Lista 6

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Lista 6
1. Quais dos conjuntos abaixo são L.I.?
a) {(1, 2, 1, 3)t, (2,−1, 1, 2)t, (1, 4, 1, 3)t)};
b) {(1, 2, 1, 3)t, (2,−1, 1, 2)t, (1, 4, 1, 3)t, (1, 0, 0, 0)t};
c) {(1, 2, 1, 3)t, (2,−1, 1, 2)t, (1, 4, 1, 3)t, (1, 0, 0, 0)t, (0, 0, 0, 1)t}
d) {(1, 2, 1)t, (2,−1, 1)t, (1,−3, 0)t}.
2. Usando determinantes, verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são L.I.:
a) {(1, 1, 1)t, (0, 0, 1)t), (1,−1, 1)t}; b) {(1, 1, 1)t, (0, 1,−1)t, (1, 3,−2)t}.
3. V ou F:
( ) Dois vetores em R são sempre L.D..
( ) Dois vetores em R2 são sempre L.I..
( ) Três vetores em R2 são sempre L.D..
4. Seja A =

1 0 1 −1
2 1 0 −1
5 2 1 −3
.
a) Encontre uma base para Lin(A).
b) Encontre uma base para Col(A).
c) Encontre uma base para N(A).
5. Encontre uma base de R3 da qual façam parte os vetores (1, 2, 1)t e (2, 3, 4)t.
6. Seja A =

1 1 0 1
−1 0 2 1
0 1 2 2
. Calcule as dimensões de Lin(A), Col(A), N(A) e N(At).
7. V ou F:
( ) Se dimS = 4 e C = {x,w, y} ⊂ S, então C não é base de S.
1
( ) Se S = S1 ⊕ S2 e C e B são bases de S1 e S2, resp., então B ∪ C é uma base
de S.
8. V ou F
( ) Se A ∈M3×4, então dimN(A) = 1.
( ) Se A ∈M3×5, então dimN(A) ≥ 2.
( ) Se A,B ∈Mm×m e B é inverśıvel, então N(A) = N(BA).
( ) Se A ∈Mm×n e B ∈Mn×p, então Col(AB) ⊂ Col(A).
9. Sejam A =
 1 −1 1 2
−1 1 1 0
 e B =
0 0 2 2
1 2 0 −1
.
a) Encontre uma base para N(A) + Lin(B).
b) Encontre uma base para N(A) ∩N(B).
10. Encontre uma base para cada subespaço de M3×3 abaixo:
a) S = {A ∈M3×3; A = At};
b) S = {A ∈M3×3; a11 = a22 = a33};
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