será o valor do salário de Ana sabendo que durante um mês ela vendeu R$20000,00 em produtos?
R: Explicação: 
20000 ---- 100
x ---------- 8
100x = 20000.8 =160000
x= 160000/100 = 1600
Renda do mês = 1600+ 540 = 2140
22- O uso de limites é uma das bases mais importantes do cálculo matemático. Algumas afirmações sobre os limites e suas propriedades foram feitas a seguir. Avalie se são verdadeiras ou falsas:
I. Limite de f(x) pode ser definido por se, quando x tende a c (x → c), f(x) tende a L (f(x) → L) e x = c.
II. O limite da soma de fatores é igual à soma dos limites desses fatores.
III. O limite do produto é o produto dos limites.
IV. O limite do quociente é igual ao quociente dos limites mesmo quando do denominador for igual a zero.
Assinale a alternativa correta:
	Explicação: 
Justificativa: As afirmações II e III são verdadeiras e as afirmações I e IV são falsas, pois, no primeiro caso, x não pode ser igual a c (x ≠ c) e na quarta afirmação, o denominador não pode ser igual a zero.