AV2 - GEOMETRIA ANALÍTICA e ÀLGEBRA LINEAR

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AV2 Geometria Analítica/ Álgebra Linear 
UNIDADE I 
 
01) Duas estacas alinhadas, na mesma direção, estão localizadas, respectivamente, 
nos pontos A e B. A estaca A está localizada no ponto (7, 3, 4). A segunda estaca está 
situada no ponto B = (1, 0, 6). Qual seria a medida do segmento orientado, 
compreendido entre as duas estacas? 
 R: 7 unidades de comprimento. 
02) Quando é mencionada a operação de subtração entre vetores, estamos nos 
referindo à operação de adição de um vetor ao vetor oposto de um outro. Então, 
define-se a diferença entre dois vetores 
 
 R: (7,9) e (-3,3). 
 
03) Sendo A = (-1, 2, 3) e B = (1, -1, -3), extremidades de um segmento de reta 
orientado. Determine a alternativa que apresenta o módulo do vetor determinado por 
esses dois pontos. 
 R: 7. 
 
04) Determine o volume do cubo mágico em que as dimensões estão determinadas 
pelos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). 
R: 1 u.v 
 
05) Apresente com base na forma algébrica, a resultante proposta. Para tal, utilize os 
vetores representados a 
seguir: 
 
R: (1, - 2). 
 
06) Uma caixa de presente apresenta o formato de um paralelepípedo. Sabendo que 
suas medidas estão representadas pelos vetores u = (3, -1, 4), v = (1, 0, -1) e w = (2, -1, 
0), determine o volume da caixa. Em seguida, assinale a alternativa correta que 
representa o resultado em unidades de volume. 
R: -5 u.v 
 
07) Utilizando o princípio da determinação das coordenadas de um vetor por dois 
pontos e adição entre vetores, determine as coordenadas do vetor QP mais o vetor v, 
sabendo que: P= (1, 3, -3), Q= (-2, -1, 4) e v= (-1, 4, 0). 
Agora, assinale a alternativa que corresponde ao resultado. 
R: (2, 8, -7). 
 
 
08) Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o módulo da resultante da 
soma entre os dois vetores, u e v, cujas componentes são dadas por u = (12, 5) e v = (-
9, -1). 
R: 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) Dados três vetores 
 
R: III e IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Um paralelepípedo é um sólido geométrico definido no espaço tridimensional, que 
pode ser descrito como um hexaedro com três pares de faces paralelas, sendo cada 
uma dessas faces um paralelogramo. As suas arestas são segmentos de reta ligados 
pelos vértices das faces. Assim, observe a seguinte figura que exemplifica um 
paralelepípedo: 
 
 
R: V, V, V, F. 
 
11) Sendo os vetores u = (x + 1, 4) e v = (5, 2y - 6), determine os valores de x e y para 
que os vetores u e v sejam iguais. Em seguida, assinale a alternativa que corresponde 
ao resultado. 
R: x = 4, y = 5 
 
 
12) Sejam os pontos A = (-1, 0, 2), B = (1, 1, 1) e C = (1, 0, 1), vértices de um triângulo 
retângulo, assinale a alternativa que apresenta o produto escalar entre os vetores AB e 
BC desse triângulo. 
R: -1. 
 
13) O ângulo formado entre dois vetores não-nulos pode variar entre 0° e 180°. 
Quando temos os casos particulares em que o ângulo é igual a 0°, 90° ou 180°, é 
possível tirar algumas conclusões quanto à relação entre esses dois vetores. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre ângulos entre vetores, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Se o ângulo formado entre dois vetores é igual a 0°, então os vetores têm o 
mesmo sentido. 
II. ( ) Se o ângulo formado entre dois vetores é igual a 180°, então os vetores têm a 
mesma direção. 
III. ( ) Se o ângulo formado entre dois vetores é igual a 90°, então os vetores são 
paralelos. 
IV. ( ) Se o ângulo formado entre dois vetores é igual a 0°, esses vetores são 
ortogonais. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
R: V, V, F, F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE II 
 
01) As equações paramétricas de qualquer objeto matemático consideram um 
parâmetro de referência que pode reescrever todas as variáveis relacionadas àquele 
objeto. A equação paramétrica de uma reta em R³ pode ser escrita da seguinte forma: 
 
Considerando essas informações, o conteúdo estudado sobre as equações 
da reta e que a≠0, b≠0 e c≠0, explique a razão pela qual é possível delimitar 
a equação simétrica da reta. 
R: Os denominadores dos termos da equação simétrica são diferentes de 0. 
 
02) 
 
De acordo com os tipos especiais de matrizes, qual é o tipo de matriz representada 
acima? 
R: Matriz coluna. 
 
03) Os sistemas de Equações Lineares podem ser representados por um produto 
entre duas matrizes. Sendo assim, analise as proposições a 
seguir: 
I. a matriz produto é a matriz dos termos independentes do sistema. 
II. a matriz dos termos independentes representa as variáveis do sistema. 
III. uma das matrizes que faz parte da representação matricial do Sistema de 
Equações Lineares é a matriz das variáveis. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmações corretas sobre os 
sistemas de equações lineares 
 
R: I e III. 
 
 
 
04) Dadas as matrizes A e B (representadas abaixo), determine os valores de m e n 
para que as matrizes sejam iguais. 
 
 Agora, assinale a alternativa que contém a resposta correta. 
R: n = 5 e m = -6. 
 
 
05) Imagine que você trabalhe na secretaria de trânsito de sua cidade. Foi solicitado 
um levantamento de quantos automóveis e quantos caminhões transitam em uma 
determinada avenida no decorrer do dia durante duas semanas. Dessa forma, você 
gera uma tabela semanal que controla o tráfego de veículos naquela via, assim, após 
duas semanas, que apresenta os seguintes dados: 
 
 
 Para definirmos ao longo de duas semanas quantos carros e quantos caminhões 
transitaram na avenida, podemos utilizar os conceitos de soma de matrizes. Sendo 
assim, nosso primeiro passo nesta análise é separar a tabela em duas matrizes, A e B, 
2 x 2, sendo cada uma delas representativa dos dados obtidos em cada semana. 
Nestas matrizes, as linhas representam os dois tipos de veículos e as colunas 
representam os dois períodos dos dias: 
 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre soma de matrizes e 
multiplicação escalar, analise os procedimentos a seguir e ordene-os de acordo com a 
sequência necessária de execução para terminar de resolver este problema: 
I. ( ) definir que a soma das matrizes deve se processar da seguinte maneira: A+ B= C; 
II. ( ) O resultado da soma das matrizes será 
 
 
 
 
III. ( ) para definir o valor do elemento c11 na matriz C, devemos prosseguir da 
seguinte forma: c11 = a11 + b11. 
IV. ( ) dispor os elementos calculados na matriz C, que é a nossa resposta. 
V. ( ) repetir para os demais elementos de C, o procedimento realizado para definir o 
elemento c11. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
R: 1, 5, 2, 4, 3. 
 
 
 
 
 
 
 
06) Considere as seguintes matrizes: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a definição e notações de 
matrizes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) 
falsa(s): 
I. ( ) o elemento a12 da matriz A é igual ao elemento b11 da matriz B. 
II. ( ) a matriz A apresenta três elementos nulos. 
III. ( ) a matriz A é uma matriz de ordem 3 x 2. 
IV. ( ) a matriz B é uma matriz de ordem 3 x 3. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
R: V, F, F, V. 
 
07) Assinale a alternativa que representa a equação geral do plano determinado pelos 
pontos A (-1, 2, 0), B (2, -1, 1) e C (1, 1, -1) (sugestão: produto vetorial). 
 
R: 4x + 5y + 3z - 6 = 0. 
 
08) Em um projeto de arquitetura, os objetos estavam registrados por meio das suas 
representações algébricas, como, por exemplo, o tampo de uma mesa. A mesma 
estava representada através de uma equação geral do plano. Nas informações 
constavam o ponto que passava o planoe o vetor normal ao mesmo. Determine a 
equação do plano presente nesse projeto, sabendo que P = (1, 2, 3) e o vetor u = 4i + 2j 
- 3k. Em seguida, assinale a alternativa correta. 
R: 4x + 2y - 3z + 1 = 0. 
 
 
09) Analise os seguintes itens e classifique a posição relativa de duas retas de acordo 
com os vetores diretores: 
1. Se o vetor de uma delas for igual a um múltiplo do vetor da outra; 2. Se e somente 
se, o conjunto de vetores (𝑟⃗ ,𝑠⃗ ,𝐴𝐵⃗ ), sendo A pertencente a reta r e B pertencente a 
reta s, forem linearmente independentes, ou seja, se o determinante for diferente de 
zero; 3. Se, e somente se, forem coplanares (pertencerem a um mesmo plano) e não 
paralelas. 
( ) retas reversas; ( ) retas concorrentes; ( ) retas paralelas. 
Agora, de acordo com o que foi estudado sobre classificação de duas retas quanto a 
posição, assinale a alternativa que contém a sequência correta. 
 
R: 2, 3, 1. 
 
10) As equações de um objeto matemático são úteis para inúmeros fins, tais como: 
manipulações algébricas, identificação de objetos matemáticos e verificação de 
pertencimento de pontos. Essa última pode ser realizada com base, por exemplo, na 
equação simétrica da reta. Tome a reta r a seguir, definida por sua equação simétrica, 
como exemplo: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações simétricas, 
pode-se dizer que o ponto (0,0,0) pertence à reta porque: 
R: ao substituir esse ponto na equação simétrica da reta, todos os termos da 
equação serão iguais. 
 
 
11) Vetores são tipos específicos de matrizes que possuem um papel muito 
importante dentro das aplicações em conceitos da álgebra linear, e servem para 
solucionar os mais diversos problemas matemáticos. Considerando essas informações 
e o conteúdo estudado sobre vetores, analise as afirmativas a seguir: 
I. Um vetor n x1, sendo n diferente de 1, pode ser interpretado como um tipo 
específico de matriz coluna. 
II. A transposta de um vetor linha (ou seja, 1x n) é um vetor coluna (ou seja, n x1). 
III. Vetores n x 1 com n ≠ 1 podem ser multiplicados por outros vetores do mesmo 
tamanho. 
IV. O determinante de vetores n x1 com n ≠ 1 é igual ao produto de todos os 
elementos contidos nele. 
V. A multiplicação de uma matriz qualquer por um vetor coluna resulta em um vetor 
coluna. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas verdadeiras. 
 
R: I, II e V. 
 
 
 
 
 
 
12) Utilizando a matiz ampliada de um sistema 3x3, apresente o vetor solução, 
utilizando o método de Eliminação de Gauss. 
 
 
 Agora, assinale a alternativa correta. 
R: (1 1 1). 
 
13) De acordo com o que foi estudado sobre as retas e planos, apresente uma 
equação vetorial da reta que passa por A = (1, 2, 3) e é perpendicular ao plano π: 2x + y 
− z = 2. 
R: P = (1, 2, 3) + t . (2, 1, −1). 
 
14) Seja a matriz A de ordem 3, calcule o determinante de A: 
 
R: 156. 
 
15) Determine a equação geral do plano, sendo o vetor normal resultante do produto 
entre os vetores u = (5, 4, 3) e v = (1, 0, 1). Depois, marque a alternativa correta. 
R: 4x – 2y – 4z + d = 0. 
 
 
UNIDADE III 
 
 
01) Determine a transformação linear T: R² R³, tal que T(-1 , 1) = (3, 2, 1) e 
 T(0, 1) = (1, 1, 0).Assinale a alternativa correta. 
 
R: T(X, Y)= (-2X + Y, -X + Y, -X) 
 
02) Os autovetores e autovalores, ocorrem em transformações no mesmo espaço 
vetorial. Dada a transformação linear do R² para o R², 
determine os autovetores e autovalores associados a 
 
 
R: 
 
 
 
03) Qual a transformação linear T: R³ → R² tal que S(3,2,1) = (1,1), 
S(0,1,0) = (0,-2) e S(0,0,1) = (0,-1)? 
 
R: (x/3, 2x-2y-z) 
 
04) Determine uma base para o subespaço S= {(x, y, z) є R³/ y=2x}, e assinale a 
alternativa correta. 
R: { (1, 2, 0),(0, 0, 1)} 
 
05) Um engenheiro mecânico apresentou os vetores que representam as forças sobre 
uma determinada estrutura através da combinação linear dos vetores u= (1, 0, -1), v= 
(1, 2, 1) e t= (0,-1, 0) do R³. Sendo assim, marque a 
alternativa que mostra a combinação que demonstra que B= {(u, v, t)} é uma base do 
R³, ou seja, que escreve todos os vetores força através da combinação linear: 
 
R: m=(x-z)/2, n=(x+z)/2, p=(2X- 2Y+2Z)/2 
 
06) Seja V um espaço de dimensão finita e T: V → W uma transformação linear, então, 
a dim N(T) +dim Im(T) = dim V. Sendo assim, determine a 
dimensão da imagem do operador linear T: R³ →R², T (x, y, z) ={ x-z, 2x+ y+3z)Em 
seguida, assinale a alternativa correta. 
 
R: Im(T)= 2. 
 
07) Sendo T uma transformação linear do espaço dos polinômios de grau, menor ou 
igual a 2, ou seja, . Com variável em x, definido em si por: 
T(1)= 1+x ; T(x)= 3-x² ; T(x²)= 4+2x - 3x². Determine T( 2-2x + 3x²). 
 
R: P= 8+8x -7x² 
 
08) Seja V um espaço de dimensão finita e T: V → W uma transformação linear, então, 
a dim N(T) +dim Im(T) = dim V. Sendo assim, determine a 
dimensão do núcleo da T: R³ → R², T (x, y, z) ={ x-z, 2x+y+3z} Em seguida, assinale a 
alternativa correta 
 
R: N(T)= 1. 
 
09) Uma imagem está sendo gerada no espaço R², por vetores pertencentes ao 
subespaço vetorial, S= {( x, Xy ) R²/ X + y = 0}. Apresente uma base para o subespaço S 
gerador. 
R: (1, -1) 
 
10) Vetores foram gerados a partir do subespaço vetorial, M= {( x, y, z) R³/X=3Y e Z= - 
Y}.Apresente uma base para o subespaço S gerador. 
R: (3, 1, -1) 
 
11) Sendo T uma transformação linear no plano R² R², e T(x,y)= (2x+y, x+4y), utilizando 
as ideias de autovetores e autovalores, apresente os autovalores associados a matriz 
da transformação: 
 
R: 
 
 
12) O núcleo de uma transformação linear é um subconjunto contido no espaço 
vetorial, que é o domínio da transformação. Considerando as transformações T(x, y, z) 
= (2x-y, 3x-2y + z) e U(x, y, z) = (x+ y- z, y-2z), determine o núcleo da transformação de 
T+U. Em seguida, assinale a 
alternativa correta. 
 
R: {(x, 0, 3x) / x ∈ R} 
 
13) Dado o vetor a= (4, 3) do R² , é uma combinação linear dos vetores 
c = (1, 1) e d= (0,1), com os escalares λ e K. Assinale a alternativa que apresenta a 
combinação correta λ c+ K d que escreve o vetor a. 
 
R: λ= 4 , K= -1 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE IV 
 
01) Uma elipse é uma figura geométrica que surge da interseção de um plano com 
uma superfície cônica. A definição algébrica de elipse considera num plano π dois 
pontos 
 
, também pode representar uma elipse? 
R: É uma equação que mantém as condições estabelecidas na definição 
algébrica. 
 
02) As representações geométricas conhecidas como elipses são definidas, 
algebricamente, por algumas relações. Uma das possíveis relações que as definem 
refere-se à sua equação na forma reduzida. Porém, para se escrever a equação na 
forma reduzida, é necessário o conhecimento acerca dos valores de a e b. Tome como 
referência a equação da elipse de forma reduzida: 
 
, tendo como tamanho do eixo maior 12, e centrada em (0,0), porque: 
R: a partir desses dados, define-se os parâmetros a² = 36 e b² = 20, que são 
utilizados na equação da forma reduzida. 
 
 
 
 
 
 
 
03) Uma superfície cônica pode ser secionada por um plano de diversas maneiras. 
Uma dessas maneiras é secionar a superfície cônica com o plano paralelo à reta 
geratriz do cone, dando origem a uma parábola. Essa representação geométrica 
possui características particulares, importantes para o estudo de Geometria Analítica. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os elementos da 
parábola, analise as afirmativas a seguir: 
I. A parábola possui uma característica de simetria com relação à distância. 
II. Existe uma reta diretriz que compõe a parábola. 
III. A parábola possui dois focos 
 
 
IV. O parâmetro p é definido com relação ao foco F da parábola. 
Agora, assinale a alternativa que contémapenas as afirmativas corretas. 
 
R: I, II e IV. 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) Um dos objetos de estudo em Geometria Analítica são as figuras geométricas 
denominadas cônicas. Elas são representações geométricas advindas de um tipo 
especial de interseção. Quando um plano encontra uma superfície cônica, diz-se que 
são geradas as figuras geométricas cônicas, também conhecidas pelo nome de seção 
cônica. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, analise 
as afirmativas a seguir: 
I. A elipse é um dos tipos de seção cônica. 
II. A hipérbole é um dos tipos de seção cônica. 
III. A parábola é um dos tipos de seção cônica. 
IV. O quadrado é um dos tipos de seção cônica. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas corretas. 
 
R: I, II e III. 
 
 
05) Os objetos geométricos possuem diversas equações algébricas que os 
representam nos mais diversos contextos. A parábola, por exemplo, possui algumas 
equações que descrevem seu comportamento, sendo ela centrada na origem. Tome 
como referência as duas equações parabólicas reduzidas: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre as equações reduzidas 
da parábola, por que as parábolas representadas pelas equações supracitadas se 
diferem no contexto geométrico? 
R: A primeira equação refere-se a uma parábola com concavidade voltada para 
cima, enquanto a segunda tem concavidade voltada para baixo. 
 
06) Quando um plano interseciona uma superfície cônica, e ele o faz de uma maneira 
que passa apenas por uma das folhas e não paralelamente à geratriz do cone, temos 
uma figura geométrica de nome elipse. É importante estudar esse tipo de 
representação algébrica, pois ela é definida por alguns elementos particulares que são 
muito úteis no estudo da Geometria Analítica. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a elipse, analise as 
seguintes afirmativas e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Dois elementos importantes que compõem a elipse são seus focos. 
II. ( ) A excentricidade de uma elipse é dada na forma 2a. 
III. ( ) A distância entre os dois focos de uma elipse é igual a 2c. 
IV. ( ) A expressão algébrica de uma elipse possui forma reduzida. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
R: V, F, V, V. 
 
07) O estudo das cônicas consiste em um estudo geométrico de interseções, sendo 
elas, figuras geométricas definidas pela interseção de um plano com um cone, por 
isso, possuem este nome. A elipse é um exemplo desse tipo de figura geométrica 
advinda dessa interseção, porém, ela não é a única. Existem equações algébricas para 
cada uma das formas geométricas pertencentes a essa classe de objetos. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, pode-se 
afirmar que existem vários tipos de cônicas porque: 
 
R: Uma superfície cônica pode se intersecionar com um plano de inúmeras 
maneiras. 
 
08) As cônicas são representações geométricas que surgem de uma interseção do 
plano com uma superfície cônica. Em um contexto geométrico, a distinção entre as 
cônicas é efetuada de maneira simples, porém, em um contexto algébrico, é 
necessário um cuidado para avaliar de qual objeto está se tratando uma certa 
representação. Considere as equações reduzidas: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações da hipérbole 
de centro na origem do sistema, assinale a alternativa que explica que as 
representações tratam de objetos diferentes corretamente. 
R: Ambos são objetos geométricos de mesma natureza, mas com posições 
geométricas distintas. 
 
 
09) As hipérboles são representações cônicas que são geradas pela secção de uma 
superfície cônica por um plano, e esse plano, por sua vez, corta as duas metades do 
cone. Esse tipo de representação geométrica é descrito por determinados elementos 
matemáticos relevantes no contexto da Geometria Analítica, logo, é fundamental 
conseguir identificá-los. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os elementos da 
hipérbole, analise as afirmativas a seguir: 
I. Dois elementos importantes que compõe a hipérbole são seus focos. 
II. O eixo real de uma hipérbole tem relação com seu parâmetro a. 
III. A distância focal de uma hipérbole tem relação com seu parâmetro c. 
IV. A excentricidade de uma hipérbole assume valores reais sem restrições. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas verdadeiras. 
 
R: I, II e III. 
 
 
 
 
 
 
 
10) A interseção entre um plano e uma superfície cônica faz gerar outros tipos de 
objetos geométricos muito estudados na Geometria Analítica, por conterem 
particularidades representativas. Cada maneira que se varia o corte da superfície 
cônica pelo plano altera-se o objeto geométrico advindo desse corte, tal como suas 
características. Analise a representação da cônica a seguir, advinda dessa interseção 
geométrica supracitada. 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, afirma-se que 
essa representação geométrica se refere a uma elipse porque: 
R: O plano interseciona a superfície cônica em apenas uma de suas folhas, e não 
é paralelo à geratriz. 
 
11) A elipse é uma representação que advém de uma seção de uma superfície cônica. 
Ela é um objeto algébrico muito importante, pois possui elementos fundamentais para 
o estudo de Geometria Analítica. Dois dos elementos que compõem uma elipse são 
seus eixos maiores e menores. A partir deles, é possível entender algumas 
particularidades desse objeto matemático. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a elipse, por qual razão 
pode-se afirmar que os eixos auxiliam no entendimento, por exemplo, de uma 
circunferência? 
 
R: Ela é uma representação geométrica que é um caso particular de uma elipse, 
envolvendo o tamanho dos eixos. 
 
 
12) A elipse é uma figura geométrica cônica muito estudada no campo da geometria 
analítica. Essa figura, como qualquer outra figura cônica, advém da interseção de um 
plano com uma superfície cônica. Ela contém alguns elementos particulares a ela, tais 
como: focos, distância focal, eixo maior, eixo menor, centro, vértices e segmento focal. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, afirma-se que 
se o plano intersecionasse a superfície cônica, paralelamente, à reta geratriz, a figura 
formada deixaria de ser uma elipse porque: 
 
R: A figura formada seria uma parábola, com características geométricas 
particulares diferentes.